层次分析法的原理及应用

层次分析法及其应用

摘要

层次分析法是美国运筹学家匹兹堡大学教授萨迪于20世纪70年代初，为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。本文主要介绍层次分析法原理及其在实际工作上的应用。

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的难于完全定量的复杂决策问题提供简便的决策方法。

基本原理：

应用AHP解决问题的思路：首先，把要解决的问题分层次系列化，即根据问题的性质和要达到的目标，将问题分解为不同的组成因素，按照因素之间的相互影响和隶属关系将其分层聚类组合，形成一个递阶的、有序的层次结构模型。然后，对模型中每一层此因素的相对重要性，根据人们对客观现实的判断给予定量表示，再利用数学方法确定每一层此因素相对重要性次序的权值。最后，通过综合计算各层因素相对重要性的权值，得到最底层（方案层）相对于最高层（总目标）的相对重要性次序的组合权值，以此作为评价和选择方案的依据。

基本步骤：

1.明确问题，建立层次结构模型；

2.构造判断矩阵；

3.层次单排序及一致性检验；

4.层次总排序及一致性检验。

实际案例应用

在这个信息化的时代，通讯是必不可少的一部分。如今，我们的生活也越来越离不开手机，几乎每一个人都拥有一部手机。同时，生产手机的厂商越来越多，手机的款式五花八门，选择哪款手机这个问题也困扰了许多人。以下运用层次分析法进行分析：

1.将决策分解为三个层次

目标层A：购买手机

准则层B：价格，性能，外观

方案层P：华为，苹果，三星

层次结构模型如下图：

构造判断矩阵

A B1 B2 B3 B1 P1 P2 P3

B1 1 3 5 P1 1 5 3

B2 1/3 1 3 P2 1/5 1 1/3

B3 1/5 1/3 1 P3 1/3 3 1

判断矩阵A-B 判断矩阵B1-P

B2 P1 P2 P3 B3 P1 P2 P3

P1 1 1/3 1/5 P1 1 1/5 3

P2 3 1 1/3 P2 5 1 7

P3 5 3 1 P3 1/3 1/7 1

判断矩阵B2-P 判断矩阵B3-P

计算判断矩阵的特征值，特征向量和一致性检验

1）13/15/1313/15

3

1

=A ,归一化后为：111.0077.0130.0333.0231.0217.0556

.0692.0652.0

2）列正规化后的判断矩阵按行相加：

900

.1556.0692.0652.0111=++==∑=n

j j a W 781.0333.0231.0217.01

22=++==∑=n

j j a W

318.0111.0077.0130.01

33=++==∑=n

j j a W

3）将向量=

W []

w w w T

3

2

1

,,列归一化后，得特征向量：

[]106.0,260.0,634.0T

W =

4）计算判断矩阵的最大特征根λ

max

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321)()()(106.0260.0634.013/15/1313/1531

AW AW AW AW 320

.0106.01260.03/1634.05/1)(789.0106.03260.01634.03/1)(944.1106.05260.03634.01)(321=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=AW AW AW 04.33/)()()()(33221

11

max =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++==∑

=W AW W AW W AW nW AW n

i i i λ 5)对A 进行一致性检验 02.02304.31max =-=--=n n CI λ 由1~9阶矩阵的平均随机一致性指标得：58.0=RI

1.0034.058.00

2.0〈===RI CI CR 满足一致性要求

6）对1B ,2B ,3B 进行一致性检验 同理5）步骤进行计算可得：

矩阵P B -1：[]T

W 260.0,106.0,634.0=，04.3max =λ，1.0034.0〈=CR

矩阵P B -2：[]T

W 633.0,260.0,106.0=，04.3max =λ，1.0034.0〈=CR

矩阵P B -3：[]T

W 08.0,724.0,193.0=，067.3max =λ，1.0058.0〈=CR

根据上表可得层次总排序的组合权向量：⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=319.0202.0457.0321WP WP WP W 故最终决策为：P1首选，P3次之，P2最后。即购买手机时，若在华为，苹果和

三星之间选择，则华为首选，三星次之，苹果最后。

结束语

这次的论文通过对层次分析法进行详细描述，并运用层次分析法对实际案例进行分析决策。让自己对该方法更加了解，并且掌握了这种对系统评价的方法。通过对本学期系统工程导论的学习，了解了系统工程以及体系的基本概念和思想。并在这问课程中学习到了关于系统的分析、建模、预测、评价以及决策等重要知识，我相信这些知识会在以后的学习和工作当中起到重要的作用。

参考文献

[1]陈队永.系统工程原理及应用.北京：中国铁道出版社,2014.