基本不等式(优秀经典公开课比赛课件)

A.x+y≥2( 2 +1)
B.xy≤ 2 +1
C.x+y≤( 2 +1)2
D.xy≥2( 2 +1)
【解析】选A.因为xy-(x+y)≤xy- 2 xy,
所以xy- 2 xy ≥1,解得xy≥3+ 2 2 .
又xy-(x+y)≤ 1 (x+y)2-(x+y),
4
1 (x+y)2-(x+y)≥1,解得x+y≥2(
4
2 +1).
3.函数f(x)= x2 x 1 的值域为_________ .
x2 1
【解析】f(x)=
x2 x 1
x
x2 1 11 x2 .
1 2
x 1 x2

1 ,所以 1 22
x 11 x2

3. 2
答案: [1 , 3]
22
【知识探究】
探究点 基本不等式 1.在基本不等式 a b ab 中,为什么要求a>0,b>0?
2
提示:因为若a<0,b<0时,不等式显然不成立,若其中有
一个为0时,不能称 ab 为几何平均,故要求a>0,b>0.
2.若f(x)=x+ 1 ,则f(x)的最小值为2吗?
x
提示:f(x)的最小值不是2,只有当x>0时,f(x)的最小
值才是2.
【归纳总结】 1.理解基本不等式的两个关键点 一是定理成立的条件是a,b都是正数;二是等号取得的 条件是当且仅当a=b时.
提示:由x+2y+xy=30,得y= 30 x .
x2
【解析】1.选C.因为 1 2 ab ,所以a>0,b>0,由
ab
ab 1 2 2 1 2 ＝2 2 ，所以ab≥2 2 (当且仅当
a b ab
ab
b=2a时取等号),所以ab的最小值为2 2 .
2.由x+2y+xy=30,得y= 30 x (0<x<30),
【即时小测】
1.已知x>3,则x+ 4 的最小值为 ( )
x3
A.2
B.4
C.5
D.7
【解析】选D.x>3,则 x 4 x 3 4 3
x3
x3
2x 3 ( 4 ) 3 7.
x3
当且仅当x=5时等号成立.
2.设x,y∈R+且xy-(x+y)=1,则 ( )
2.利用 a b ab 求最值的三个条件
2
(1)各项或各因式为正.
(2)和或积为定值.
(3)各项或各因式能取得相等的值.
3.定理1与定理2的不同点 定理1的适用范围是a,b∈R;定理2的适用范围是 a>0,b>0.
4.两个不等式定理的常见变形
(1)ab≤
a2
2
b2
.?(2)ab≤
(
x2
所以x·y= 30 x x 30x x2 x 22 34x 2 64
x2
x2
x2
=34- [x 2 64 ]，
x2
因为x+2+ 64 2 x 2 64 16. 可得xy≤18.
x2
x2
当且仅当x+2= 64 ,即x=6时,代入y= 30 x，
ab
A. 2
B.2
C.2 2
D.4
2.已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求x·y的最大值.
【解题探究】1.如何利用条件?
提示:根据 1 2 ab 可得a>0,b>0,然后借助基本不
ab
等式 1 2 2 1 2 , 构造关于 ab 的不等式.
a b ab
2.如何利用“x+2y+xy=30”这个条件?
a
2
b
)2
(a>0,b>0).
(3)
b a

a b
≥2(ab>0).(4)
( a b )2 2

a2
b2 2
.
(5)a+b≤ 2(a2 b2 ).
上述不等式中等号成立的充要条件均为a=b.
类型一 利用基本不等式求最值
【典例】1.(2015·湖南高考)若实数a,b满足
1 2 ab ,则ab的最小值为 ( )
yx
所以x+y= ( 1 2)x y x 2y 3
yx
yx
≥ 2 x 2y 3 2 2 3
yx
当且仅当 x 2y ,结合 1 2 1
yx
yx
得x= 2 +2,y=1+ 2 时,取最小值2
2 +3.
2.典例中题2条件不变,求x+2y的最小值. 【解题指南】利用x+2y+x·y=30,建立关于x+2y的不等 式求最值.
③验证利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足, 则可取最值;若不满足,则可通过函数单调性或导数解 决.
(2)步骤:
【拓展延伸】利用基本不等式解决实际应用问题的方 法
利用不等式解决实际应用问题时,首先要仔细阅读 题目,弄清要解决的实际问题,确定是求什么量的取值; 其次,分析题目中给出的条件,建立y的函数表达式 y=f(x);最后,利用不等式的有关知识解题.
【解析】由30=x+2y+xy=x+2y+ 1 ·x·2y
2
≤x+2y+ 1 ( x 2y)2
22
即(x+2y)2+8(x+2y)-240≥0,
(x+2y+20)(x+2y-12)≥0,
所以x+2y≥12或x+2y≤-20(舍)
故x+2y的最小值为12,当且仅当x=6,y=3时取得.
【方法技巧】应用基本不等式求最值的方法与步骤 (1)方法:二看一验证 ①一看式子能否出现和(或积)为定值,若不出现,需对 式子变形,凑出需要的定值; ②二看所用的两项是否同正,若不满足,通过分类解决, 同负时,可提取(-1)变为同正;
源自文库
x2
x2
得y=3时,x·y取最大值18.
【延伸探究】
1.典例中题2若将条件“x+2y+xy=30”改为
“x+2y=x·y”,其他条件不变,求x+y的最小值.
【解题指南】将条件x+2y=x·y,变成 1 2 1.
yx
然后再乘以x+y,即可利用均值不等式求得.
【解析】由x+2y=x·y得, 1 2 1.
2.基本不等式
【自主预习】 1.重要不等式 定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2_≥__2ab,当且仅当_a_=_b_ 时,等号成立.
2.基本不等式 (1)定理2:如果a,b>0,那么__a_2_b____a_b_.
当且仅当_a_=_b_时,等号成立.
(2)定理2的应用:对两个正实数x,y, ①如果它们的和S是定值,则当且仅当_x_=_y_时,它们的 积P取得最_大__值; ②如果它们的积P是定值,则当且仅当_x_=_y_时,它们的 和S取得最_小__值.