地震波积分计算与基调方法
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Earthquake wave integral calculation and adjusting method
Feng Zhongren，Li Wenjun
School of Civil Engineering and architecture and Wuhan University of Technology，Wuhan (430070) Abstract
2); s(Amax)=(2/3)*a(Amax-2)*T^2+(4/3)*a(Amax-1)*T^2+2*v(Amax-2)*T+s(Am
ax-2); for j=1:1:Amax
ta(j)=a(j)-0.245405811e-1+0.02119945072*(j-1)*T-0.001706512188*((j-1)*T)^ 2;
=Biblioteka Baidu
0
(10 )
v(T ) − c ⋅T 2 − d ⋅T 3
即： b =
2
3
(11)
T
把公式 (11) 带入公式 (9)，并根据最小二乘法拟合，可得到 b、c、d 值。然后再根据公
式 (8) 就可以算出修正后的加速度、速度、位移。经过调整后，地震加速度的最大值会和原
来调整前地震加速度的最大值之间出现差异，因此应该在最后调整好的地震波乘以一个比例
+
c⋅t2 2
+
d ⋅t3 3
⎟⎟⎠⎞
⎪ ⎬ ⎪
ta(t) = a(t) − b + c ⋅ t + d ⋅ t 2 ⎪
(8 )
⎪
⎭
公式 (8)中 s(t ) 、 v(t )、 a(t )为修正前的位移、速度、加速度。系数 b、c、d 为未知量。
为了使得调整后的地震波能够在积分以后位移发生偏离最小，根据最小二乘法[3]，位移
-2-
http://www.paper.edu.cn
得到速度波为
图 1 原始加速度波
得到位移波为
图 2 积分后的速度波
图 3 积分后的位移波
2.2 地震波基调
理论上，速度波和位移波按上述积分方法是可以得到的，但是，实际上计算得到的速度 和位移波往往会发生零位漂移的现象，即后期的振动偏离水平轴。例如，对于（图 1）的宁 河天津波地震记录－南北向的位移波来说，进行积分后得到的速度波（图 2）和位移波（图 3）的结果，虽然速度波没有发生明显漂移的结果，但是位移波随着时间的增加振动的平衡 位置逐渐偏离坐标轴，产生了“残余变形”的现象。
1. 引言
实测到的地震波通常是以加速度波的形式给出，相应的速度波和位移波则是根据加速度 的数值积分计算得到的。同时很多时候，我们需要地震波的速度波和位移波，但是通过数值 积分后，会使其产生“漂零”现象[1]。
2. 地震波的处理
因此，对于地震波的正确处理显得十分重要，它处理的正确与否直接影响到我们对地震 分析的结果，而在地震波处理中，最主要的问题就是地震波的积分计算和对地震波的基调， 下面我们就围绕这两个关键问题进行详细论述。
-7-
This paper provides earthquake wave is measured by acceleration. For get the real displacement ,we can get it by two times integral. But we need to do baseline adjustment. If we do that by square polynomial, we will get the better answer. Meanwhile the measurement has some foreground to application. Keywords：earthquake wave，baseline adjustment，displacement
(6 )
(7 ) 如果以静止状态作为 t = 0 的条件，即 v(0) = 0, s(0) = 0 ，根据上述积分计算就不难得
到速度波和位移波。 用 matlab 所编程序如下（可用来计算速度波和位移波）。 acc; T=0.01; v(1)=0; s(1)=0; Amax=1920; for i=2:1:Amax-1 v(i)=(5/12)*a(i-1)*T+(2/3)*a(i)*T-(1/12)*a(i+1)*T+v(i-1); s(i)=(7/24)*a(i-1)*T^2+(1/4)*a(i)*T^2-(1/24)*a(i+1)*T^2+v(i-1)*T+s(i-1); end v(Amax)=(1/3)*a(Amax-2)*T+(4/3)*a(Amax-1)*T+(1/3)*a(Amax)*T+v(Amax-2); s(Amax)=(2/3)*a(Amax-2)*T^2+(4/3)*a(Amax-1)*T^2+2*v(Amax-2)*T+s(Amax-2); v' s' t=0:0.01:19.19; 现以宁河天津波地震记录－南北向为例，原始的加速度波为
