三角函数一题多解举例.doc

所以函数尸鵲仏I 的值域为占，分

厂cos —°

,可看成点 sin& —(一2)

A(sin&,cos0)与B(-2,0)连线的斜率，而

一l-2sin&

(2 + sin^)2 三角函数一题多解举例

例1：求函数)U (&G /?)的值域。

2 + sin&

解法一：利用合一公式 y = 2'°" => 2y = -y sin 0 + cos & =y? sin(& + 0),

所以sin(0 + 0)= I 2丁，又|sin(0 + 0)|Wl, Jl + F

叫少'解得兴

解法二：斜率法

(sin&,cos&)在圆 F + y 2 =1 上,

当AB 与圆相切时分别取到最值，结合图形易得函数尸鼎伍R )的

值域为［芈孚

解法三：导数法

y'= 0 得 sin& =-*,cos& = ± 专，从而 - ¥，¥

, 令 2：对任意xe /?,<7cosx + /?cos2x>-ltii 成立，求a + b 的最大值. 例

解法一：特值法，特别快

2^^

] | ® 6zcosx + /?cos 2x > -1 中取兀=—— 得 d(——) + /?(——)> -1, a + h <2, 3 2 2

4 2 4 2 4 2 2

当 a =—,b =—时，a cos x + b cos 2x = — cos x + — cos 2x = — cos x + — (2 cos x-1) 3 3 3 3 3 3

4 1 . 一

=—(cos x H —)~ —in —1 ,所以 d + b 的最大值为 2. 3 2

解法二：构造二次函数

原不等式即^cosx + /?(2cos 2x-1)>-1 即2/?cos 2x + acosx-b + 1 >0 ,

⑵由一扩I 】 b-a+l>0

得 a < 一4b 或 a > 4b ( /

I + V8 丿

当且仅当< /+8@_丄)2=2 2 6Z = 8(/?-—) 2 即< 4 a =—

彳时取等号，此时满足 b = - 3

性二斗[―1,1]・

4h 2

(3)由？

令 f(t) = 2br +血一b + l,/ = cos 兀w [-1,1],

(1) 当b

所以只要+ +比"+丄1<2

I /(l) = 2b + a —b + 120

b>0

若 a < —4b ：则 a + b v —3b < 0 < 2 ；

若 a>4b,则由 Z? + tz + l>0W4/?<6/ft<-,故 Q + bG + 2bv2v2.

b>0

得小(十2,

A = «2 2-4X 2/?(-/? + 1)<0

9 1

由 柯西不 等式，2X ->[6/2+8(Z?一一)2] 8 2 综上，a + b 的最大值为2. 例 3：设0e [0,—] , cos 2 0 + 2msin 3-2m-2<0 fa 成立，求加的取值范围.

2 解法1 (分离参数，构造函数，利用导数)：

不等式等价于 1 -sin 2 6 + 2msin 0-2m — 2<0 ,

一sin? & + 2加sin&-2加一 1 <0 , zn(2sin &一 2) v sin 2 0 + 1.

V 0e [0,-] , sin % [0,1]. 2

(1) 当sin& = l 吋，不等式显然成立.

2 3 a + b ——< —^> a + b<2 ,

n (d + b-丄尸，故

2

(X-1)2-2 U-l)2<0,

⑵当讪3)时，不等式等价于Q宁需1

1X + 1

令sin 0 =兀,/(x) = ---------- (xe [0,1))，

2x-1

/(尢)是减函数，/(x)m;tx = /(0) = 一]••:航> 综上5的取值范围是(-+)・解法2 (利用二次函数的性质)：

不等式等价于]-sii?0 + 2/nsin0-2加一2<0 ,

即一sin? & + 2加sin&-2"?-l <0 ,

即sin2 0 - 2wsin 6 + 2m +1 >0.

令sin & =兀，则x2 - 2nvc + 2m + 1 >0.

令fM = 一2加:+ 2加 + 1 = (x-m)2 -m2 +2加 + 1,兀w [0,1].

(1)当加>1时,/(Q斷二/(D = 2>0,符合题意.

(2)当0 < m < 1 W , /(X)min =f (加)=一+ 2加 + 1 = -(/?? 一1)2 + 2 > 0,符合题意.

(3)当加v0时,f(x)min = f(0) = 2m +1 >0,

综上，加的取值范围是(--,+oo).

2

解法3(分离参数，再分离常数，一般可以利用基本不等式，但是本题中利用基本不等式时等号不成立，于是仍然利用函数的单调性)：

不等式等价于1 - sin2 ^4-2msin0-2m-2<0 ,

即- sin2 0 + 2/77sin 0一2m一1 v 0 ,即m(2sin 0 - 2) < sin20 + 1.

V [0,-] , sin&w[0,l].

2

(1)当sin& = l吋，不等式显然成立.

(2)当sin[0,1)时，不等式等价于加〉丄•也 "*' ,

2 sin & -1

设sin&-l =兀，则xe [-1,0),

且丄.泄空丄(兀+ 1)2+1显心+ 2十2),

2 sin^-1 2 x 2 x

1 2 1 2

^/U) = -.(x + - + 2),贝'J/Z(x) = -.(1-—)<0,

2 x 2

1? I 1

・•・ /(尢)是减函数，/(^)inax =-*(-l + —+ 2) = --. A m>-~.

2—1 2 2

综上，加的取值范围是(-丄,+<-)・

2

解法4(利用函数的图象)：