(人教版)高中数学之21第2章 圆锥曲线与方程242 第1课时PPT课件
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2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线的标准方程课件1新人教B版选修2_1
抛物线的标准方程
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定 直线 l ( F l ) 的距离相等的 点的轨迹叫做抛物线. 焦点到准线的距离叫做抛物线 的焦参数,用P表示，即P=|KF|.
l
l
N
准线
M
K
F
焦点
注意: 当F l时
F
M
二、标准方程的推导
l 的垂线，垂足为K . 建系：过 作准线 F 以 KF 为 x 轴，线段 KF 的中垂线为 y 轴，
x 16 y
2
3.求焦点在 x 轴，且过点（-1，3）抛 物线的标准方程.
y 9x
2
4.焦点到准线的距离为 2,求抛物线标准方程.
y 2 2 2x或x2 2 2 y
这节课你学到了什么？
知识内容： 1.抛物线定义和P的几何意义.
2.抛物线的标准方程与其焦点坐标、 准线方程. 方 法: 定义法、待定系数法.
数学思想：数形结合、转化和类比的数学思想.
y H
图形
M x
标准方程
焦点坐标
p ,0 2
准线方程
x p 2
y 2 2 px
O F l M y H
p 0
y 2 2 px p 0
F O x l y F O y O F
如何根据方程的特 点确定抛物线焦点 p p ,0 x 2 2? 位置及开口方向
例2、焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是3，求抛物 线的标准方程、焦点坐标和准线方程. 练一练：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
1 y2 6x 2 y ax2 (a 0)
1.求抛物线的焦点坐标和准线方程： 标准方程 焦点坐标 准线方程
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定 直线 l ( F l ) 的距离相等的 点的轨迹叫做抛物线. 焦点到准线的距离叫做抛物线 的焦参数,用P表示，即P=|KF|.
l
l
N
准线
M
K
F
焦点
注意: 当F l时
F
M
二、标准方程的推导
l 的垂线，垂足为K . 建系：过 作准线 F 以 KF 为 x 轴，线段 KF 的中垂线为 y 轴，
x 16 y
2
3.求焦点在 x 轴，且过点（-1，3）抛 物线的标准方程.
y 9x
2
4.焦点到准线的距离为 2,求抛物线标准方程.
y 2 2 2x或x2 2 2 y
这节课你学到了什么？
知识内容： 1.抛物线定义和P的几何意义.
2.抛物线的标准方程与其焦点坐标、 准线方程. 方 法: 定义法、待定系数法.
数学思想：数形结合、转化和类比的数学思想.
y H
图形
M x
标准方程
焦点坐标
p ,0 2
准线方程
x p 2
y 2 2 px
O F l M y H
p 0
y 2 2 px p 0
F O x l y F O y O F
如何根据方程的特 点确定抛物线焦点 p p ,0 x 2 2? 位置及开口方向
例2、焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是3，求抛物 线的标准方程、焦点坐标和准线方程. 练一练：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
1 y2 6x 2 y ax2 (a 0)
1.求抛物线的焦点坐标和准线方程： 标准方程 焦点坐标 准线方程
(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.3.1
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(2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴93m6m＋＋0＝ 9n1＝，1， 解得nm＝＝－19，13， ∴所求双曲线的标准方程为x92－y32＝1.
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
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定义法求方程
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝ 9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆的圆心M的轨迹方 程．
思路点拨： 根据两圆外切的定义从中找出相关的几何关 系，与所学椭圆、双曲线的定义进行对比可解．
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第二章 圆锥曲线与方程
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(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲 线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正， 则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时， 双曲线的方程才具有标准形式．
(4)双曲线的标准形式的特征是数xⅠ2 ＋数yⅡ2 ＝1，数Ⅰ与
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3．与双曲线x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程是 ________(只写出一个即可)．
解析： 与x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程为8＋x2 k －10y－2 k＝1(－8<k<10)．
答案： x62－1y22 ＝1
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第二章 圆锥曲线与方程
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第二章 圆锥曲线与方程
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.1.2.1
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由方程确定椭圆的性质
•
已知椭圆的方程为4x2＋9y2＝36.
