第4章-加性高斯白噪声信道的最佳接收机

10
4.2 波形与矢量AWGN信道
r ( t ) smj j ( t ) n j j ( t ) n2 (t ) rj j ( t ) n2( t)
j 1 k 1
j 1
N
N
N
接收信号矢量{rj} 剩余噪声： n2 ( t ) n( t)
n ( t)
1 m M
接收机的预处理： 接收信息的可逆预处理不会改变接收机的最佳性。
8
4.2 波形与矢量AWGN信道
接收信号通过AWGN信道的数学模型
r( t )=sm(t)+n(t)
接收机结构：
r( t )
信号 解调器
r [r1 , r2 , rN ]
检测器
输出判决
将接收波形变 换成 N 维向量
2 N nk 1 p( n) exp N /2 ( N 0 ) N k 1 0
{rk} 的均值： E[rk ] E[ smk nk ] smk
N ( rk smk )2 决定了概率密度 1 p( r | sm ) e xp N /2 (N 0 ) N 0 k 1 值的大小
16
4.2 波形与矢量AWGN信道
距离度量：
D(r , sm ) r sm
2
(r (t ) sm (t ))2 dt

2

变型距离度量：
相关度量：
D ( r , s m ) 2 r s m s m
2
C (r , sm ) 2r sm sm
2
1 N0 2 arg max ln Pm || r sm || 2 1 m M 2 1 N0 arg max ln Pm Em r sm 2 1 m M 2
发送信号等概时：
2 2 ˆ arg max m || r s || arg min || r s || m m 距离度量 1 m M 1 m M
1 m ' M m ' m

M
M
Dm '
p( r | sm )dr
Pe Pm P[r Dm | m ] Pm Pe|m
m 1 m 1
7
M
4.1 波形与矢量信道的模型
最佳检测器：基于接收信号或向量，对sm的可能取值做出估计，并 使得错误概率最小。 充分统计量：如果
p(r1 , r2 | sm ) p(r1 | sm ) p(r2 | r1 )
相关解调器；匹配滤波器
根据向量 r ，在 M 个可能波 形中判定哪一个波形被发送
要求： 从模拟波形到向量表示，不丢失任何接收时需要的信息！ 其次，可以方便对其进行统计和概率描述（联合概率密度分布 函数）。 注意：尚未严格证明这种功能模块划分能满足这两个条件！
9
4.2 波形与矢量AWGN信道
将接收到的信号加噪声变换成 N 维向量，即将 r(t) 展开成一系 列线性加权正交基函数之和
j 1 j j
N
相关器的输出
rj smj n j
是零均值的高斯噪声过程 的联合概率密度分布函数：

{sm(t)} 是确定的 {nj} 是高斯随机变量
信号分量smj也是确定的
均值： E ( n j )



E[ n( t)] j( t) dt 0
1 E[n(t )n( )]i (t ) j ( )dtd 2 N 0 ij 1 i j 2 {nj} 是零均值，方差 n N 0 / 2 的不相关的高斯随机变量！ ij 11 0 i j
r( t )的概率描述？
采样值？ 或者信号空间？
3
补充：此处的信道模型中未考虑信号在信道中的波形变化
4.1 波形与矢量信道的模型
基于标准正交基对接收信号进行展开，得到
2 噪声方差： n
r sm n
且噪声间相互独立。
1 N0 2
噪声分量 n =[n1, n2, …, nN] 的联合条件PDF:
ˆ m | m] P[r Dm | m] P[Correct Decision|m] P[m
符号错误概率 ：
ˆ arg max p( m | r ) arg max p( sm | r ) m
1 m M 1 m M
Pe|m
c Dm
p( r | sm )dr
4
4.1 波形与矢量信道的模型
最佳检测器：基于接收信号或向量，对sm的可能取值做出估计，并 使得错误概率最小。 判决函数和判决域 ： 对应每个m，确定一个对应的区域Dm，只要接收信号向量落在 该区域内，就认为发送的是Sm 。显然，判决域需要互不重叠。 正确判决的概率 ：
ˆ m | m ] P[r Dm | m ] P[Correct Decision|m ] P[m
第四章 AWGN信道的最佳接收机
4.1 波形与矢量信道的模型
4.2 波形与矢量AWGN信道
4.3 带限信号传输的最佳检测和错误概率
4.4 功限信号传输的最佳检测和错误概率
4.5 非相干检测
4.6 数字传输方法的比较
4.8 有记忆信号传输方式的检测 4.9 CPM信号的最佳接收机
协方差： E (ni n j )

