两平面平行的性质

两平面平行的性质

教学目标：

1.掌握两个平面平行的性质定理及应用

2.掌握两个平行平面间的距离

3.能运用两平面的判定定理和性质定理进行推理计算

4.培养辩证思维能力

教学重点：两平面平行的性质及应用

教学难点：两个平面平行的判定与性质的联系和区别 教学方法：发现教学法 教 具：模具 教学过程

一、复习引入：

1.两平面的位置关系------

2.两平面平行的判定方法有------

3.若两个平面平行，那又能得到什么结论呢？ 二、新授：

1.两平面平行的性质：

思考1：若

αβ，a α⊂，那么a 与β什么关系？

性质1：若

αβ，a α⊂，则

a β 即：若两平面平行，那么在其中一个平面内的任一条直线都和另一平面平行.

思考2：若

αβ，a α⊂，那么a 与β内的直线是什么关系？是否平行？在什么条件下平行？又该如何构造这样的条件？

性质定理：如果两个平行平面同时和条三个平面相交，那么它们的交线平行. 已知：//,,a b αβγαγβ== 求证：//a b

证明：∵//,,a b αβαβ⊂⊂，∴,a b 没有公共点， 又∵,a b γγ⊂⊂，∴//a b ．

例：求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.

已知：

αβ，l α⊥，l A α= 求证：l β⊥

证：在平面β内任取一条直线b,平面γ内是经过点A 与直线b 的平面，设a γα=，则

a a

b b l b a l a

l αβαγβγαα⎫

⎫⎪⎪

=⇒⎬⎪

⎪⎪=⇒⊥⎬⎭

⎪⊂⎫⎪⇒⊥⎬⎪⊥⎭⎭

，又∵b 是β内任一直线，故l β⊥ 评：两平面平行的性质有：①若

αβ，a α⊂，则

a β；

γ

b

a

β

α

②//,,a b αβγαγβ==，则//a b

③

αβ，l α⊥，l A α=，则l β⊥ 2.两平行平面的距离

①两平行平面的公垂线：与两个平行平面同时垂直的直线称为它们的公垂线 ②两平行平面的公垂线段：公垂线夹在两平行平面间的部分 注：公垂线段都相等.

例：如图，AA 1，BB 1是两平行平面α、β的两个公垂线段，证明，AA 1=BB 1 引申：夹在两平行平面间的平行线段相等.

③距离：公垂线段的长度，叫做两平行平面间的距离. 三、例题：

例1.如图，平面

αβ，A 、C α∈，B 、D β∈，点E 、F 分别是线段AB 、CD 的中点，求证：

EF β.

例2.已知

αβ，AB 交α、β于点A 、B ，CD 交α、β于点C 、D ，AB ∩CD=S ，AS=8，BS=9，CD=34，求SC=？ (272)

申：点P 是ABC ∆所在平面外一点，M 、N 、R 分别是PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的重心， ①求证：平面MNR ∥平面ABC ②求MNR S ∆∶ABC S ∆的值. 例3.如图，平面

αβ，线段AB 分别交α、β于点M 、N ，线段AD 分别交α、β于

点C ，D ，线段BF 分别交α、β于点F 、E,若AM=9，MN=11，，NB=15，78FMC S ∆=，求E N D ∆的面积.

例4．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=a ， (1)求证：平面AD 1B 1∥平面C 1DB (2)求证：A 1C ⊥平面AD 1B 1

(3)求异面直线AB 1与C 1B 的距离

例5.如图，正四棱锥S-ABCD 中，SA=AB=a ，M 、N 、P 分别是SA 、BD 、AB 上的点，且SM ∶SA=BN ∶BD=BP ∶BA=1∶3

(1)求证：平面MNP ∥平面SBC (2)求平面MNP 与平面SBC 的距离 (3)求MN 与AD 所成的角. 四、练习：

1.(2005年山东)已知,m n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题： ①若,,m n αβαβ⊂⊂，则m n ②若,,,m n m n αββ⊂，则αβ ③若,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ

D

C

B A

βα

④,m n 是两条异面直线，若,,,m m n n αβαβ，则αβ 上面命题中，真命题的序号是_______.

2.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，过对角线BD 1的一个平面交AA 1于E ，交CC 1于F ，则①四边形BFD 1E 一定是平行四边形 ②四边形BFD 1E 有可能是正方形

③四边形BFD 1E 在底面ABCD 内的射影一定是正方形 ④平面BFD 1E 有可能垂直于平面BB 1D 以上结论正确的是________. 五、小结：

本节主要学习了两个平面平行的性质定理，注意判定定理与性质定理的综合使用. 两个平面平行的判定方法：①定义法②判定定理法③判定定理的推论④同垂直于同一条直线的两个平面平行⑤同平行于同一平面的两个平面是平行的.

由两个平面平行又可以得到性质为： ①若αβ，a α⊂，则a β；

②//,,a b αβγαγβ==，则//a b . ③αβ，l α⊥，l A α=，则l β⊥.

④夹在两平行平面间的平行线段是相等的.

⑤过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. 六、作业：试卷 七、板书设计：