波应该满足：
∫ ε min
=
T 0
⎢⎡s(t
⎣
)
−
⎜⎜⎝⎛
b
⋅t 2
2
+ c⋅t3 6
+
d ⋅t 12
4
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤ 2dt
(9 )
公式中：T——地震持续的时间。
在地震结束后，速度为 0，根据公式 (8)得到：
tv(T ) =
v(T ) − ⎜⎜⎝⎛b ⋅T
+
c⋅T 2 2
+
d
⋅T 3 3
⎟⎟⎠⎞
for i=2:1:Amax-1 v(i)=(5/12)*a(i-1)*T+(2/3)*a(i)*T-(1/12)*a(i+1)*T+v(i-1); s(i)=(7/24)*a(i-1)*T^2+(1/4)*a(i)*T^2-(1/24)*a(i+1)*T^2+v(i-1)*T+s(i-1);
end v(Amax)=(1/3)*a(Amax-2)*T+(4/3)*a(Amax-1)*T+(1/3)*a(Amax)*T+v(Amax-
(3) 对于特定情况，可对二次多项式基调方法进行修正可以设震后位移、速度同时为零， 这样有助于地震波基调的准确性。
-6-
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参考文献
[1]谢旭.桥梁结构地震响应分析与抗震设计[M],北京:人民交通出版社,2006. [2]石春香.Huang 变换在地震波信号纠偏中的应用.同济大学学报（自然科学版）[J],2005 年.第 33 卷.第 7 期 [3]韩宇光.代数多项式曲线拟合与最小二乘法.鸡西大学学报[J],2007 年.第 7 卷.第 2 期
地震波积分计算出现这一现象不是由于地表面在地震中真正出现了残余位移，而是因为
-3-
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实测的地震波记录中包含着一些误差，这种误差经过两次积分运算后，被放大，从而出现零 位漂移的现象，因此，在地震波积分计算时需要对它进行修正，排除因加速度波误差对速度 和位移波计算结果的影响[2]。
地震波修正的方法有很多，下面我用二次多项式的方法进行对加速度波的修正。其原理 如下。
首先假定位移、速度和加速度修正值为 ts(t) 、 tv(t)、 ta(t )，它们可表示为
ts(t) =
s(t
)
−
⎜⎜⎝⎛
b
⋅t 2
2
+
c⋅t3 6
+
d ⋅t4 12
⎟⎟⎠⎞⎪⎪⎫
( ) tv(t) =
v(t) − ⎜⎜⎝⎛b ⋅ t
2.1 加速度波的积分计算方法
地震波记录一般是以时间轴上等间距的离散点形式给出，当离散点的时间间隔 ∆t 十分 小时，时间间隔内的加速度可以用线性插值近似，当然也可以用拉格朗日二次插值法，这里
我选用拉格朗日二次插值法计算。
a(t + τ ) = a(t)⋅ (τ − ∆t)⋅ (τ − 2∆t) − a(t + ∆t)⋅ τ ⋅ (τ − 2∆t) + a(t + 2∆t)⋅ τ ⋅ (τ − ∆t)
http://www.paper.edu.cn
哦地震波积分计算与基调方法
冯仲仁，李文俊
武汉理工大学土木工程与建筑学院，武汉（430070）
E-mail：coco_0027@163.com
摘 要：地震波一般是以加速度形式测得，为了了解其真实的位移，可通过二次积分得到， 但是会出现漂零情况，因此需要进行基调，用二次多项式基线调整，可以得到比较好结果， 该方法在地震波基调中有一定的应用前景。 关键词：地震波 基调 位移 中图分类号：TU973+.212
得出调整后的位移波如下：
图 4 调整后的位移波
与调整前的位移波相比，其偏移零线的情况有所好转，但是调整后，最后的位移值为 -1.0839cm，其值还是比较大，调整状况并不是很好。用 seismosignal 计算并调整得到的最后 位移值为 0.31735041cm。可见该算法并不是总能得到很好的结果。用 seismosignal 调整后的 位移波图如下：
系数，让其加速度的最大值回到调整前。
按上述方法，对宁河天津波地震记录－南北向加速度波进行调整，用maple进行其最小
二乘拟合，
，其位移波基线方程为
，则
，
。
用matlab所编程序如下（调整加速度波）
ac;
T=0.01;
v(1)=0;
s(1)=0;
Amax=1920;
-4-
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2∆t 2
∆t 2
2∆t 2
