圆周角圆心角PPT课件

在下图中， 若已知∠C1 = 90°， 它所对的弦AB 是直径吗？
结论
由此得到以下结论： 直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所 对的弦是直径.
例3
如图所示，BC是⊙O的直径，∠ABC=60°， 点D在⊙O上 .求∠ADB的度数.
解
∵ BC为直径， ∴ ∠BAC =90°. 又 ∠ABC= 60°， ∴ ∠C= 30°.
∴ ∠BOC = 2∠BAC = 50°.
动脑筋
在下图中，AB 是⊙O的直径，那么∠C1， ∠C2，∠C3的度数分别是多少呢？
因为圆周角∠C1，∠C2 ，∠C3所对弧上的圆心角是 ∠AOB，只要知道∠AOB的度数，利用圆周角定理，就 可以求出∠C1，∠C2，∠C3的度数.
因为A，O，B 在一条直线上，所以圆 心角∠AOB是一个平角，即∠AOB=180°. 故∠C1=∠C2=∠C3= 1 ×180°= 90°. 2
探究
︵ 分别测量下图中 BC 所对的圆周角∠BAC和
圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系？ 每位同学任画一个圆，并在圆上任取一条弧，
作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量出它们
的度数.你能得出同样的结论吗？由此你能发现 什么规律？
与同桌或邻近桌的同学交流，猜测一条 弧所对的圆周角与圆心角有什么关系.你能证 明这个猜测吗？
通过度量，我发现圆周角的度数等 于它所对弧上的圆心角度数的一半.
下面我们来证明这个猜测是真的.
︵ 已知： 在⊙O中，BC 所对的圆周角是∠BAC， 圆心角是∠BOC.
求证： ∠BAC = 1 ∠BOC. 2
在画图时，可以发现圆心O与圆周角的位置关系有 以下三种情形：
情形一
圆周角的一边通过圆心.
如右图所示，圆O中， 圆心O在∠BAC的一边AB上. 由于OA=OC， 因此∠C=∠BAC，
如下图所示， 连接OB，OD. ︵ ︵ ∵ ∠A所对的弧为 BCD， ∠C所对的弧为 BAD ， ︵ ︵ 又 BCD 与 BAD 所对的圆心角之和是周角，
360 ∴ ∠A+∠C= 2 =180°.
由四边形内角和定理可知， ∠ABC +∠ADC = 180°.
结论
由此得到以下结论： 圆内接四边形的对角互补.
例
如图，在⊙O中，∠BOC=50°，OC∥AB， 75° . 则∠BDC的度数为
解析
∵OC∥AB，∠BOC=50°， ∴∠B=∠BOC=50°. 又∵圆周角A与圆心角BOC所对的弧同为弧BC， ∴∠A= 1 ∠BOC=25°. 2 ∵∠BDC是△ABD的一个外角. ∴∠BDC=∠A+∠B=25°+50°=75°. 故应填写75°.
结论Biblioteka Baidu
由此得到以下结论：
在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的 圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧 相等.
例2 如图所示，OA，OB，OC都是⊙O的半径， ∠AOB=50°，∠BOC=70°.求∠ACB和 ∠BAC的度数.
解
AOB与圆周角∠ACB所对的 ∵ 圆心角∠ ︵ 弧为 AB ，
∴ ∠ACB= 1∠AOB= 25°. 2
︵ 又∵ ∠ADB与∠C都是 AB所对的圆周角，
∴ ∠ADB = ∠C= 30°.
如图， A，B，C，D是⊙O上的四点， 顺次连接 A，B，C，D四点， 得到四边形ABCD， 我们把四边形 ABCD称为圆内接四边形. 这个圆叫作这个四边形的外接圆.
动脑筋
在下图的四边形ABCD 中， 两组对角∠A与∠C， ∠B与∠D有什么关系？
∴ ∠BCD = 180°-∠BAD= 180°-50° = 130°.
练习
1. 如图， 在⊙O 中，AB是直径， C，D是圆上两点， 且AC =AD． 求证：BC=BD.
