线性回归方程 课件
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计算-x ,-y ,n x2i ,n xiyi;③代入公式计算^a,^b的值;④写出线性回归
i=1
i=1
方程.
1.在一段时间内,分5次测得某种商品的价格 x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为:
1 2 345 价格x/万元 1.4 1.6 1.8 2 2.2 需求量y/t 12 10 7 5 3
n
yi-^yi2
i=1
R2 甲=1-
=0.845,
n
yi--y 2
i=1
n
yi-^yi2
i=1
R2 乙=1-
=0.82,
n
yi--y 2
i=1
则___甲_____模型拟合的效果更好.
1.下列变量具有相关关系的是( D ) A.人的身高与视力 B.角的大小与所对的圆弧长 C.直线上某点的横坐标与纵坐标 D.人的年龄与身高 2.在对两个变量x、y进行线性回归分析时一般有下列 步骤:
i=1
i=1
n
yi-^yi2
i=1
1-
n
相关指数R2=________y_i-__y_2________,R2的值越大, i=1
说明_____残__差__平__方越和小,模型的拟合效果_______越_.好
例如:在两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了甲、 乙两个不同的模型,它们的相关指数 R2 如下:
3.下列关于线性回归的判断,正确的个数是( )
①若散点图中的所有点都在一条直线附近,则这条直线为 回归直线;
②散点图中的绝大多数点都线性相关,个别特殊点不影响 线性回归,如图中的 A,B,C 点;
③已知回归直线方程为^y=0.50x-0.81,则 x=25 时,y 的 估计值为 11.69;
④线性回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
线性回归方程
1.回归分析是对具有_相__关___关__系__的两个变量进行统计分析的
一种常用方法.
例 如 : 身 高 与 体 重 有 关 系 可 以 用 ______分 析 的 方 法 来 研
究.( B )
A.残差
B.回归
C.二维条形图 D.独立检验
2.从散点图看,若样本点集中在某一条直线附近,则可用下面的
x/百万 24568
元
y/百万 30 40 60 50 70
元
(1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3)试预测广告费用支出为 10 百万元时,销售额多大?
解析:(1)散点图如图所示:
(2)列出下表,并用科学计算器进行有关计算:
i 1 2 3 4 5 合计 xi 2 4 5 6 8 25 yi 30 40 60 50 70 250 xiyi 60 160 300 300 560 1 380 xi2 4 16 25 36 64 145
(3)根据上面求得的线性回归方程,当广告费用支出为 10 百
万元时,
^y=6.5×10+17.5=82.5(百万元), 即广告费用支出为 10 百万元时,销售额大约为 82.5 百万元. 点评:(1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量的基础上的, 对于性质不明确的两组数据,可先画散点图,在图形上看它们是否有关 系,以及关系的密切程度,然后再进行回归分析;(2)求回归方程,只 有散点图大致呈线性时求出的回归方程才有实际意义,否则,求出的回 归方程没有意义.求线性回归方程的步骤:①列表表示 xi,yi,xiyi;②
所以,-x =255=5,-y =2550=50,i=51xi2=145,i=51xiyi=1 380.
5 xiyi-5-x -y
i=1
于是可得^b=
5 x2i -5-x 2
=1 318405--55××55×2 50=6.5,
i=1
^a=-y -^b-x =50-6.5×5=17.5. 所以所求的线性回归方程为^y=6.5x+17.5.
3.相关系数:r=
n
xi--x
yi--y
i=1
.
n
xi--x 2
n
yi--y 2
i=1
i=1
当 r>0 时,两个变量__正______相关;当 r<0 时,两个变量 ___负_____相关.相关系数的绝对值越接近于 1,两个变量的线性 相关关系__越___强___,它们的散点图越接近一__条__直___线_,这时用线性 回归模型拟合这组数据就__越__好____.此时建立的线性回归模型是
有意义的.
4.总偏差平方和、残差平方和、回归平方和、 相关指数:
名 称
总偏差平方和
残差平方和
回归平方和
说 明
所有单个样本 值与样本均值 差的平方和
回归值与样本 总偏差平方和-残 值差的平方和 差平方和
Fra Baidu bibliotek
公 式
n
(yi- y )2
i=1
n
(yi-^yi)2
i=1
n
n
(yi- y )2-
(yi-^yi)2
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
由此建立的身高与体重的回归模型为y=0.849x- 85.712,用这个模型预报一名身高为172 cm的女大学生的 体重,则正确的叙述是( C )
A.体重一定是60.316 kg B.体重在60.316 kg以上 C.体重在60.316 kg左右 D.体重在60.316 kg以下
①对所求出的回归方程作出解释;②收集数据(xi,yi), i=1,2,…,n;③求线性回归方程;④求相关系数;⑤根据 所搜集的数据绘制散点图.
自测 自评
如果根据可靠性要求能够判定变量x,y具有线性相 关性,则在下列操作顺序中正确的是( D )
A.①②⑤③④ B.③②④⑤①
C.②④③①⑤ D.②⑤④③①
自测 自评
解析:因为由最小二乘法求得的回归方程直线才是真正 的回归直线,所以①错;将 x=25 代入^y=0.50x-0.81 得^y= 11.69,所以③正确;根据回归方程的概念知②④也正确.故 选 D.
答案:D
题型一 线性回归分析
例 1 某种产品的广告费用支出 x 与销售额 y(单位:百万元) 之间有如下的对应数据:
线性回归模型来表示:__y_=__b_x__+__a_+__e___.其中 a 和 b 为模型的未 知参数,e 称为_随__机__误___差__.把^a和^b称为未知参数 a 和 b 的 最__好___估__计_.
例如:从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和 体重数据如下表所示:
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170