• (1)求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长以及离心率；
• (2)结合椭圆的对称性，运用描点法画出这个椭圆．
[思路点拨] (1) 化为标准方程 → 求出a，b，c → 焦点位置 → 得其几何性质
(2) 将方程变形 → 列表 → 描点 → 得出图形
__ay_22＋__bx_22＝__1_(a_>_b_>_0_) ____
图形
范围 ___－__a_≤__x_≤__a_，__－__b_≤__y_≤__b____ －__b_≤__x≤__b_，__－_a_≤__y≤__a_
顶点
___(_±__a_,0_)_，__(0_，__±__b_)___
____(_0_，__±__a_)，__(_±__b_,_0_) __
焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短
轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
• (2)本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画 图过程，保证图形的准确性．
1．已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率 e＝ 23，求 m
的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
(2)将方程变形为 y＝±23 9－x2(－3≤x≤3)． 由 y＝23 9－x2，在 0≤x≤3 的范围内计算出一些点的坐标(x， y)，列表如下：
x0123 y 2 1.9 1.5 0 先用描点法画出椭圆在第一象限内的部分图象，再利用椭圆 的对称性画出整个椭圆．
•
(1)求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚
(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.3.2 第1课时
a＝13，b＝m1 ，
9 m2
取顶点0，13，一条渐近线为 mx－3y＝0， 所以15＝|－m32×＋139|，则 m2＋9＝25，
∵m＞0，∴m＝4.
答案： D
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第二章 圆锥曲线与方程
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3．已知点(2,3)在双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)上， C 的焦距为 4，则它的离心率为________．
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1．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是( )
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
解析： 双曲线方程可化为x42－y82＝1，∴a2＝4，a＝2，
则 2a＝4，故选 C. 答案： C
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第二章 圆锥曲线与方程
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c e＝__a__
__y_＝__±_ba_x_
_y_＝__±_ab_x__
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第二章 圆锥曲线与方程
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等轴双曲线
___实__轴__和___虚__轴___等长的双曲线叫做等轴双曲线．
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第二章 圆锥曲线与方程
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由①②联立，无解．
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第二章 圆锥曲线与方程
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第二章 圆锥曲线与方程
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令 y＝0，解得 x＝±3，因此顶点坐标为 A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)． 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4， 离心率 e＝ac＝ 313， 渐近线方程 y＝±bax＝±23x. 作出草图(如图所示)．
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2第2课时直线与抛物线的位置关系课件新人教A版选修21
①若a≠0，
当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点．
②若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于 抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一 个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
〔跟踪练习1〕 已知点A(0,2)和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l的方程．
个公共点，无公共点？
[思路分析] 直线与抛物线公共点的个数，就是直线方 程与抛物线方程联立方程组解的个数，由判别式可讨论 之．
[规范解答] 直线 l：y－1＝k(x－1)，将 x＝－y22代入整理得，ky2＋2y＋2k－2 ＝0．
(1)k＝0 时，把 y＝1 代入 y2＝－2x 得，x＝－12，直线 l 与抛物线 C 只有一个 公共点(－12，1)．
提示：手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面 的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面， 这种曲面叫抛物面，抛物线有一条重要性质，从焦点发出 的光线，经过抛物面上的一点反射后，反射光线平行于抛 物线的轴射出，手电筒就是利用这个原理设计的．
直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线公共点的个数0个可、以1个有或2个
综上知，k<1－2
3或
1＋ k> 2
3时，l 与 C 无公共点；
k＝1±2 3或 k＝0 时，l 与 C 只有一个公共点；
1－ 2
3 <k<0
或
1＋ 0<k< 2
3时，l 与 C 有两个公共点．
『规律总结』 直线与抛物线交点个数的判断方法
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方 程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，
当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点．
②若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于 抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一 个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
〔跟踪练习1〕 已知点A(0,2)和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l的方程．
个公共点，无公共点？
[思路分析] 直线与抛物线公共点的个数，就是直线方 程与抛物线方程联立方程组解的个数，由判别式可讨论 之．
[规范解答] 直线 l：y－1＝k(x－1)，将 x＝－y22代入整理得，ky2＋2y＋2k－2 ＝0．
(1)k＝0 时，把 y＝1 代入 y2＝－2x 得，x＝－12，直线 l 与抛物线 C 只有一个 公共点(－12，1)．
提示：手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面 的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面， 这种曲面叫抛物面，抛物线有一条重要性质，从焦点发出 的光线，经过抛物面上的一点反射后，反射光线平行于抛 物线的轴射出，手电筒就是利用这个原理设计的．
直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线公共点的个数0个可、以1个有或2个
综上知，k<1－2
3或
1＋ k> 2
3时，l 与 C 无公共点；
k＝1±2 3或 k＝0 时，l 与 C 只有一个公共点；
1－ 2
3 <k<0
或
1＋ 0<k< 2
3时，l 与 C 有两个公共点．
『规律总结』 直线与抛物线交点个数的判断方法
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方 程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线课件新人教A选修2_1
2
2
12|(x0-12)2+74|.
