一阶微分方程奇解的两个判别式
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⑴ Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别式均可用来求奇解； ⑵Ｐ－判别式与Ｃ－判别式联合可求方程的奇 解； ⑶当一阶微分方程的一阶导数的次数为一次 时，Ｐ－ 判别式不可求奇解，但 Ｃ－ 判别式未必 失效； ⑷当一阶微分方程的通解中常数Ｃ的次数为 一次时，Ｃ－ 判别式不可求奇解，并且导致 Ｐ － 判别式也不可求奇解，此时只能另找他法。
蜕化条件
），则此解就是奇
解。既然 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别式均是求奇解的方 法，那么是不是这两个判别是对所有的一阶微分 方程求奇解都有效呢？
２ ，几个例子
利用 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别式对一些一阶微分 方程进行求解的运算，看看会出现什么样的结 果。
例 １、求 ｙ＝２ｘｙ′－ｙ′２ 的奇解。
解：令 ｙ′＝ｐ，利用 Ｐ－判别式
例 ５ 、求
的奇解。
例 ６ 介绍了求奇解的另一种方法，即联合 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别式，从 Ｐ－ 判别式得到解 ψ（ｘ，ｙ）＝０ 和从 Ｃ－ 判别式得到的解ψ（ｘ，ｙ）＝０ 中，寻得公共的单因式，令其为零，一般就是奇 解。在例 ６ 中， 由 Ｐ － 判别式得到
，由 Ｃ － 判别式得到 ｙ －
ｘ ＋ ４ ／ ２ ７ ＝ ０，它们共同的单因式为 ｙ － ｘ ＋ ４ ／ ２ ７ ＝ ０ ，令其为零，即 ｙ ＝ ｘ － ４ ／ ２ ７ 是奇解。
（上接第 ２ ０ ７ 页）
另一方面，令 ｄｙ／ｄｘ＝ｐ ，Ｐ － 判别式
，
则 Ｐ－ 判别式失效。 由例题可知，当微分方程的一阶导数的次数为一次时，会造成
Ｐ － 判别式失效。 （例如：ａｐ＋ｘ－ｙ＝０（ａ ≠ ０），则 Ｆ′ｐ（ｘ，ｙ，ｐ）＝ａ ≠ ０），此时只
能利用 Ｃ－ 判别式来求奇解。同理，当通解中常数 Ｃ 的次数为一次 时，则 Ｃ － 判别式失效。
发挥出来。目前，由于我们对教师创新意识 和创新能力认识不足，因此，在对教师的实 际考核中，没有一套科学的评价标准及指标 体系，没有一套科学的评价工具，基本上处 于定性的模糊的评价阶段，人为的主观随意 性较强。但社会的飞速发展要求我们对教师 的评价，要适应社会发展对教育的新要求。 因此，评价标准、评价工具及手续必须更 新。对教师创新意识和创新能力的要求必须 建立在激励机制的基础上。如对积极开展科 研和创造性教学的教师进行大力宣传和表彰， 并对其创造事迹和创造成果进行重奖，同时 鼓励教师积极走出去请进来进行广泛领域的学 术交流与合作，并保障其活动经费；以及把 教师晋级加薪与进修、学术交流和获得的各 项创新成果挂钩。这些激励都能起到很好的 促进作用。
但 ｙ＝０ 不是方程的解，所以方程无奇解。
例 １、例 ２ 充分体现了 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别
式是奇解的必要条件。
例 ３ 、求
的奇解。
解：令 ｙ′＝ｐ，Ｐ－ 判别式
，
消去 ｐ ，得 ｙ ２ ＝ １ ， 即 ｙ＝ ± １，因为 ｙ＝ ± １ 为原方程的解，且方
程的通解为ｙ＝ｓｉｎ（ｘ＋ｃ） 所以，ｙ＝ ± １ 是奇解（满足
例 ８ 、求
的奇解。
解：此方程的存在区域为去心正方形 ｜ｘ｜ ≤ １，｜ｙ｜ ≤ １，ｘ２＋ｙ２ ≠０
由此可见，当 Ｃ－ 判别式失效时，Ｐ－ 判别 式必然失效，但由例 ７ 知，Ｐ－ 判别式失效时， Ｃ－ 判别式不一定失效。
从以上的几个例子中，在利用两个判别式 求一阶微分方程的奇解时，会出现以下几种情 况：
路畅 １ 智婕 ２ （１ ． 西安工业学院数理系 ７ １ ０ ０ ３ ２ ； ２ ． 兰州商学院信息工程学院 ７ ３ ０ ０ ２ ０ ）