(0 ≤ τ ≤ 2∆t)
(1 )
对公式 (1) 做两次积分计算，得到：
(2 )
-1-
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(3 )
若令τ = ∆t ，得到 t + ∆t 时刻的速度和位移：
(4 )
(5 )
若令τ = 2 ⋅ ∆t ，得到 t + 2 ⋅ ∆t 时刻的速度和位移：
此波调整较好。
3 结论
(1) 通常情况下,加速度时程曲线经过积分得到的位移时程曲线过程中,由于缺少适当的 数值,位移的初始值都设为零,但是真实的初始值是未知的也是非零的,因为这些数值只有当 地震加速度足够强烈以能够激发地震仪才开始记录,不是随着地震加速度的开始就开始记 录。
(2) 通过地震波信号的波形进行积分，可以推断二次多项式能够对偏离时间轴的位移时 程曲线进行纠偏,但是不能保证纠偏后位移时程曲线的结束值为零。
令修正后最后的位移和速度全为 0，然后再用最小二乘拟合。这样得到的结果较好。 对于宁河天津波地震记录－南北向，得到调整后的位移波基线方程
0.03434624339 x 2 - 0.006447559069 x 3 + 0.0002261355489 x 4
，
，
调整后的位移波图如下：
图 6 令速度为 0 调整后的位移波
-5-
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Displacement [cm]
2 0 -2 -4 -6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Time [sec]
图 5 用 seismosignal 调整后的位移波
可见两种方法调整的波形差不多。
针对上述用二次多项式修正的方法存在的问题，个人建议，如果遇到小震情况，可同时
tv(j)=v(j)-0.245405811e-1*(j-1)*T+(1/2)*0.02119945072*((j-1)*T)^2-(1/3)*0.0 01706512188*((j-1)*T)^3;
ts(j)=s(j)-(1/2)*0.245405811e-1*((j-1)*T)^2+(1/6)*0.02119945072*((j-1)*T)^3(1/12)*0.001706512188*((j-1)*T)^4; end ts t=0:0.01:19.19; plot(t,ts);
Feng Zhongren，Li Wenjun
School of Civil Engineering and architecture and Wuhan University of Technology，Wuhan (430070) Abstract
2); s(Amax)=(2/3)*a(Amax-2)*T^2+(4/3)*a(Amax-1)*T^2+2*v(Amax-2)*T+s(Am
ax-2); for j=1:1:Amax
ta(j)=a(j)-0.245405811e-1+0.02119945072*(j-1)*T-0.001706512188*((j-1)*T)^ 2;
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0
(10 )
v(T ) − c ⋅T 2 − d ⋅T 3
即： b =
2
3
(11)
T
把公式 (11) 带入公式 (9)，并根据最小二乘法拟合，可得到 b、c、d 值。然后再根据公
式 (8) 就可以算出修正后的加速度、速度、位移。经过调整后，地震加速度的最大值会和原
来调整前地震加速度的最大值之间出现差异，因此应该在最后调整好的地震波乘以一个比例
+
c⋅t2 2
+
d ⋅t3 3
⎟⎟⎠⎞
⎪ ⎬ ⎪
ta(t) = a(t) − b + c ⋅ t + d ⋅ t 2 ⎪
(8 )
⎪
⎭
公式 (8)中 s(t ) 、 v(t )、 a(t )为修正前的位移、速度、加速度。系数 b、c、d 为未知量。
为了使得调整后的地震波能够在积分以后位移发生偏离最小，根据最小二乘法[3]，位移
-2-
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得到速度波为
图 1 原始加速度波
得到位移波为
图 2 积分后的速度波
图 3 积分后的位移波
2.2 地震波基调
理论上，速度波和位移波按上述积分方法是可以得到的，但是，实际上计算得到的速度 和位移波往往会发生零位漂移的现象，即后期的振动偏离水平轴。例如，对于（图 1）的宁 河天津波地震记录－南北向的位移波来说，进行积分后得到的速度波（图 2）和位移波（图 3）的结果，虽然速度波没有发生明显漂移的结果，但是位移波随着时间的增加振动的平衡 位置逐渐偏离坐标轴，产生了“残余变形”的现象。