当 x0=12时,dmin=782.
(法二)由 y = x2,
消去 y,得 x2-x-m=0,
x-y + m = 0,
令Δ=1+4m=0,得 m=-1,
4
所以切线方程为 x-y-1=0,
4
所以最短距离为 d=|-2+14|=7 2.
28
1.抛物线 y2=-2px(p>0)的焦点恰好与椭圆x2+y2=1 的一个焦点重
探究 1:由抛物线的几何性质求标准方程
【例 1】已知等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点,另外 两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上.若该三角形的斜边长为 4,求 此抛物线的方程.
想一想:过抛物线 y2=8x 的焦点作倾斜角为 45°的直线,则
被抛物线截得的弦长为
.
(指定小组回答,其他组补充)
【解析】由抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0),得直线的方程为 y=x-2.
代入 y2=8x,得(x-2)2=8x,即 x2-12x+4=0. 所以 x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16. 【答案】16
某公园要建造一个如图 1 的圆形喷水池,在水池中央垂直于 水面安装一个花形柱子 OA,O 恰在水面中心,OA=0.81 米,安置在柱 子顶端 A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛 物线路径落下,且在过 OA 的任一平面上抛物线路径如图 2 所示. 为使水流形状较为漂亮,设计成水流在与 OA 距离为 1 米处达到距 水面最大高度 2.25 米.
第 10 课时 抛物线的简单几何性质
重点:抛物线的性质及其应用. 难点:正确地根据方程讨论曲线的几何性质,并注意椭圆、双 曲线、抛物线的性质的联系与区别. 学法指导:通过研究抛物线的标准方程和图形掌握抛物线的 几何性质;在处理习题的过程中要有意识地总结抛物线的一些常 用性质,比如焦点弦的性质;对于抛物线的实际应用问题要注意 体会其处理方法(常常要进行建系),将题目给定的长度关系转化 为坐标关系,从而利用方程或性质来解决.
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章圆锥曲线与方程2.3.1
• 当焦点在x轴上时，方程中的一次项就是x的
一次项，且符号指导了抛物线的开口方向，为 正时开口向右，为负时开口向左；当焦点在y轴 上时，方程中的一次项就是y的一次项，且符号
指导了抛物线的开口方向，为正时开口向上， 为负时开口向下．
1．抛物线 x2＝ay 的准线方程是 y＝2，则实数 a 的值为( )
解析： (1)设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，其焦点为 p2，0，根据题意有p2＝3，故 p＝6，
因此，标准方程为 y2＝12x. (2)设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，其准线方程为 x＝ －52，由题意有－p2＝－52，故 p＝5， 因此，标准方程为 y2＝10x.
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线方程．需注意p>0，焦点所在轴由标准方程
一次项确定，系数为正，焦点在正半轴，系数
为负，焦点在负半轴．
• 1．已知抛物线的标准方程如下，分别求其 焦点和准线方程． • (1)y2＝6x；(2)2y2－5x＝0；(3)y＝ax2.