摘 要：一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解，另外可能还有个别不含于通解的特解，即奇解，利用 Ｐ－ 判别法和 Ｃ－ 判别法可以求出奇解，而这 两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解？此文中举了几个例子来说明这个问题。 关键词：一阶微分方程；奇解；Ｐ － 判别式；Ｃ － 判别式 Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｈａｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｔａｉｎｓ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｃｏｎｓｔａｎｔ， ｂｕｔ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｉｔ ｈａｓ ｓｐｅｃｉａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｉｓ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ， ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｓｏｌｖｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｐ－ｊｕｄｇｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ Ｃ－ｊｕｄｇｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ． Ｗｈｉｌｅ ｗｈｅｔｈｅｒ ｔｈｅ ｔｗｏ ｊｕｄｇｍｅｎｔｓ ｃａｎ ｂｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｇｅｔ ｅｖｅｒｙ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ？ Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｎｔｅｎｄｓ ｔｏ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ ｓｅｖｅｒａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ， Ｐ－ｊｕｄｇｍｅｎｔ， Ｃ－ｊｕｄｇｍｅｎｔ
１ ，问题的提出
对于一个一阶微分方程，如果此方程有除了
通解之外的奇解，则此奇解一定满足两个判别式，
即 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别式。
定理一［１］ 设函数Ｆ（ｘ，ｙ，ｐ）对（ｘ，ｙ，ｐ）∈Ｇ是连
续的，而且对 ｙ 和 ｐ 有连续的偏微商 Ｆｙ′和 Ｆｐ′， 若函数ｙ＝ψ（ｘ），（ｘ∈Ｊ）是微分方程Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）的
科 学 教 育 论 坛
中国科技信息 ２００５ 年第 ２４ 期 ＣＨＩＮＡ ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ Ｄｅｃ．２００５
一阶微分方程奇解的两个判别式
Ｔｗｏ Ｊｕｄｇｍｅｎｔ ｏｆ Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｂｏｕｔ Ｆｉｒｓｔ Ｏｒｄｅｒ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎ
参考文献 ［１］ 丁同仁、李承治．常微分方程教程．高等教育 出版社．１９９１ ［２］ 刘志汉．常微分方程．陕西师范大学出版社． １９８７ ［３］ 温耀华．常微分方程．西南师范大学出版社． １９９１ ［４］ 贺建勋，王志成．常微分方程（上册）．湖 南科学技术出版社．１９７９