证明 连接CO、DO.
∵ AC=AD， ∴ ∠AOC=∠AOD. ∴ ∠COB=∠DOB. ∴ BC=BD.
2. 怎样运用三角板， 画出如图所示的圆形件表面上的 直径， 并标出圆心， 试说明理由. 答：将直角三角板的直角顶点放在圆上，则三角板的 两边与圆的交点的连线是圆的直径，直径的中点 即为圆心.理由是“90°的圆周角所对的弦是直径” .
结
束
例4 如图， 四边形ABCD为⊙O的内接四边形， 已知 ∠BOD 为100°， 求∠BAD 及∠BCD 的度数.
解 ∵ 圆心角∠BOD 与圆周角∠BAD 所对的弧 ︵ 为 BD ， ∠BOD = 100°，
1 1 ∴ ∠BAD = 2 ∠BOD = 2×100 = 50°.
∵ ∠BCD +∠BAD = 180°.
从而∠BOC=∠C+∠BAC=2∠BAC， 1 即 ∠BAC= 2∠BOC.
情形二
圆心在圆周角的内部. 如右图，圆心O在∠BAC的内部.
作直径AD，
根据情形一的结果得 ∠BAD = ∠DAC =
1∠BOD 2 1∠DOC 2
A
， .
D
从而∠BAC =∠BAD+∠DAC
1 (∠BOD+∠DOC ) = 2 ， 1∠BOC = 2 .
1 同理 ∠BAC = 2 ∠BOC= 35°.
练习
1.下图中各角是不是圆周角？请说明理由.
（1）
（2）
（3）
（ 4）
答：（1）、（2）是圆周角，（3）、（4）不是圆周角， 因（3）、（4）不满足圆周角定义，角顶点没在圆上.
2. 如图，在圆O中，弦AB与CD相交于点M. 若∠CAB = 25°， ∠ABD=95°， 试求∠CDB 和∠ACD 的度数. ACD与圆周角∠ABD所对的 解： ∵ 圆周角∠ ︵ 弧均为 AD，
本课内容 本节内容 2.2
圆心角、圆周角
——2.2.2 圆周角
观察下图中的∠BAC，可以发现它的顶点A在圆上， 它的两边都与圆相交，像这样的角叫作圆周角.
︵ ︵ 我们把∠BAC 叫作 BC所对的圆周角， BC叫作圆
周角∠BAC所对的弧.
圆周角在我们生活中处处可见，比如，我们 从共青团团旗上的图案抽象出如下图所示的图形， 该图形中就有许多圆周角.
情形三
圆心在圆周角的外部. 如图，圆心O在∠BAC的外部.
1 你能证明∠BAC= 2∠BOC吗？
结论
由此得到圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角 度数的一半.
动脑筋
︵ 如图，∠C1，∠C2，∠C3都是 AB 所对 的圆周角，那么∠C1 = ∠C2 =∠C3吗？
在下图中，连接AO，BO，则∠C1， ∠C2，∠C3所对弧上的圆心角均为∠AOB. 由圆周角定理，可知∠C1 = ∠C2 =∠C3.
∴ ∠ACD= ∠ABD= 95°.
同理 ∠CDB = ∠CAB= 25°.
3. 如图， 点A，B，C 在⊙O 上， AC∥OB. 若∠OBA=25°， 求∠BOC的度数.
解 ∵ AC∥OB，∠OBA=25°， ∴ ∠BAC= ∠OBA=25°.
BAC与圆心角∠BOC所对的 ∵ 圆周角∠ ︵ 弧均为 BC ，
3. 如图，圆内接四边形ABCD 的外角∠DCE = 85°， 求∠A 的度数. 解 ∵ ∠DCB+∠DCE=180°， ∴ ∠DCB=180°- ∠DCE=180°-85°=95°. 又∵ ∠A+∠DCB=180°， ∴ ∠A=85°. 这道题的结论是：圆内接四边形的外角 等于它的内对角.
中考 试题