1. 引言
实测到的地震波通常是以加速度波的形式给出，相应的速度波和位移波则是根据加速度 的数值积分计算得到的。同时很多时候，我们需要地震波的速度波和位移波，但是通过数值 积分后，会使其产生“漂零”现象[1]。
2. 地震波的处理
因此，对于地震波的正确处理显得十分重要，它处理的正确与否直接影响到我们对地震 分析的结果，而在地震波处理中，最主要的问题就是地震波的积分计算和对地震波的基调， 下面我们就围绕这两个关键问题进行详细论述。
-7-
This paper provides earthquake wave is measured by acceleration. For get the real displacement ,we can get it by two times integral. But we need to do baseline adjustment. If we do that by square polynomial, we will get the better answer. Meanwhile the measurement has some foreground to application. Keywords：earthquake wave，baseline adjustment，displacement
(6 )
(7 ) 如果以静止状态作为 t = 0 的条件，即 v(0) = 0, s(0) = 0 ，根据上述积分计算就不难得
到速度波和位移波。 用 matlab 所编程序如下（可用来计算速度波和位移波）。 acc; T=0.01; v(1)=0; s(1)=0; Amax=1920; for i=2:1:Amax-1 v(i)=(5/12)*a(i-1)*T+(2/3)*a(i)*T-(1/12)*a(i+1)*T+v(i-1); s(i)=(7/24)*a(i-1)*T^2+(1/4)*a(i)*T^2-(1/24)*a(i+1)*T^2+v(i-1)*T+s(i-1); end v(Amax)=(1/3)*a(Amax-2)*T+(4/3)*a(Amax-1)*T+(1/3)*a(Amax)*T+v(Amax-2); s(Amax)=(2/3)*a(Amax-2)*T^2+(4/3)*a(Amax-1)*T^2+2*v(Amax-2)*T+s(Amax-2); v' s' t=0:0.01:19.19; 现以宁河天津波地震记录－南北向为例，原始的加速度波为
波应该满足：
∫ ε min
=
T 0
⎢⎡s(t
⎣
)
−
⎜⎜⎝⎛
b
⋅t 2
2
+ c⋅t3 6
+
d ⋅t 12
4
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤ 2dt
(9 )
公式中：T——地震持续的时间。
在地震结束后，速度为 0，根据公式 (8)得到：
tv(T ) =
v(T ) − ⎜⎜⎝⎛b ⋅T
+
c⋅T 2 2
+
d
⋅T 3 3
⎟⎟⎠⎞
for i=2:1:Amax-1 v(i)=(5/12)*a(i-1)*T+(2/3)*a(i)*T-(1/12)*a(i+1)*T+v(i-1); s(i)=(7/24)*a(i-1)*T^2+(1/4)*a(i)*T^2-(1/24)*a(i+1)*T^2+v(i-1)*T+s(i-1);
end v(Amax)=(1/3)*a(Amax-2)*T+(4/3)*a(Amax-1)*T+(1/3)*a(Amax)*T+v(Amax-
(3) 对于特定情况，可对二次多项式基调方法进行修正可以设震后位移、速度同时为零， 这样有助于地震波基调的准确性。
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参考文献
[1]谢旭.桥梁结构地震响应分析与抗震设计[M],北京:人民交通出版社,2006. [2]石春香.Huang 变换在地震波信号纠偏中的应用.同济大学学报（自然科学版）[J],2005 年.第 33 卷.第 7 期 [3]韩宇光.代数多项式曲线拟合与最小二乘法.鸡西大学学报[J],2007 年.第 7 卷.第 2 期
地震波积分计算出现这一现象不是由于地表面在地震中真正出现了残余位移，而是因为
-3-
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实测的地震波记录中包含着一些误差，这种误差经过两次积分运算后，被放大，从而出现零 位漂移的现象，因此，在地震波积分计算时需要对它进行修正，排除因加速度波误差对速度 和位移波计算结果的影响[2]。
地震波修正的方法有很多，下面我用二次多项式的方法进行对加速度波的修正。其原理 如下。
