[29]热环境下壁板非线性颤振分析

收稿日期:2007 07 11;修改稿收到日期:2008 04 07 基金项目:国家自然科学基金和中国工程物理研究院联合

基金(10576024)资助项目 作者简介:叶献辉*(1980 ),男,博士生

(E mail:ye_x ian hui@).

第26卷第5期2009年10月

计算力学学报

C hinese Journal of C omputational Mechanics

V ol.26,N o.5October 2009

文章编号:1007 4708(2009)05 0684 06

热环境下壁板非线性颤振分析

叶献辉*

, 杨翊仁, 范晨光

(西南交通大学力学与工程学院,成都610031)

摘 要:基于一阶活塞气动力理论,采用V on K arman 大变形应变 位移关系建立了无限展长壁板热环境下颤振方程,采用伽辽金方法对方程进行离散处理。取温度为分叉参数,研究壁板颤振时的分叉及混沌等复杂动力学特性。结果表明:温度载荷降低了系统的颤振临界动压,改变了颤振特性。在整个分岔参数范围内,系统呈现出较为复杂的变化,包括衰减振动、极限环振动、拟周期振动和混沌型振动。当考虑材料热效应时,系统的颤振动压将进一步降低,其响应也表现出更为丰富的非线性动态力学行为。关键词:壁板;热颤振;极限环;混沌中图分类号:V 215 3 文献标识码:A

1 引言

高速飞行器由于飞行马赫数高,边界层内摩擦剧烈,使气流温度升高,从而导致飞行器结构温度的升高。气动加热给这类飞行器的设计增加了很多挑战性的问题,壁板的热颤振问题是其中一个关键的气动弹性问题。壁板热颤振的发生会对飞行器结构的使用寿命、飞行器的性能甚至飞行安全带来不利的影响。

壁板颤振属于自激振动范畴,按线性振动理论,存在一个临界动压值,超过该临界值,系统振动幅值呈指数增长,直至结构破坏。实际上,由于非线性因素的影响,振动幅值将受到限制而产生限幅运动。随着低成本可重复使用航天飞机和无人驾驶超高音速飞行器的出现,使得该领域的研究相当活跃[1 7]。颤振分析方法归纳起来主要有两类:其一为经典方法,如伽辽金方法、谐波平衡法和扰动方法;其二为有限元方法。Dow ell

[1,2]

采用伽辽金方法结合数值

计算研究了受轴向力简支板的极限环振动,Kuo 等[3]采用谐波平衡法和扰动方法研究了壁板的非线性颤振。Mei 和Gray 等

[4,5]

用有限元方法研究了二

维壁板在超音速高超音速气流作用下的极限环振动。Dix on 等[6]采用24个自由度4节点板单元研究了矩形复合材料壁板的非线性颤振问题。

在热环境下,气动加热产生的温度效应将影响壁板的颤振特性[7]。这种影响具体体现在两个方面:(1)温度的升高使材料的机械性能发生改变。(2)结构受热时,如果出现温度分布不均匀或者结构变形受到约束,都要产生热应力。材料性能的改变和结构的热应力将改变颤振边界和颤振特性,极大地影响飞行器的性能甚至飞行安全。从目前文献来看,研究者大多仅考虑第一个影响因素,很少的研究者同时考虑两个影响因素来分析壁板颤振问题。随着新型结构材料以及智能材料在壁板制造和壁板颤振抑制中的使用,第一个因素带来的材料热效应将日益突出。因此有必要同时考虑上述两方面热效应的影响,对壁板颤振问题做更细致的分析。

2 动力学方程

考虑一个对边简支无限展长的二维壁板,其长度为a,厚度为h,且h a,单位长度质量为 。上表面作用有沿x 方向超音速气流,速度为U ,如图1所示。根据Kirchho ff 平板理论和Vo n Karman 大变形定理,并考虑温度影响,其控制方程:D

h

!4w =w ,xx ,yy -2w ,xy ,xy +w ,yy ,xx +

q a

h

- w ,tt

+E T 1-!

