第三章可测函数

第三章 可测函数

为了引进新的积分，我们还需要引进一类重要的函数即可测集上的可测函数，这类函数一方面与数学分析中的连续函数有着密切的联系，另一方面比连续函数更为广泛、应用价值更大.

这里我们需要强调，今后所提到的函数都是指定义在n R 中某点集上的单值实函数，且允许它的值可以取±∞（±∞也称为非正常实数，通常的实数称为有限实数或实数）.另外，我们规定：

(+∞)+（+∞）=+∞，（-∞）+（-∞）=-∞，

对于任意实数a ，总有a +(+∞)=(+∞)+a =+∞，a +(-∞)=-∞，

对于b >0，c <0，b ·(±∞)=±∞，c ·(±∞)= ∞，(±∞)·（±∞）=+∞， （+∞）·（-∞）=（-∞）·（+∞）=-∞，0·（±∞）=（±∞）·0=0， 对∞≠b ，

o b =∞，对o c ≠，∞=o

c

， 但（+∞）-（+∞），（±∞）+（ ∞），（-∞）-（-∞）均无意义.

§1 可测函数的定义及简单性质

可测函数的定义方法很多，本节，我们将采用从简单到复杂的方法定义可测函数，即先给出简单的可测函数，然后分析这些函数的测度特性从而归纳出一般可测函数的定义.

一、可测函数的定义及等价定义

1．简单函数

定义1 设E n R ⊂为一个可测集，)(x f 为定义在E 上的实函数，如果 （1）E = m

i i E 1

=，其中i E 为两两不交的可测集，

（2）在每个i E 上)(x f =i c ，即)(x f = ⎩⎨⎧1

C C m 1

E x E x m ∈∈ ，亦即∑==m i E i x c x f i 1

)()(χ，

其中)(x i E χ表示i E 的特征函数，则称)(x f 为E 上的简单函数.

显然)(x D =⎩⎨⎧01 上的无理点为上的有理点为]1,0[]1,0[x x 及 )sgn(x =⎪⎩

⎪

⎨⎧-101

00<=>x x x 均为其定

义域上的简单函数.

注 只有当可测集E 的分解为有限不交可测分解，且在每个小可测集上)(x f 的取值为常数时，)(x f 才是E 上的简单函数.

可以证明，可测集E 上的两个简单函数)(),(x g x f 的和、差及乘积仍为E 上的

简单函数，且当0)(≠x g 时，

)

()

(x g x f 也是E 上的简单函数。另外，若)(u f 是G 1

R ⊂上的函数，)(x g u =是可测集n R E ⊂上的简单函数，且 )(E g G ⊂，则)]([x g f 仍为E 上的简单函数. 定义

设

)

(x f 为

n

R E ⊂上的非负实函数, 集合

{)(0,),(x f y E x y x <≤∈}1+⊂n R 称为)(x f 在E 上的下方图形, 记为 ),(f E G . 例 设)(x f 为可测集n

R E ⊂上的非负简单函数,即∑==m

i E i x c x f i 1)()(χ,其中

i m

i E E 1

=⋃=, i E 为两两不交的可测集, 则 ),(f E G 为可测集, 且

i m

i i E m c f E mG ∑==1

),(.

证明 不难证明 ),(),(1

f E G f E G i m

i =⋃=,其中),(f E G i 也互不相交.

而 ),0[})(0,),{(),(i i i i i c E c x f y E x y x f E G ⨯==<≤∈=为1+n R 中的可测集, 且 i i i i i i i mE c c m mE c E m f E mG =⋅=⨯=),0[)),0[(),(, 所以 ∑∑====m

i i i m

i i mE c f E mG f E mG 1

1

),(),(.

2．非负可测函数

定义2 设n R E ⊂为可测集，)(x f 为E 上非负函数，如果存在一列单调递增的非负简单函数列{)(x m ϕ}即0)(lim )(,)()()(21x x f x x x m m n ϕϕϕϕ∞

→=≤≤≤≤≤使 ，

则称)(x f 为E 上的非负可测函数或称)(x f 在E 上非负可测. 显然可测集E 上的非负简单函数自身是非负可测的. 下面用一个定理来刻划非负可测函数的测度特性.

定理1 设)(x f 为可测集E n R ⊂上的非负函数，则)(x f 在E 上非负可测的充要条件是∀实数a ，[]a x f x E >)(都是n R 中的可测集.

证明 必要性 若)(x f 在E 上非负可测，则存在E 上一列单调递增的非负简单函数列{)(x m ϕ}，使

)(x f = )(lim x m m ϕ∞

→

因为∀实数a ， ∞

=>=>1

])([])([m m a x x E a x f x E ϕ

而对可测集E 上的简单函数)(x ϕ，易证])([a x x E >ϕ是可测集（证明留给读者）， 所以 ])([a x f x E >为可测集.

充分性 若∀实数a ，])([a x f x E >均为可测集，而

]

)([\])([])([],1

)([])([1

b x f x E a x f x E b x f a x E k a x f x E a x f x E k ≥≥=<≤->=≥∞

=

(其中b a ≤)，所以])([,])([b x f a x E a x f x E <≤≥也为可测集，任取自然数m ， 记 ,2,1,0],2

1

)(2[,=+<≤=k k x f k x E E m m k m ，12-m m ，

])([2,m x f x E E m m m ≥=

显然E = m m k k m E 20

,=且k m E ,可测，且两两不交，定义

⎪⎩⎪⎨⎧=m

k x m

m 2)(ϕ

m

m m k m E x E x 2,,,∈∈ ,12,2,1,0-=m m k 则)(x m ϕ为E 上非负简单函数，且不难证明

)()(1x x m m +≤ϕϕ ， 即)(x m ϕ单调递增，