解析： (1)∵2p＝6，∴p＝3，开口向右．则焦点坐标是
32，0，准线方程为 x＝－32.
5分
所以，抛物线方程为 x2＝－ay.
6分
将点 E(0.8，y)代入抛物线方程，得 y＝－0.a64. 所以，点 E 到拱底 AB 的距离为a4－|y|＝a4－0.a64>3. 9 分 解得 a>12.21，∵a 取整数，∴a 的最小值为 13. 12 分
•
(1)本题是与抛物线有关的应用题，
解题时，可画出示意图帮助解题，找相关点的
(2)令 x＝0 得 y＝－2，令 y＝0 得 x＝4， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． 当焦点为(4,0)时，p2＝4， ∴p＝8，此时抛物线方程 y2＝16x； 当焦点为(0，－2)时，p2＝|－2|， ∴p＝4，此时抛物线方程为 x2＝－8y. 故所求的抛物线的方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质课件新人教A版选修2_1
A.
3 3 2 2 B. C. D. 2 4 2 3
2
解析:化为标准形式 x + 则 �����2
1 4
= 1, =
3 . 2
1 2 , ������ 4
=
3 ������ , 故e= 4 ������
【做一做3】 已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离 心率为( )
3.弦长公式 剖析:设直线方程为 y=kx+m(k∈R,且
������2 ������
2
= 1(������ > ������ >
������2 0)或 2 ������
+
������2 ������
2
������2 k≠0),椭圆方程为 2 ������
+
= 1(������ > ������ > 0),
=
1 + ������ 2 · (������1 + ������2 )2 -4������1 ������2 ,
或者|AB|= = =
(������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2
2
������1 -������ ������2 -������ ������ ������
直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= = (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2
(������1 -������2 )2 + (������������1 + ������-������������2 -������)2 = (������1 -������2 )2 · (1 + ������ 2 ) = 1 + ������ 2 · |x1-x2|
《抛物线及其标准方程》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第2.4.1课时)
x 2 =－8 y （3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的标准方程
y 2 =－4 x
（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程
y
2
=
4 3
x
x2=
9 2
y
课堂练习
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
（2）准线方程
是x
=
1 4
；
y2 =12x y2 =x
方程. 解: 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，2 2 ）， 坐标轴
所以设方程为： y2 2 px ( p 0)
又因为点M在抛物线上：
所以：(2 2)2 2 p 2 p 2
因此所求抛物线标准方程为： y2 4x
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)),可避免讨论
d M·
C
H
焦点 ·F
即:若 MF 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线.
d
l
那么如何建立坐标系,使抛物线的方
准线
e=1
程更简单,其标准方程形式怎样?
d 为 M 到 l 的距离
新知探究
二、抛物线标准方程的推导
x 解法一：以 L为 y轴，过点 F垂直于 L 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定
F (0, p ) 2
y p 2
范围 x≥0 y∈R x≤0 y∈R
y≥0 x∈R
y≤0 x∈R
顶点 (0,0)
对称轴 e x轴 1 y轴
新知探究
特点：
y2=4x
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;
版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程的概念课件 新人教B版选修2-1.pptx
答案 解析
13
反思与感悟
解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的 方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性” 是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判 断点的坐标是否适合曲线的方程.
15
跟踪训练1 设方程 f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，
②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，
则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距
离的积是常数k，点M1是曲线上的点.由①②可知，xy＝±k是与两条坐标
轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.
17
反思与感悟
解答
∵12＋(－2－1)2＝10，( )22＋(3－1)2＝6≠10， ∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q( ，32)不在此曲线 上.
10
梳理
(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的 两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系， 曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上. 定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适 合方程的点都在曲线上而毫无遗漏. (2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数 对(x，y)建立了 一一对应 关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研 究方程的性质可间接地研究曲线的性质.
解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程 的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的 解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备 性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线 的方程.
13
反思与感悟
解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的 方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性” 是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判 断点的坐标是否适合曲线的方程.
