2020秋名师教学设计：第一章_勾股定理_回顾与思考(一)

第一章勾股定理回顾与思考

吴昭鑫

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值.勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，具有学科的基础性与广泛的应用.

本课时教学是复习课，强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，强化应用意识，培养学生多方面的能力.让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受数学的美，以提高学习兴趣.

教学目标：

①回顾本章知识，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用.

②在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力.

③在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣.通过对勾股定理历史的再认识，培养爱国主义精神，体验科学给人来带来的力量.

教学过程：

第一环节：新课引入

勾股定理，我们把它称为世界第一定理. 它的重要性，通过这一章的学习已深有体验；首先, 勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理得发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在《实数》一章里讲到；第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明.

勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用.

第二环节：知识要点

本章知识要点及结构: (第1--6 题由学生独立思考完成，小组代表展示)

1.勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么.

2.勾股定理各种表达式：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边也分别为a，b，c，则c2= b2= .

3.勾股定理的逆定理：

在△ABC中，若a，b，c三边满足，则△ABC为.

4.勾股数：满足的三个称为勾股数.

5.几何体上的最短路程是将立体图形的展开，转化为上确定两点之间的问题，再利用，解决最短线路问题.第三环节：合作交流

6.直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系?

(教师引导、小组讨论、总结)

①边之间关系：勾股定理

②角之间关系：直角三角形中，两锐角互余

③边角之间关系：直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半

7.举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形.

①利用边：勾股定理的逆定理

②利用角：在△ABC中，∠A、∠B、∠C

I、∠A+∠B=90°

II、∠A+∠B=∠C或∠A-∠B=∠C

Ⅲ、∠A:∠B:∠C=1:2:3

…

学生有独立思考的空间，又有合作交流的舞台，动静结合，相得益彰.

第四环节：合作探究

探究一：利用勾股定理求图形面积

1.求出下列各图中阴影部分的面积.

图(1)阴影部分的面积为; (答案：1)

图(2)阴影部分的面积为; (答案：81)

图(3)阴影部分的面积为; (答案：5) 22+12=5

探究二：利用勾股定理求边长

已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长的平方.

(需要注意什么? )

解：(1)当两直角边为3和4时，第三边长的平方为：32+42=25;

(2)当斜边为4，一直角边为3时，第三边长的平方为: 42-32=7.

所以：第三边长的平方是25或7.

探究三：直角三角形两直角边的比是3:4，斜边长20，求此三角形的面积.

(板书答题步骤或有展台展示学生的答题过程)变式：已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14 cm, c= 10 cm，求：Rt△ABC

的面积.

方法一、仿照上题思路完成;

方法二、利用完全平方公式：

()()

()

()

222

22

22

11

2

24

1

4

1

4

1

1410

4

24

ABC

S ab ab

a b a b

a b c

==⨯

⎡⎤

=+-+

⎣⎦

⎡⎤

=+-

⎣⎦

=⨯-

=

解：

探究四：如图，有一个直角三角形纸片ABC, AC=6 cm，BC=8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合.你能求出CD的长吗?

温馨提示：①三角形纸片上，哪些长度是确定的?②折叠过程中有哪些相等的线段?设法在图中标出来.

解：AC=6 cm，BC=8 cm，

由勾股定理得：AB=10 cm

设CD=x cm，则DE=x cm，BD=(8-x) cm，BE=4 cm

由勾股定理得:：42+x2=(8-x)2

解得：x=3

即：CD=3 cm

变式：如图，在长方形ABCD中，AB=8 cm，BC=10 cm，在

边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上

的点F，求CE的长.

温馨提示：①哪些长度是确定的?②折叠过程中有哪些相等的线段?设法在图中标出来.