!2

h/2

-h/2

T(x ,y ,z )z d z

(1a )

1E

!4 =w 2,xy -w ,xx w ,yy - T !

2

h/2

-h/2

T(x ,y ,z )d z

(1b )

图1 壁板模型

Fig.1 T he model of panel

式中w为板的z向位移,D=Eh3/(1-!2)为板的弯曲刚度, 为Airy应力函数,T为温度变化量,E, !和T分别为材料的弹性模量、泊松比和热膨胀系数,q a为气动载荷,!2()=(),xx+(),yy,下标中一撇表示对其后的变量求导数。

由于壁板较薄,因此本文中将温度考虑为均匀的温度场,即T(x,y,z)=T,而材料参数E和T 随温度的变化表示为如下形式[8]:

E=E0+E1T=E0(1+eT)

T=0+1T=0(1+T)

式中E0和0为加热前材料的弹性模量和热膨胀系数谐,E1和1为温度升高一度时材料的弹性模量和热膨胀系数的变化量。一般来说,材料的弹性模量随温度升高而下降,而热膨胀系数随温度升高而增大,因此E1<0,1>0,e=E1/E0,=1/0。

由于平板有两个对边是无限长,一切变量不沿y方向变化,故有:

u=u(x,t),v=0,w=w(x,t)(2a)

∀x=∀x(x,t),∀y=0,∀xy=0(2b)式中u和v分别为x和y方向的位移;∀x,∀y,∀xy为x,y的正应变和剪应变。这时,应力为

#x=N x/h= ,yy=E

1-!2

[∀x-(1+!)T T]

(3a)

#y=N y/h= ,xx=E

1-!2

[!∀x-(1+!)T T]

(3b)

#xy=N xy/h=- ,xy=E

1+!

∀xy=0(3c)将式(2,3)代入式(1),此时式(1b)自动满足。式(1a)化为

D w,xx xx=w,xx#x h+q a- hw,tt(4) 由Von Karman假设:

∀x=∀x(x,t)=u,x+1

2

w2,x(5)代入式(3a)可得:

#x=E

1-!2

u,x+1

2

w2,x-(1+!)T T(6)由于x=0和x=a的两边都在x方向受有约束,则有位移边界(u)x=0,a=0,由此可得:

a

u,x d x=(u)x=a-(u)x=0=0(7)联立式(6)和式(7)求得:

#x=E

(1-!2)a

1

2

a

w2,x d x-(1+!)T T a(8)将式(8)代入式(4)有:

Dw,xxx x-E h

(1-!2)a

1

2

a

w2,x d x-(1+!)T T a

w,xx-q a+ hw,tt=0(9)超音速气流作用下产生的气动载荷q a用一阶活塞理论[9]表示为

q a=p-p =-

U2

M

w,t

U

+w,x(10)式中 为来流密度,M 为来流马赫数,k为空气比热比。

引入无量纲量:

w-=w

h

,x-=x

a

,t-=t∃,∃=a

4 h

D0

1/2

D0=E0h

3

1-!2

,%T=

T

T-q

T-q=D0(1-u)

E00ha2

, -=

a

h

q =

U2

2

,&=

U2 a3

M D0

则有:

c e w-,x-x-x-x--c e6

1

(w-,x-)2d x--c%T w-,x-x-+ &

-

&M

1

2

w-,t+w-,x+w-,tt=0(11)式中c e=1+d e e%T T q,c=1+d%T T q。d e和d取值1或0,分别表示材料弹性模量和热膨胀系数随温度变化或不随温度变化。

3 运动方程的离散化

由于壁板两边简支,即(w-)x-=0,1=0,(w-,x-x-)x-=0,1=0,满足边界条件的试函数为sin(i∋x-),i=1,2,!。

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