15
跟踪训练1 设方程 f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，
②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，
则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距
离的积是常数k，点M1是曲线上的点.由①②可知，xy＝±k是与两条坐标
轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.
17
反思与感悟
解答
∵12＋(－2－1)2＝10，( )22＋(3－1)2＝6≠10， ∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q( ，32)不在此曲线 上.
10
梳理
(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的 两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系， 曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上. 定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适 合方程的点都在曲线上而毫无遗漏. (2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数 对(x，y)建立了 一一对应 关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研 究方程的性质可间接地研究曲线的性质.
解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程 的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的 解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备 性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线 的方程.
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程课件
(1)曲线上_点__的__坐__标__都是这个方程的解 (2)以这个方程的_解_为_坐__标__的__点_都是曲线上的点
方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线
正确理解曲线与方程的概念 (1)定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完 备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例 外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适 合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．
x－1≥0， x＋y－1＝0
或x－1≥0， x－1＝0，
即 x＋y－1＝0(x≥1)或 x＝1，
故方程表示直线 x＝1 或射线 x＋y－1＝0(x≥1)．
(2)由(x－2)2＋ y2－4＝0 可得
x－2＝0， y2－4＝0，
即yx＝＝22，
或xy＝ ＝－2，2，
答案： (x－1)2＋y2＝1
4．到两坐标轴距离相等的点满足的方程是x－y＝0吗？为 什么？
解析： 显然不对(只具备条件(2)，而不具备条件(1))．这 是因为，到两坐标轴距离相等的点的轨迹是两条直线：l1：x－ y＝0和l2：x＋y＝0，直线l1上的点的坐标都是方程x－y＝0的 解，但直线l2上的点(除原点外)的坐标不是方程x－y＝0的解， 方程x－y＝0只是直线l1的方程，它不是所求轨迹的方程.
第 二 章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
自主学习 新知突破
1．结合实例，了解曲线与方程的对应关系． 2．了解求曲线方程的步骤． 3．会求简单曲线的方程．
在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方 程中．
[问题1] 直线y＝－x上任一点M到两坐标轴的距离相等 吗？
[提示1] 相等．
[问题2] [提示2] [问题3] [提示3]
方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线
正确理解曲线与方程的概念 (1)定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完 备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例 外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适 合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．
x－1≥0， x＋y－1＝0
或x－1≥0， x－1＝0，
即 x＋y－1＝0(x≥1)或 x＝1，
故方程表示直线 x＝1 或射线 x＋y－1＝0(x≥1)．
(2)由(x－2)2＋ y2－4＝0 可得
x－2＝0， y2－4＝0，
即yx＝＝22，
或xy＝ ＝－2，2，
答案： (x－1)2＋y2＝1
4．到两坐标轴距离相等的点满足的方程是x－y＝0吗？为 什么？
解析： 显然不对(只具备条件(2)，而不具备条件(1))．这 是因为，到两坐标轴距离相等的点的轨迹是两条直线：l1：x－ y＝0和l2：x＋y＝0，直线l1上的点的坐标都是方程x－y＝0的 解，但直线l2上的点(除原点外)的坐标不是方程x－y＝0的解， 方程x－y＝0只是直线l1的方程，它不是所求轨迹的方程.
