博弈树的搜索

用一字棋的例子来说明α-β剪枝方法

为了使生成和估值过程紧密结合，采用有 界深度优先策略进行搜索，这样当生成达到规 定深度的节点时，就立即计算其静态估值函数， 而一旦某个非端节点有条件确定其倒推值时就 立即计算赋值。
一字棋第一阶段α-β剪枝方法


（1）α剪枝：若任一极小值层节点的β值小于 或等于它任一先辈极大值居节点的α值，即α （先辈层）≥β（后继层），则可中止该极小值 层中这个MIN节点以下的搜索过程。这个MIN 节点最终的倒推值就确定为这个β值 （2）β剪枝：若任一极大值层节点的α值大于 或等于它任一先辈极小值层节点的β值，即α （后继层）≥β（先辈层），则可以中止该极大 值层中这个MAX节点以下的搜索过程。这个 MAX节点的最终倒推值就确定为这个α值。

方法：当轮到我方走棋时，首先按照一定的搜 索深度生成出给定深度d以内的所有状态，计 算所有叶节点的评价函数值。然后从d-1层节 点开始逆向计算：对于我方要走的节点（用 MAX标记，称为极大节点）取其子节点中的最 大值为该节点的值（因为我方总是选择对我方 有利的棋）。

对于对方要走的节点（用MIN标记，称为极小 节点）取其子节点中的最小值为该节点的值 （对方总是选择对我方不利的棋）。一直到计 算出根节点的值为止。获得根节点取值的那一 分枝，即为所选择的最佳走步。

（3）对某些博弈的开局阶段和残局阶段， 往往总结有一些固定的对弈模式，因此可以利 用这些知识编好走步表，以便在开局和结局时 使用查表法。只是在进入中盘阶段后，再调用 其他有效的搜索算法，来选择最优的走步。
需要作进一步的研究和探讨的问题



（1）在一个短时期内短兵相接，进攻和防御 的战术变化剧烈，这些情况如何在搜索策略中 加以考虑。 （2）基于极小极大过程的一些方法都设想对 手总是走的最优走步，即我方总应考虑最坏的 情况，实际上再好的选手也会有失误，如何利 用失误加强攻势，也值得考虑。 （3）选手的棋风问题。


一般规定有利于MAX的势态，f(p)取正值， 有利于MIN的势态，f(p)取负值，势均力敌的 势态，f(p)取0值。若f(p)＝＋∞，则表示MAX 赢，若f(p)＝－∞，则表示MIN赢。下面的讨论 规定：顶节点深度d＝0，MAX代表程序方， MIN代表对手方，MAX先走。 当用端节点的静态估计函数f（p）求倒推 值时，两位选手应采取不同的策略，从下往上 逐层交替使用极小和极大的选值方法，故称极 小极大过程。


因此，极小极大过程是一种假定对手每次 回应都正确的情况下，如何从中找出对我方最 有利的走步的搜索方法。 值得注意的是，不管设定的搜索深度是多 少层，经过一次搜索以后，只决定了我方一步 棋的走法。等到对方回应一步棋之后，需要在 新的棋局下重新进行搜索，来决定下一步棋如 何走。
静态估计函数f(x)
通过对下图的搜索，来说明α-β剪枝搜索过程

根据这些剪枝规则，很容易给出α-β算法 描述，显然剪枝后选得的最好优先走步，其结 果与不剪枝的MINIMAX方法所得完全相同， 因而α-β过程具有较高的效率。

在一般条件下使用α-β搜索技术，在同样 的资源限制下，可以向前考虑更多的走步数， 这样选取当前的最好优先走步，将带来更大的 取胜优势。

例如中国象棋，综合数据库可规定为棋盘 上棋子各种位置布局的一种描述，产生式规则 是各类棋子合法走步的描述，目标则可规定为 将（帅）被吃掉，规则作用于数据库的结果便 生成出博弈图或博弈树。
Grundy博弈
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

问题： 有一堆数目为N的钱币，由两位选手轮流 进行分堆，要求每个选手每次只把其中某一堆 分成数目不等的两小堆。例如选手甲把N分成 两堆后，轮到选手乙就可以挑其中一堆来分， 如此进行下去直到有一位选手先无法把钱币再 分成不相等的两堆时就得认输。 当初始钱币数为7时的状态空间图，如下 ：
博弈树的搜索
双人完备信息

两位选手对垒，轮流走步。这时每一方 不仅知道对方过去已经走过的棋步，而且还能 估计出对方未来可能的走步。对弈的结果是一 方赢（另一方则输），或者双方和局。
博弈问题可以用产生式系统的形式来描述。

产生式系统



构造知识型系统和建立认知模型时常用的知识表示的 形式系统。 一个产生式系统由下列3部分组成： 一个总数据库(global database)，它含有与具体任务 有关的信息。 一套规则，它对数据库进行操作运算。每条规则由左 右两部分组成，左部鉴别规则的适用性或先决条件， 右部描述规则应用时所完成的动作。应用规则来改变 数据库。 一个控制策略，它确定应该采用哪一条适用规则，而 且当数据库的终止条件满足时，就停止计算。
MIN代表对方走， MAX代表我方走。


对于简单问题可以这样找到取胜策略，但对于 复杂问题就不可能了。 下面讨论：如何根据有限的状态，得到较好走 步的搜索方法。
极小极大搜索方法

极小极大搜索方法是博弈树搜索的基本方法 。 首先假定，有一个评价函数可以对所有的棋局 进行评估。当评价函数值大于0时，表示棋局 对我方有利，对对方不利。当评价函数小于0 时，表示棋局对我方不利，对对方有利。
其他改进方法

（1）不严格限制搜索的深度，当到达深度限 制时，如出现博弈格局有可能发生较大变化时 （如出现兑子格局），则应多搜索几层，使格 局进入较稳定状态后再中止，这样可使倒推值 计算的结果比较合理，避免考虑不充分产生的 影响，这是等候状态平稳后中止搜索的方法。

（2）当算法给出所选的走步后，不马上停止 搜索，而是在原先估计可能的路径上再往前搜 索几步，再次检验会不会出现意外，这是一种 增添辅助搜索的方法。
3×3棋盘的一字棋为例


问题：在九宫格棋盘上，两位选手轮流在棋盘 上摆各自的棋子（每次一枚），谁先取得三子 一线的结果就取胜。 设程序方MAX的棋子用（×）表示，对手 MIN的棋子用（○）表示，MAX先走。静态估 计函数f（p）规定如下 ：



若p对任何一方来说都不是获胜的格局，则 f(p)＝（所有空格都放上MAX的棋子之后， MAX的三子成线（行、列、对角）的总数） －（所有空格都放上MIN的棋子之后，MIN的 三子成线（行、列、对角）的总数） 若p是MAX获胜的格局，则f(p)＝∞； 若p是MIN获胜的格局，则f(p)＝－∞。
一字棋第一阶段搜索树
一字棋第二阶段搜索树
一字棋第三阶段搜索树
α-β搜索过程



能否在搜索深度不变的情况下，利用已有 的搜索信息减少生成的节点数呢？ MIN-MAX过程是把搜索树的生成和格局 估值这两个过程分开来进行，即先生成全部搜 索树，然后再进行端节点静态估值和倒推值计 算，这显然会导致低效率。 实际上把生成和倒推估值结合起来进行， 再根据一定的条件判定，有可能尽早修剪掉一 些无用的分枝，同样可获得类似的效果，这就 是α-β过程的基本思想。