－２１１－
）
例 ４ 、求
的奇解。
解：方程的通解为
，
法二，方程的通解为 Ｙ ＝ Ｃ ｘ ＋ Ｃ２，
既然某些一阶微分方程的奇解既可以用Ｐ－ 判别式来求又可以用 Ｃ－ 判别式来求，那么能否 将 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别式联合来求奇解呢？
例 ６ 、求 解：令 ｙ ′＝ ｐ ，
的奇解。
；用 Ｃ－ 判别式求出的解满足非
一个奇解，并且
，则
奇解ｙ＝ψ（ｘ）满足一个称之为Ｐ－判别式的联立方
程
定理二［１］ 设微分方程
有通积分
Ｖ（ｘ，ｙ，Ｃ）＝０，又设（积分）曲线族 Ｖ（ｘ，ｙ，Ｃ）＝０ 有 包络为 ：ｙ＝ ψ（ｘ），（ｘ ∈ Ｊ）， 则奇解 ｙ＝ ψ（ｘ）满
足如下 Ｃ－ 判别式
。
定理一和定理二是奇解的必要条件，也就是 说，用 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别式求出的解不一定是 微分方程的解，如果是微分方程的解，也不一定是 奇解。但在求一阶微分方程的奇解时，通常会采用 这两种判别式，只要所求解是微分方程的解并且满 足一定的条件（用 Ｐ － 判别式求出的解满足
创新意识与能力的客观条件。作为人民教师， 肩负振兴民族教育的重任，不仅要有无上的光 荣感，更要有强烈的责任感、使命感，不断 提高自身素质，勇于探索、努力创新，为振 兴教育，推进素质教育打下坚实地基础，承 担起知识和技术创新以及创新人才培养的伟大 历史使命。
参考文献： ［１］ 吴丽萍．增强主体意识培养创新能力［Ｊ］．青 海教育论坛．２００４年 ６月 ［２］ 惠淑英，徐贵友．师继续教育应注重教师 创造素质的培养［Ｊ］．中国教育和科研．２００３年７ 月 ［３］ 朱永新，杨树兵．创新教育与教育创新［Ｊ］． 江苏教育研究．９９ 年 ５月 ［４］ 高淑贤．面向未来．培养具有创新精神的师 资队伍［Ｊ］．２０００年１０月解为
，Ｃ－ 判别
式
得不到任何曲线
－２０７－
所以 ｙ＝０ 是奇解； （下转第 ２ １ １ 页）
科 学 教 育 论 坛
中国科技信息 ２００５ 年第 ２４ 期 ＣＨＩＮＡ ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ Ｄｅｃ．２００５
百川，有容乃大。营造有利于新思想萌芽的环 境土壤对能否培养出创新型的人才至关重要。 从本质上讲，创新意识、创新能力培养是一项 创造性的活动，其行为具有一定非寻常性。对 于这种非寻常性的思维，应该鼓励；或许按照 这种思路发展不一定能得到预期的结果，其实 这并不重要，重要的是在这样一个有自由开放 之风和兼容并包之氛围中，没有压抑和讥讽， 发散性的思想火花能得到充分爆发，持续下 去，创新性的成功只是迟早而已的事。２． 要 积极创新具有学科特点的教育模式。在对大学 教学管理过程中，改变对教师集中过多、统得 过死的现象，避免教师劳动成为单调重复的行 为，使教师的教学活动真正成为名副其实的创 造性劳动。大学教师不同于中小学教师，他们 所教授课程的特点千差万别，统一规定的教育 模式势必影响甚至限制教学方法的任何创新。 应鼓励教师按照该学科的特点，由教师自主决 定课程的讲授、实践和考核方式，给教师更多 的自主权。这样不仅能推动教师教学创新，而 且学生也能从教师的创新方法中汲取营养和得到 启发。３． 要积极建立教师创新配套的激励机 制。加强对教师创新意识及能力的科学评价及 考核，建立起一种激励机制，不断地激励、刺 激教师，把他们的创新意识和创新能力充分地
总之，时代呼唤创新人才的培养，创新 人才的培养呼唤创新教育。真正意义上的创 新教育必须要有一支具有很强创新意识和创新 能力的教师队伍，尤其是承担高等教育和职 业教育的大学教师队伍。教育机构和教育管 理机构，在制订各项制度时应更为人性化， 为教师增强创新意识与能力提供必要的环境和 条件，积极鼓励创新，这些是增强大学教师
消去 Ｐ 得 ｙ＝ｘ２，将 ｙ＝ｘ２ 代入原方程不是方 程的解，所以原方程无奇解。