第 二 章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
自主学习 新知突破
1．结合实例，了解曲线与方程的对应关系． 2．了解求曲线方程的步骤． 3．会求简单曲线的方程．
在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方 程中．
[问题1] 直线y＝－x上任一点M到两坐标轴的距离相等 吗？
[提示1] 相等．
[问题2] [提示2] [问题3] [提示3]
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程的概念课件7 新人教B版选修2-1
12
二、概念建构 分析特例归纳定义
（2）如果(x0, y0)是方程x2+y2=r2的一个解，则可以推
得，
x02 y02 r
即点M(x0, y0)到圆心的距离等于r，点M在⊙(O, r)
上；
如果(x0, y0)不是方程x2+设y2计=r2意.的图解：，则通可过以圆推的出方程
x02
y02
和r 圆的图像的具体实例， 将抽象问题具体化，模型
1.你怎样确定地震发生的位置？
北纬30.986°，东经 103.364° 利用实例引入坐
2.怎样确定平面中点的位置？ 标，让学生理解
建立平面直角坐标系，
坐标法研究几何
用点的坐标来表示
图形的基本方法
K12课件
9
一、复习提问
1.直线的方程和方程的直线概念？
如果以一个方程的解为坐标的点都在某条曲线上，且这条曲线上点 的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这 条直线叫做这个方程的直线。
学生学习的心理规律和素
质教育的要求，结合学生
的实际情况，确定本节课
知识与技能
的教学目标如下。
结合已学过的曲线及方程的实例，
了解曲线与方程的对应关系，了解两曲线交点的求法。
过程与方法
通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题 的能力，帮助学生理解研究圆锥曲线的基本方法。
情感、态度与价值观
通过曲线与方程的概念的教学，培养学生数与形相互关系，对 立统一的辩证唯物主义观。
x2 y2 设r2 计意图：让学生参与获 如果点(x0, y0)不在⊙(O, r)上，取 究则知 式必识 的有，的 教全 学x02过培 y程养02 ，学 r 通生过观探察 即有x2+y2≠r2. (x0, y0)就不会是问方题程x，2+y分2=r析2的问解。题，解决问
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线及其标准方程课件新人教A版选修2_1
(3)已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外 切，求动圆圆心M的轨迹方程．
思路探究：(1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m和准
线方程．
(2)利用抛物线的定义，把|PF|转化为到准线的距离．
(3)利用|MC|的长度比点M到直线y＝2的距离大1求解．
[解]
(1)设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由
简单的求抛物线标准方程问
观想象、数学建模等核心素
题．(难点)
养．
自主 预习 探新 知
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的 轨迹叫做 抛物线 ．点F叫做抛物线的 焦点 ，直线l叫做抛物线 的 准线．
思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什 么？
3．抛物线 x＝4y2 的准线方程是( )
A．y＝12
B．y＝－1
C．x＝－116
D．x＝81
C [由 x＝4y2 得 y2＝41x，故准线方程为 x＝－116．]
4．抛物线 y2＝－12x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是 ________．
(－6,6 2)或(－6，－6 2) [由 y2＝－12x 知 p＝6，准线方程为 x ＝3，设抛物线上点 P(x，y)，由抛物线定义可知－x＋3＝9，x＝－6， 将 x＝－6 代入 y2＝－12x，得 y＝±6 2，所以满足条件的点为(－6,6 2) 或(－6，－6 2)．]
[提示] 点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
2．抛物线的标准方程
图形
标准方程
_y_2＝__2_p_x_(_p_>_0_)_
焦点坐标 Fp2，0
_y_2＝__－__2_p__x(_p_>_0_)_
思路探究：(1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m和准
线方程．
(2)利用抛物线的定义，把|PF|转化为到准线的距离．
(3)利用|MC|的长度比点M到直线y＝2的距离大1求解．
[解]
(1)设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由
简单的求抛物线标准方程问
观想象、数学建模等核心素
题．(难点)
养．
自主 预习 探新 知
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的 轨迹叫做 抛物线 ．点F叫做抛物线的 焦点 ，直线l叫做抛物线 的 准线．
思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什 么？
3．抛物线 x＝4y2 的准线方程是( )
A．y＝12
B．y＝－1
C．x＝－116
D．x＝81
C [由 x＝4y2 得 y2＝41x，故准线方程为 x＝－116．]
4．抛物线 y2＝－12x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是 ________．
(－6,6 2)或(－6，－6 2) [由 y2＝－12x 知 p＝6，准线方程为 x ＝3，设抛物线上点 P(x，y)，由抛物线定义可知－x＋3＝9，x＝－6， 将 x＝－6 代入 y2＝－12x，得 y＝±6 2，所以满足条件的点为(－6,6 2) 或(－6，－6 2)．]
[提示] 点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
2．抛物线的标准方程
图形
标准方程
_y_2＝__2_p_x_(_p_>_0_)_
焦点坐标 Fp2，0
_y_2＝__－__2_p__x(_p_>_0_)_
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程课件新人教A版选修2_1
A [|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知选A．]
(2)已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线
x2 4
－
y2 12
＝1的左焦
点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为
