有限元的基础理论

§1有限元的基础理论

§1-1 概述

有限元法是一种数值计算的近似方法。早在40年代初期就已有人提出，但当时由于没有计算工具而搁置，一直到50年代中期，高速数字电子计算机的出现和发展为有限元法的应用提供了重要的物质条件，才使有限元法得以迅速发展。

有限元法在西方起源于飞机和导弹的结构设计，发表这方面文章最早而且最有影响的是西德的J.H.Argyris教授，于1954–1955年间，他在《Aircraft engineering》上发表了许多有关这方面的论文，并在此基础上写成了《能量原理与结构分析》，此书成为有限元法的理论基础。美国的M.T.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin和L.J.Topp等人于1956年发表了一篇题为《复杂结构的刚度和挠度分析》一文，此文提出了计算复杂结构刚度影响系数的方法，说明了如何利用计算机进行分析。美国教授R.W.Clough于1960年在一篇介绍平面应力分析的论文中，首次提出了有限元法的名字。1965年英国的O.C.Zienliewice教授及其合作者解决了将有限元应用于所有场的问题，使有限元法的应用范围更加广泛。

有限元法的优点很多，其中最突出的优点是应用范围广。发展至今，不仅能解决静态的、平面的、最简单的杆系结构，而且还可以解决空间问题、板壳问题、结构的稳定性问题、动力学问题、弹塑性问题和粘弹性问题、疲劳和脆性断裂问题以及结构的优化设计问题。而且不论物体的结构形式和边界条件如何复杂，也不论材料的性质和外载荷的情况如何，原则上都能应用。

§1-2 有限元的基础理论

有限元法的基本思路和基本原则以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成有限个单元的组合，各单元彼此在节点处连接而组成整体。把连续体分成有限个单元和节点，称为离散化。先对单元进行特性分析，然后根据各节点处的平衡和协调条件建立方程，综合后作整体分析。这样一分一合，先离散再综合的过程，就是把复杂结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合的问题。因此，一般的有限元解法包括三个主要步骤：离散化、单元分析、整体分析。

§1-2-1 离散化

一个复杂的弹性体可以看作由无限个质点组成的连续体。为了进行解算，可以将此弹性体简化为有限个单元组成的集合体，这些单元只在有限个节点上铰接，因此，这集合体只具有有限个自由度，这就为解算提供了可能。有无限个质点的连续体转化为有限个单元的集合体，就称为离散化。

§1-2-2 单元分析

单元分析首先要进行单元划分。在工程结构中，一般采用四种类型的基本单元，即标量单元、线单元（杆、梁单元）、面单元和体单元。四种基本单元的若干例子及各单元节点自由度（节点位移）表示在图（1-1）中。而单元划分一般注意下面几点：