例 ２ 、求
的奇解。
从上面的例题，我们可以发现如果要利用Ｐ－ 判别式来求奇解，直接可以从方程出发，而如果要 利用 Ｃ－ 判别式来求奇解，必须先知道方程的通 解，然后从通解出发。如果知道方程的通解，则既 可以利用 Ｐ－ 判别式又可以利用 Ｃ－ 判别式，而 Ｐ－ 判别式看似更为简单一些。
蜕化条件
），则此解就是奇
解。既然 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别式均是求奇解的方 法，那么是不是这两个判别是对所有的一阶微分 方程求奇解都有效呢？
２ ，几个例子
利用 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别式对一些一阶微分 方程进行求解的运算，看看会出现什么样的结 果。
例 １、求 ｙ＝２ｘｙ′－ｙ′２ 的奇解。
解：令 ｙ′＝ｐ，利用 Ｐ－判别式
例 ５ 、求
的奇解。
例 ６ 介绍了求奇解的另一种方法，即联合 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别式，从 Ｐ－ 判别式得到解 ψ（ｘ，ｙ）＝０ 和从 Ｃ－ 判别式得到的解ψ（ｘ，ｙ）＝０ 中，寻得公共的单因式，令其为零，一般就是奇 解。在例 ６ 中， 由 Ｐ － 判别式得到
，由 Ｃ － 判别式得到 ｙ －
ｘ ＋ ４ ／ ２ ７ ＝ ０，它们共同的单因式为 ｙ － ｘ ＋ ４ ／ ２ ７ ＝ ０ ，令其为零，即 ｙ ＝ ｘ － ４ ／ ２ ７ 是奇解。
（上接第 ２ ０ ７ 页）
另一方面，令 ｄｙ／ｄｘ＝ｐ ，Ｐ － 判别式
，
则 Ｐ－ 判别式失效。 由例题可知，当微分方程的一阶导数的次数为一次时，会造成
Ｐ － 判别式失效。 （例如：ａｐ＋ｘ－ｙ＝０（ａ ≠ ０），则 Ｆ′ｐ（ｘ，ｙ，ｐ）＝ａ ≠ ０），此时只
能利用 Ｃ－ 判别式来求奇解。同理，当通解中常数 Ｃ 的次数为一次 时，则 Ｃ － 判别式失效。
发挥出来。目前，由于我们对教师创新意识 和创新能力认识不足，因此，在对教师的实 际考核中，没有一套科学的评价标准及指标 体系，没有一套科学的评价工具，基本上处 于定性的模糊的评价阶段，人为的主观随意 性较强。但社会的飞速发展要求我们对教师 的评价，要适应社会发展对教育的新要求。 因此，评价标准、评价工具及手续必须更 新。对教师创新意识和创新能力的要求必须 建立在激励机制的基础上。如对积极开展科 研和创造性教学的教师进行大力宣传和表彰， 并对其创造事迹和创造成果进行重奖，同时 鼓励教师积极走出去请进来进行广泛领域的学 术交流与合作，并保障其活动经费；以及把 教师晋级加薪与进修、学术交流和获得的各 项创新成果挂钩。这些激励都能起到很好的 促进作用。
但 ｙ＝０ 不是方程的解，所以方程无奇解。
例 １、例 ２ 充分体现了 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别
式是奇解的必要条件。
例 ３ 、求
的奇解。
解：令 ｙ′＝ｐ，Ｐ－ 判别式
，
消去 ｐ ，得 ｙ ２ ＝ １ ， 即 ｙ＝ ± １，因为 ｙ＝ ± １ 为原方程的解，且方
程的通解为ｙ＝ｓｉｎ（ｘ＋ｃ） 所以，ｙ＝ ± １ 是奇解（满足
例 ８ 、求
的奇解。
解：此方程的存在区域为去心正方形 ｜ｘ｜ ≤ １，｜ｙ｜ ≤ １，ｘ２＋ｙ２ ≠０
由此可见，当 Ｃ－ 判别式失效时，Ｐ－ 判别 式必然失效，但由例 ７ 知，Ｐ－ 判别式失效时， Ｃ－ 判别式不一定失效。
从以上的几个例子中，在利用两个判别式 求一阶微分方程的奇解时，会出现以下几种情 况：
路畅 １ 智婕 ２ （１ ． 西安工业学院数理系 ７ １ ０ ０ ３ ２ ； ２ ． 兰州商学院信息工程学院 ７ ３ ０ ０ ２ ０ ）