________．
9 [由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4,0)．|PF| －|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋ 4≥|AF1|＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|＝
第二章 圆锥曲线与方程
2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程
学习目标
核心素养
1．理解双曲线的定义、几
何图形和标准方程的推导 1．通过双曲线概念的学习，培养学
过程．(重点)
生的数学抽象的核心素养．
2．掌握双曲线的标准方程 2．通过双曲线标准方程的求解、与
及其求法．(重点)
双曲线有关的轨迹问题的学习，提
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|” 或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若 |MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
[提示] (1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两 条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动 点的轨迹不存在．
求双曲线中的焦点三角形 PF1F2 面积的方法 1①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理 表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思
(2)已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线
x2 4
－
y2 12
＝1的左焦
点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为
________．
9 [由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4,0)．|PF| －|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋ 4≥|AF1|＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|＝
第二章 圆锥曲线与方程
2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程
学习目标
核心素养
1．理解双曲线的定义、几
何图形和标准方程的推导 1．通过双曲线概念的学习，培养学
过程．(重点)
生的数学抽象的核心素养．
2．掌握双曲线的标准方程 2．通过双曲线标准方程的求解、与
及其求法．(重点)
双曲线有关的轨迹问题的学习，提
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|” 或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若 |MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
[提示] (1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两 条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动 点的轨迹不存在．
求双曲线中的焦点三角形 PF1F2 面积的方法 1①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理 表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思
《圆锥曲线与方程》人教版高二数学选修2-1PPT课件(第2.1.1课时)
l （1） 上点的坐标都是方程x-y=0的解 l （2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在 上
∴说直线 l 的方程是 x y 0 , 又说方程 x y 0 表示的直线是 l .
y l
1
O1
x
课前导入
请同学们独立思考，迅速回答
思考2：画出函数y=2x2(1 x 2)的图象C，考察曲线C与方程2x2 y=0 ①的关系？曲线
新知探究
例2.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
思考1： 我们有哪些可以求直线方程的方法？
y
B
0
x
A
新知探究
例2.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
法一: 运用直线方程的知识来求.
解:∵
kAB
7 3
(1) (1)
即x1y1 k,即 x1 • y1 k
而
x1
,
y1
正是点M
到
1
纵轴、横轴的距离，
因此点M1到两条直线 的距离的积是常数k,
点M1是曲线上的点. 由(1),(2)可知，xy k是与两条坐标轴的
距离的积为常数k(k 0)的点的轨迹方程.
y
M
o
x
新知探究
请同学们思考，必要的可以进行小组讨论，统一答案，派代表回答 证明已知曲线的方程的方法和步骤： 1.设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是方程f(x0,y0)=0的解. 2.设(x0,y0)是方程f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.
• ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； • ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 • 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
∴说直线 l 的方程是 x y 0 , 又说方程 x y 0 表示的直线是 l .
y l
1
O1
x
课前导入
请同学们独立思考，迅速回答
思考2：画出函数y=2x2(1 x 2)的图象C，考察曲线C与方程2x2 y=0 ①的关系？曲线
新知探究
例2.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
思考1： 我们有哪些可以求直线方程的方法？
y
B
0
x
A
新知探究
例2.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
法一: 运用直线方程的知识来求.
解:∵
kAB
7 3
(1) (1)
即x1y1 k,即 x1 • y1 k
而
x1
,
y1
正是点M
到
1
纵轴、横轴的距离，
因此点M1到两条直线 的距离的积是常数k,
点M1是曲线上的点. 由(1),(2)可知，xy k是与两条坐标轴的
距离的积为常数k(k 0)的点的轨迹方程.
y
M
o
x
新知探究
请同学们思考，必要的可以进行小组讨论，统一答案，派代表回答 证明已知曲线的方程的方法和步骤： 1.设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是方程f(x0,y0)=0的解. 2.设(x0,y0)是方程f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.
• ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； • ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 • 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
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对称 轴
性 顶点 质 离心
率
_x_轴___
_原__点__(0_,_0_)__ e＝1
__y_轴___
开口 方向
_向__右___
向__左____
向__上____
_向__下___
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
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抛物线的性质特点 (1)抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一 条准线，无对称中心，因此，抛物线又称为无心圆锥曲线． (2)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延 伸，但它没有渐近线． (3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离 和该点到准线的距离的比，所以抛物线的离心率是确定的，为
解析： 抛物线方程可化为 x2＝14y，其准线方程为 y＝ －116，点 M 到焦点的距离等于点 M 到准线的距离．∴点 M 到 x 轴的距离是1156.
答案： D
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
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2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4
答案： y2＝±6x
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
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4．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原 点，若|OA|＝|OB|，且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求 直线AB的方程．
解析： 抛物线的焦点 Fp2，0. ∵抛物线关于 x 轴对称，|OA|＝|OB|，
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第二章 圆锥曲线与方程
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1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何 性质．
2．通过对抛物线的简单几何性质的学习，进一步体会 数形结合思想在解题中的应用，并能应用几何性质解决有关问 题．
∴直线 AB 的方程为 x＝52p.
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第二章 圆锥曲线与方程
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第二章 圆锥曲线与方程
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求抛物线的标准方程
已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴， 且与圆 x2＋y2＝4 相交的公共弦长等于 2 3，求这条抛物线的 方程．
1.
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(4)抛物线的焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴，焦点 到准线的距离为 p，它是一个不变量，不随抛物线位置的变 化而变化，焦点与准线分别在顶点的两侧，且顶点到它们的 距离相等，均为p2.
数学 选修2-1
∴△ABO 为等腰三角形．
∴A，B 两点关于 x 轴对称．
设 A(x0，y0)，则 B(x0，－y0)．
数学 选修2-1
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∵△ABO 的垂心恰为抛物线的焦点，
∴BF⊥OA，
则 kBF·kOA＝－1， 即－x0y－0－p20·xy00＝－1. 又∵y20＝2px0， ∴x0＝52p，
思路点拨： 因为圆和抛物线都关于 x 轴对称，所以它 们的交点也关于 x 轴对称，即公共弦被 x 轴垂直平分，于是 由弦长等于 2 3，可知交点纵坐标为± 3.
数学 选修2-1
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抛物线的几何性质
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝－ 2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－ 2py(p>0)
图象
性 焦点 质 准线
_p2_，__0__ x_＝__－__2p_
_－__p2_，__0 _x_＝__p2__
第二章 圆锥曲线与方程
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1．抛物线 y＝4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点
M 到 x 轴的距离是( )
17
7
A.16
B.8
C．1
15 D.16
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
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的抛物线方程是( )
A．x2＝16y
B．x2＝8y
C．x2＝±8y
D．x2＝±16y
解析： 顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两
个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝
8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.
答案： D
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
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3．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方 程是________．
解析： 设抛物线的方程为 y2＝2ax，则 Fa2，0. ∴|y|＝ 2a×a2＝ a2＝|a|. 由于通径长为 6，即 2|a|＝6，∴a＝±3. ∴适合题意的抛物线方程为 y2＝±6x.
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
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（人教版）高中数学PPT之2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.4.2 第1课时
2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的简单几何性质
第一课时 抛物线的简单几何性质
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
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数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
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1．抛物线有几个焦点？ [提示] 抛物线有1个焦点． 2．抛物线有点像双曲线的一支，抛物线有渐近线吗？ [提示] 抛物线没有渐近线． 3．抛物线的顶点与椭圆、双曲线有什么不同？ [提示] 抛物线的顶点只有一个， 椭圆的顶点有4个． 双曲线的顶点有2个．
__0_，__p2_ y_＝__－__2p_
_0_，__－__p2 __y_＝__p2_
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
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高效测评 知能提升
类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
范围 _x≥__0_，__y∈__R__ x≤_0_，__y_∈__R___ y≥_0_，__x_∈__R___ y≤_0_，__x_∈__R___