一、从有限元本身来看，单元划分的越细，节点布置得越多，计算的结果越精确。但计算时间和计算费用的增加。所以在划分单元时对应兼顾这两个方面。

二、在边界比较曲折，应力比较集中，应力变化较大的地方，单元应划分的细点，而在应力变化平缓处单元划分的大些。单元由小到大应逐渐过渡。

三、对于三角形单元，三条边长应尽量接近，不应出现钝角，以免计算出现较大的偏差。对于矩形单元，长度和宽度也不应相差过大。

四、任意一个三角形单元的角点必须同时也是相邻单元边上的角点，而不能是相邻单元边上的内点。划分其他单元时也应遵循此原则。

五、如果计算对象具有不同的厚度或不同的弹性系数，则厚度或弹性系数突变之处应是单元的边线。

图1-1 一些基本的有限元及相应的节点位移（→）和转动（→→）

六、应力分布在载荷有突变之处或是受有集中载荷处布置点处，其附近的单元也应划分的小一点。

单元划分完毕后，要将全部单元及全部节点按一定顺序编号，单元号及节点号均不能有错漏或重复。

每个单元所受的载荷均按静力等效的原则移置到节点上，并在位移受约束的节点上根据实际情况设置约束条件。

单元分析的主要任务是：求出单元节点位移和节点力之间的转换关系。而对于一个复杂

的弹性体，要用某种函数来描述整体内任一点的位移是不大可能的。但当把弹性体离散化为许多细小的单元，则在一个单元的局部范围内可以把某一点的位移近似表达为其坐标函数，这表达式称为单元位移模式。任何单元德单元分析都应首先确定其位移模式，然后逐渐推导出单元刚度矩阵，并同时求出单元内各点应变的方程。通过应变的方程推导出单元内各节点应力，最后，再根据虚功原理求单元节点力---即作用于节点的外力，同时得出节点位移求节点力的转换矩阵，即单元刚度矩阵，这样，单元分析就完成了。下面通过单元分析的公式示意图说明单元间各环节的关系。 [][][]

}e

n B D t B e n m m m T 1⨯∆⨯⨯

[][][][]∆=⨯t B D B K T

e n n

图中注明了各矩阵得阶数。上式中

{}e δ―单元节点位移：

[]B ―应变与位移关系矩阵矩阵；

{}ξ―单元内各点应变；

[]D ―应力应变关系矩阵；

{}σ―单元内各点应力；

t ―单元厚度；

{}e F ―单元节点力

[]e k ―单元刚度矩阵

由此图得出

1、 由节点位移{}e δ求应力{}σ的公式：

{}[]{}[][]{}e B D D δξσ==

（1-1） 2、 由节点位移{}e δ求节点力{}e F 的公式：

{}[]{}[][]{}[][][]{}∆=∆=∆=t B D B t D B t B F e T T T e δξσ

（1-2） 或写成

{}[]{}e e e k F δ=

（1-3） 其中[][][][]∆=t B D B k T e （

1-4）

§1-2-3 整体分析

整体分析就是建立各单元之间和整体结构之间的联系，建立起整体刚度矩阵：先对各个单元求出单元刚度矩阵[]e k，然后将其中的每个子块[]ij k送到整体刚度矩阵中相应位置，在同一位置上若有几个单元的相应子块送到，则进行迭加以得到整体刚度矩阵的子块从而形成整体刚度矩阵[]k。然后，加入载荷向量{}P和边界条件，再根据整体结构矩阵可以求出整体结构的节点力向量和节点位移向量之间的关系。

.※整体刚度矩阵的建立是根据任一点中的第j个节点上的节点力等于该单元三个节点i,j,m的节点位移在节点j上的节点力之迭加。而在整体结构中一个节点往往为几个单元所共有，则在这个节点上的节点力就应该是：共有这节点的几个单元的所有节点位移在该节点上引起的节点力之迭加。

§1-3 有限元分析方法

在有限元分析中，可采用三种方法：

位移法―取节点位移作为基本未知数；

力法―取节点力作为基本未知数；

混合法―取一部分节点位移和一部分节点力作为基本未知数。

位移法，因其未知量的确定比较程序化，易于编写计算机程序，因而得到广泛应用，力法和混合法，虽然在计算方面精度高，但编写程序比较困难，因此，目前很少采用。

基于位移法的有限元法，需建立单元刚度矩阵，对于杆系结构一般采用直观刚度法，对二维、三维等连续体可采用能量法推导。

§1-4 有限元法在汽车工业中的应用及流行软件

有限元法在各国汽车工业中业已得到广泛的应用，其成果在从1974年开始的各界国际车辆结构力学会议上发表的论文中有所体现。集中会议所涉及的问题，有轿车和客车的车身、车架、车门和其他钣金件的应力和变形分析；制动鼓的热应力；后桥壳应力分析；载重汽车保护结构的应力与变形分析；齿轮应力计算、悬架弹簧的应力与变形分析和涡轮机以及压缩机的零部件分析。目前国际上流行的软件大约有三种，一是大型通用结构分析程序，例如美国的SAMIS,FOKMAT,NASTRAN,SAP系统等；二是行业专用程序，例如西德本茨公司开发的车辆结构分析结构（MESA程序）；第三种是小型专用程序，多由专业技术人员自行开发。