11
4.2 波形与矢量AWGN信道
另外，n2 ( t ) 与N个相关器输出 {rj} 是不相关的：
E[n2 (t )rj ] E[n2 (t )]smj E[n2 (t )n j ]
代入： n2 ( t ) n( t ) n j j (t ) E[n2 (t )nj ] j 1 N E n( t ) nii ( t ) n j 代入： n j n( ) j ( )d i 1
15
4.2 波形与矢量AWGN信道
判决域：
Dm r R N : r sm m r sm ' m ' ,
for all 1 m ' M and m ' m
r ( sm sm ' ) m m ' m
从信号空间角度，有：
r sm
m 信号的能量
2
D ( r , s m ) 2 r s m s m
等价于
D(r , sm ) 最小
相关度量：
C (r , sm ) D(r , sm ) 最大
2
C ( r , sm ) 2r sm sm
注意：如果信号具有相同的能量，计算中可以忽略该项
r ( t ) rj j ( t )
j 1
N
正交基函数： j ( t )
rj


r (t ) j (t )dt [ sm (t ) n(t )] j (t )dt


rj smj n j ( j =1, 2, … N )
问题：根据上述抽样值 rj 进行判决，条件是否充足？
1 m M 1 m M
最大似然准则，ML： 由
Pm p( r | sm ) p( sm | r ) p( r )
1 Pm M
如果消息是先验等概发送，即 则有
ˆ arg max p(r | sm ) m
1 m M
6
4.1 波形与矢量信道的模型
最佳检测器：基于接收信号或向量，对sm的可能取值做出估计，并 使得错误概率最小。 正确判决的概率 ：
1
系统框图。 接收机的核心功能：通过接收到的信号判断出发送的是M 个信号中的哪一个。 设计思路： (1) 信号的差异性
r sm
2

+
-
| r (t ) sm (t ) |2 dt
(2) 更严格的统计和概率描述，目标是获得错误概率最 小的最佳接收机
2
4.1 波形与矢量信道的模型
接收信号通过AWGN信道的数学模型
最大后验概率准则：选择后验概率集 {P(sm|r)} 中最大值的信号。
N ( r s )2 ˆ arg max Pm p( r | sm ) 1 m j mj p ( r | s ) exp 1 m M m N /2 ( N 0 ) N j 1 0 2 || r sm || arg max ln Pm N 1 m M 0
12
4.2 波形与矢量AWGN信道
在发送第m个信号的条件下，相关器输出 {rj} 是统计独立的高斯随 机变量！ {rj} 的均值：
E[rj ] E[ smj n j ] smj
1 N0 2
2 方差： r2 n
随机向量 r =[r1, r2, … , rN] 的联合条件PDF:
14
4.2 波形与矢量AWGN信道
距离度量： D( r , sm )
2 ( r s ) r 2 r s s n mn n mn mn 2 n 1 n 1 2 n n 1 n 1 2 2
2
N
N
N
N
r 2r s m s m
sm
变型距离度量：
( m 1, 2 M )


r (t )sm (t )dt
2 sm (t )dt
m
2

1 2 N0 ˆ arg max MAP： m ln Pm r (t )sm (t )dt sm (t )dt 2 1 m M 2
1 2 ˆ arg max r (t )sm (t )dt sm (t )dt ML： m 2 1 m M


r (t )sm (t )dt


2 sm (t )dt
N0 ˆ MAP： m arg max ln Pm D( r , sm ) 1 m M 2 N0 arg max ln Pm C ( r , sm ) 1 m M 2
那么r2与sm的判决无关
ˆ arg max Pm p( r | sm ) arg max Pm p( r1 , r2 | sm ) m
1 m M 1 m M 1 m M
arg max Pm p( r1 | sm ) p( r2 | r1 ) arg max Pm p( r1 | sm )
N



E[n( t )n( )] j ( )d E[n j ni ]i (t )
i 1
N
1 1 N 0 j ( t ) N 0 j ( t ) 0 结论： 2 2 就哪一个信号波形被发送而言， n2 ( t ) 不包含与判决有关的任何信息。
相关器的输出 (r1 , r2 , … , rN ) 对判决来说是充分统计的！ 因此，判决可以完全根据相关器输出信号 r sm n 来进行。
p( r | sm ) p( rj | smj )
j 1
N
m =1, 2, … M
N ( rj smj )2 1 p( r | sm ) exp N /2 ( N 0 ) N0 j 1
决定了概率密度 值的大小
13
源自文库
4.2 波形与矢量AWGN信道
接收机设计的关键问题： 如何划分判决域，才能够使得正确判决的平均概率最大？ 最大后验概率准则，MAP； 最大似然准则，ML。
5
4.1 波形与矢量信道的模型
最佳检测器：基于接收信号或向量，对sm的可能取值做出估计，并 使得错误概率最小。 最大后验概率准则，MAP：
ˆ arg max p( m | r ) arg max p( sm | r ) m
发射机 sm(t)
r( t )=sm(t)+n(t)
在 0 t T 内
接收机
输出判决
{sm(t), m=1, 2, …M} 每个波形在持续时间 T的符号间隔内传输
n( t )
1 AGWN: nn ( f ) N 0 2
r( t )=sm(t)+n(t)
简单而有效！
目标: 根据对r( t )在信号间隔时间上的观测，设计一个接收 机，使错误概率最小 —— 最佳接收机.