摘 要：一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解，另外可能还有个别不含于通解的特解，即奇解，利用 Ｐ－ 判别法和 Ｃ－ 判别法可以求出奇解，而这 两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解？此文中举了几个例子来说明这个问题。 关键词：一阶微分方程；奇解；Ｐ － 判别式；Ｃ － 判别式 Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｈａｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｔａｉｎｓ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｃｏｎｓｔａｎｔ， ｂｕｔ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｉｔ ｈａｓ ｓｐｅｃｉａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｉｓ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ， ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｓｏｌｖｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｐ－ｊｕｄｇｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ Ｃ－ｊｕｄｇｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ． Ｗｈｉｌｅ ｗｈｅｔｈｅｒ ｔｈｅ ｔｗｏ ｊｕｄｇｍｅｎｔｓ ｃａｎ ｂｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｇｅｔ ｅｖｅｒｙ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ？ Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｎｔｅｎｄｓ ｔｏ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ ｓｅｖｅｒａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ， Ｐ－ｊｕｄｇｍｅｎｔ， Ｃ－ｊｕｄｇｍｅｎｔ
１ ，问题的提出
对于一个一阶微分方程，如果此方程有除了
通解之外的奇解，则此奇解一定满足两个判别式，
即 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别式。
定理一［１］ 设函数Ｆ（ｘ，ｙ，ｐ）对（ｘ，ｙ，ｐ）∈Ｇ是连
续的，而且对 ｙ 和 ｐ 有连续的偏微商 Ｆｙ′和 Ｆｐ′， 若函数ｙ＝ψ（ｘ），（ｘ∈Ｊ）是微分方程Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）的
科 学 教 育 论 坛
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一阶微分方程奇解的两个判别式
Ｔｗｏ Ｊｕｄｇｍｅｎｔ ｏｆ Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｂｏｕｔ Ｆｉｒｓｔ Ｏｒｄｅｒ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎ
参考文献 ［１］ 丁同仁、李承治．常微分方程教程．高等教育 出版社．１９９１ ［２］ 刘志汉．常微分方程．陕西师范大学出版社． １９８７ ［３］ 温耀华．常微分方程．西南师范大学出版社． １９９１ ［４］ 贺建勋，王志成．常微分方程（上册）．湖 南科学技术出版社．１９７９
－２１１－
）
例 ４ 、求
的奇解。
解：方程的通解为
，
法二，方程的通解为 Ｙ ＝ Ｃ ｘ ＋ Ｃ２，
