对多人博弈的霍特林模型的研究

对多人博弈的霍特林模型的研究

一、对博弈问题研究的扩展

对局中人和策略集的扩充。将两人，两策略博弈推广到任意n 个局中人，m种策略集以及策略集可为无限，连续策略集。

假定一个博弈有三个参与人甲、乙和丙，参与人甲有U和D两种纯策略可供选择，参与人乙有L和R两种纯策略可供选择，参与人丙有A和B两种纯策略可供选择。

A

B 采用相对优势策略下划线法容易知道，这个博弈存在两个纯策略纳什均衡（U，L，A）和（D，R，B），并且前者帕累托优于后者，所以该博弈的结果应当是（U，L，A）这个纳什均衡。

但是，如果我们考虑到参与人之间存在共谋的可能性，则（U，L，A）并非博弈的最终结果。因为如果参与人丙按照纳什均衡（U，L，A）的指引选择矩阵A，则只要参与人甲和乙达成一致行动的默契，分别采用策略D和策略R，他们就都能获得1单位的利益，大

于他们在纳什均衡（U，L，A）时得到的都是0的收益。

而纳什均衡的精髓，是单独偏离没有好处，即参与人单独改变策略选择没有好处。问题是在纳什均衡要求的单独偏离没有好处的情况下，仍然可能存在若干参与人集体偏离或者说共谋偏离的激励。如果一个纳什均衡虽然因为纳什均衡本身的要求排除了参与人单独偏离的激励，但是却存在若干参与人集体偏离的激励，就难以认为它是博弈的稳定的结果。

二、多人博弈的霍特林模型

多人博弈的霍特林模型的纳什均衡，有两个大系。

2.1 二人博弈的霍特林模型，有唯一的纳什均衡解，就是两台都挤在1/2即中点的地方，三人博弈的霍特林模型，没有纳什均衡解；当N=2k-1个点将线段分为2k等分，在1/2k、3/2k、7/2k……（2k-3）/2k、（2k-1）/2k处各有两台，在5/2k处有一台时，就是一个纳什均衡。其实，单独的那一台的位置在3/2k到（2k-3）/2k的任意一个分点都可，但最两端的点必须是两台挤在一起，这些对局都是博弈的纳什均衡。这时候，两台挤在一起的，市场份额分别为1/2k，单独一台的市场份额为2/2k；当N=2k时，用2k-1个点将线段分成2k 等分，在1/2k、3/2k、5/2k……（2k-3）/2k、（2k-1）/2k处各有两台时的对局，是这个博弈的纳什均衡，这个时候，每台的市场份额都是1/2k。

2.2 当博弈参加者人数为偶数N=2n时，其中n不小于2，那么（1/2n、1/2n、3/2n、3/2n、5/2n、5/2n……2n-1/2n、2n-1/2n）是纳什均衡；当博弈参加者人数为奇数N=2n-1时，其中n不小于2，那么（1/2n、1/2n、3/2n、4/2n、6/2n……2n-3/2n、2n-1/2n、2n-1/2n）是博弈的纳什均衡。

三、对多人博弈的霍特林模型的补充

通过对多人博弈的霍特林模型的研究，除二人博弈的霍特林模型，有唯一的纳什均衡解，多人霍特林模型不存在稳定的纳什均衡。

当N=2时，霍特林模型的均衡解为，两点都处于中心点上。

当N=3时，霍特林模型的均衡解不存在。

当N=4时，霍特林模型的均衡解为：

两点分别挤在1/4处和3/4处为纳什均衡，此时四点的市场份额都为1/4。虽然对于单独的向外或向内移动没有动机，但对于共同的抗共谋是能获取更大利益的。

如两点一起向中点附近移动，占据的市场份额相对变大，最终导致每点会向中点移动，最终与三人博弈的霍特林模型相同，没有纳什均衡解。

当N=5时，霍特林模型的均衡解为：

两点分别挤在1/6处和5/6处为纳什均衡，另外一点位于中点上，此时外围四点的市场份额都为1/6，中间一点的市场份额为1/3。虽

然对于外围的四点单独的向外或向内移动没有动机，但对于共同的抗共谋是能获取更大利益的。

如两点一起向中点附近移动，占据的市场份额相对变大，最终导致每点会向中点移动，最终与三人博弈的霍特林模型相同，没有纳什均衡解。

四、总结

对于多人博弈的霍特林模型，单纯考虑纯策略可能难以解决均衡问题，但在现实生活中，动机和实现不是一回事，除了自身的功能外，还需要考虑现实因素，通过外界干预，才能更好的解决问题。