首先假定位移、速度和加速度修正值为 ts(t) 、 tv(t)、 ta(t )，它们可表示为
ts(t) =
s(t
)
−
⎜⎜⎝⎛
b
⋅t 2
2
+
c⋅t3 6
+
d ⋅t4 12
⎟⎟⎠⎞⎪⎪⎫
( ) tv(t) =
v(t) − ⎜⎜⎝⎛b ⋅ t
2.1 加速度波的积分计算方法
地震波记录一般是以时间轴上等间距的离散点形式给出，当离散点的时间间隔 ∆t 十分 小时，时间间隔内的加速度可以用线性插值近似，当然也可以用拉格朗日二次插值法，这里
我选用拉格朗日二次插值法计算。
a(t + τ ) = a(t)⋅ (τ − ∆t)⋅ (τ − 2∆t) − a(t + ∆t)⋅ τ ⋅ (τ − 2∆t) + a(t + 2∆t)⋅ τ ⋅ (τ − ∆t)
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哦地震波积分计算与基调方法
冯仲仁，李文俊
武汉理工大学土木工程与建筑学院，武汉（430070）
E-mail：coco_0027@163.com
摘 要：地震波一般是以加速度形式测得，为了了解其真实的位移，可通过二次积分得到， 但是会出现漂零情况，因此需要进行基调，用二次多项式基线调整，可以得到比较好结果， 该方法在地震波基调中有一定的应用前景。 关键词：地震波 基调 位移 中图分类号：TU973+.212
得出调整后的位移波如下：
图 4 调整后的位移波
与调整前的位移波相比，其偏移零线的情况有所好转，但是调整后，最后的位移值为 -1.0839cm，其值还是比较大，调整状况并不是很好。用 seismosignal 计算并调整得到的最后 位移值为 0.31735041cm。可见该算法并不是总能得到很好的结果。用 seismosignal 调整后的 位移波图如下：
系数，让其加速度的最大值回到调整前。
按上述方法，对宁河天津波地震记录－南北向加速度波进行调整，用maple进行其最小
二乘拟合，
，其位移波基线方程为
，则
，
。
用matlab所编程序如下（调整加速度波）
ac;
T=0.01;
v(1)=0;
s(1)=0;
Amax=1920;
-4-
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2∆t 2
∆t 2
2∆t 2
(0 ≤ τ ≤ 2∆t)
(1 )
对公式 (1) 做两次积分计算，得到：
(2 )
-1-
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(3 )
若令τ = ∆t ，得到 t + ∆t 时刻的速度和位移：
(4 )
(5 )
若令τ = 2 ⋅ ∆t ，得到 t + 2 ⋅ ∆t 时刻的速度和位移：
此波调整较好。
3 结论
(1) 通常情况下,加速度时程曲线经过积分得到的位移时程曲线过程中,由于缺少适当的 数值,位移的初始值都设为零,但是真实的初始值是未知的也是非零的,因为这些数值只有当 地震加速度足够强烈以能够激发地震仪才开始记录,不是随着地震加速度的开始就开始记 录。
(2) 通过地震波信号的波形进行积分，可以推断二次多项式能够对偏离时间轴的位移时 程曲线进行纠偏,但是不能保证纠偏后位移时程曲线的结束值为零。
令修正后最后的位移和速度全为 0，然后再用最小二乘拟合。这样得到的结果较好。 对于宁河天津波地震记录－南北向，得到调整后的位移波基线方程
0.03434624339 x 2 - 0.006447559069 x 3 + 0.0002261355489 x 4
，
，
调整后的位移波图如下：
图 6 令速度为 0 调整后的位移波
-5-
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Displacement [cm]
2 0 -2 -4 -6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Time [sec]
图 5 用 seismosignal 调整后的位移波
可见两种方法调整的波形差不多。
针对上述用二次多项式修正的方法存在的问题，个人建议，如果遇到小震情况，可同时
tv(j)=v(j)-0.245405811e-1*(j-1)*T+(1/2)*0.02119945072*((j-1)*T)^2-(1/3)*0.0 01706512188*((j-1)*T)^3;
ts(j)=s(j)-(1/2)*0.245405811e-1*((j-1)*T)^2+(1/6)*0.02119945072*((j-1)*T)^3(1/12)*0.001706512188*((j-1)*T)^4; end ts t=0:0.01:19.19; plot(t,ts);