既然某些一阶微分方程的奇解既可以用Ｐ－ 判别式来求又可以用 Ｃ－ 判别式来求，那么能否 将 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别式联合来求奇解呢？
例 ６ 、求 解：令 ｙ ′＝ ｐ ，
的奇解。
；用 Ｃ－ 判别式求出的解满足非
一个奇解，并且
，则
奇解ｙ＝ψ（ｘ）满足一个称之为Ｐ－判别式的联立方
程
定理二［１］ 设微分方程
有通积分
Ｖ（ｘ，ｙ，Ｃ）＝０，又设（积分）曲线族 Ｖ（ｘ，ｙ，Ｃ）＝０ 有 包络为 ：ｙ＝ ψ（ｘ），（ｘ ∈ Ｊ）， 则奇解 ｙ＝ ψ（ｘ）满
足如下 Ｃ－ 判别式
。
定理一和定理二是奇解的必要条件，也就是 说，用 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别式求出的解不一定是 微分方程的解，如果是微分方程的解，也不一定是 奇解。但在求一阶微分方程的奇解时，通常会采用 这两种判别式，只要所求解是微分方程的解并且满 足一定的条件（用 Ｐ － 判别式求出的解满足
创新意识与能力的客观条件。作为人民教师， 肩负振兴民族教育的重任，不仅要有无上的光 荣感，更要有强烈的责任感、使命感，不断 提高自身素质，勇于探索、努力创新，为振 兴教育，推进素质教育打下坚实地基础，承 担起知识和技术创新以及创新人才培养的伟大 历史使命。
参考文献： ［１］ 吴丽萍．增强主体意识培养创新能力［Ｊ］．青 海教育论坛．２００４年 ６月 ［２］ 惠淑英，徐贵友．师继续教育应注重教师 创造素质的培养［Ｊ］．中国教育和科研．２００３年７ 月 ［３］ 朱永新，杨树兵．创新教育与教育创新［Ｊ］． 江苏教育研究．９９ 年 ５月 ［４］ 高淑贤．面向未来．培养具有创新精神的师 资队伍［Ｊ］．２０００年１０月解为
，Ｃ－ 判别
式
得不到任何曲线
－２０７－
所以 ｙ＝０ 是奇解； （下转第 ２ １ １ 页）
科 学 教 育 论 坛
中国科技信息 ２００５ 年第 ２４ 期 ＣＨＩＮＡ ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ Ｄｅｃ．２００５
百川，有容乃大。营造有利于新思想萌芽的环 境土壤对能否培养出创新型的人才至关重要。 从本质上讲，创新意识、创新能力培养是一项 创造性的活动，其行为具有一定非寻常性。对 于这种非寻常性的思维，应该鼓励；或许按照 这种思路发展不一定能得到预期的结果，其实 这并不重要，重要的是在这样一个有自由开放 之风和兼容并包之氛围中，没有压抑和讥讽， 发散性的思想火花能得到充分爆发，持续下 去，创新性的成功只是迟早而已的事。２． 要 积极创新具有学科特点的教育模式。在对大学 教学管理过程中，改变对教师集中过多、统得 过死的现象，避免教师劳动成为单调重复的行 为，使教师的教学活动真正成为名副其实的创 造性劳动。大学教师不同于中小学教师，他们 所教授课程的特点千差万别，统一规定的教育 模式势必影响甚至限制教学方法的任何创新。 应鼓励教师按照该学科的特点，由教师自主决 定课程的讲授、实践和考核方式，给教师更多 的自主权。这样不仅能推动教师教学创新，而 且学生也能从教师的创新方法中汲取营养和得到 启发。３． 要积极建立教师创新配套的激励机 制。加强对教师创新意识及能力的科学评价及 考核，建立起一种激励机制，不断地激励、刺 激教师，把他们的创新意识和创新能力充分地
总之，时代呼唤创新人才的培养，创新 人才的培养呼唤创新教育。真正意义上的创 新教育必须要有一支具有很强创新意识和创新 能力的教师队伍，尤其是承担高等教育和职 业教育的大学教师队伍。教育机构和教育管 理机构，在制订各项制度时应更为人性化， 为教师增强创新意识与能力提供必要的环境和 条件，积极鼓励创新，这些是增强大学教师
消去 Ｐ 得 ｙ＝ｘ２，将 ｙ＝ｘ２ 代入原方程不是方 程的解，所以原方程无奇解。
例 ２ 、求
的奇解。
从上面的例题，我们可以发现如果要利用Ｐ－ 判别式来求奇解，直接可以从方程出发，而如果要 利用 Ｃ－ 判别式来求奇解，必须先知道方程的通 解，然后从通解出发。如果知道方程的通解，则既 可以利用 Ｐ－ 判别式又可以利用 Ｃ－ 判别式，而 Ｐ－ 判别式看似更为简单一些。