一用三结点三角形平面单元计算平面结构的应力和位移
平面问题的有限元分析及三角形单元的应用
第八章 平面问题的有限元分析及三角形单元的应用第一节 概述分析弹性力学平面问题时，最简单的单元式由三个结点组成的三角形单元。
当用以分析平面应力问题时，可将其视为三角板；当用以分析平面应变问题时，则可式为三棱柱。
各单元在结点处为铰结。
图8-1所示位移悬臂梁离散为三角形单元的组合体以矩阵形式列出弹性力学平面问题的基本量和基本方程。
谈形体所受体力分量可表示为[]Tyxy x p p p p p =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡= (8-1)所受面力分量可表示为[]Tyxy x p p p p p =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡= （8-2）体内任一点应力分量可表示为[]T xy y x τδδδ= （8-3）任一点的应变分量可表示为[]T xy y x γεεε= （8-4）任一点的位移分量可表示为[]Tv u =δ （8-5）弹性力学平面问题的几何方程的矩阵表达式为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x u y v y v x u xy y x εεεε （8-6） 平面应力问题的物理方程的矩阵表达式为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡xy y x xy y x E γεεμμμμτσσ2100010112 （8-7）或简写成为 εσD = （8-8）式中⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=2100010112μμμμE D （8-9）称为弹性矩阵。
平面应变问题的物理方程也可写成式（8-8），但须将式（8-9）中的E 换成21μ-E，μ换成21μμ-，因此得出⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+-=)1(22100011011)21)(1()1(22μμμμμμμμμE D （8-10）平衡微分方程及边界条件也可以用矩阵表示，但弹性力学有限元位移法中，通常用虚功方程代替平衡微分方程和应力边界条件。
虚功方程的矩阵表达式为⎰⎰⎰⎰⎰***=+tdxdy tds p f ptdxdy f T T σε （8-11）式中：[]Tv u f ***=，表示虚位移；[]Txyx x ****=γεεε，表示与虚位移相对应的虚应变。
平面问题有限元法
第三章平面问题有限元法重庆大学机械工程学院一、平面单元一、平面单元矩形单元正方形单元二、三角形三节点单元2.1 单元位移模式xy{}(,,)Ti ii u v i j m δ ={}T TeTT T i j mi i j j m m u v u v u v δδδδ ==节点数:3；自由度自由度（（DOF ): 6节点位移节点位移：：单元位移单元位移：：二、三角形三节点单元三角形三节点单元位移模式123456u x y v x y αααααα=++=++(3-1)节点：i ()i i y x ,()i i v u ,节点：j ()j j y x ,()j j v u ,()m m y x ,()m m v u ,节点：m二、三角形三节点单元将三个节点的坐标和位移代入将三个节点的坐标和位移代入（（3-1），），得得ii i y x u 321ααα++=jj j y x u 321ααα++=mm m y x u 321ααα++=321ααα，，ii i y x v 654ααα++=j j j y x v 654ααα++=mm m y x v 654ααα++=654ααα，，二、三角形三节点单元mm m j j ji i iy x v y x v y x v A214=αmmmj j ji i i y x u y x u y x u A211=αm mj j i i y u y u y u A111212=αmm j ji i u x u x u x A111213=αmm j ji i y v y v y v A111215=αmm j j i i v x v x v x A111216=αmmj ji iy x y x y x A 1112=(3-2)二、三角形三节点单元将（3-2）代入代入（（3-1），），并整理并整理i i j j m m i i j j m m u N u N u N u v N v N v N v =++=++(3-3))(2111121y c x b a A y x y x yxAN i i i m mj ji ++==)(2111121y c x b a A y x y xy x AN j j j mmii j ++==)(2111121y c x b a A yxy x y x AN m m m j jiim ++==m j i N N N ,,称为形函数二、三角形三节点单元jm m j mmj j i y x y x y x y x a −==m i i m ii mmj y x y x y x y x a −==ij j i jji i m y x y x y x y x a −==mj mji y y y y b −=−=11im im j y y y y b −=−=11ji jim y y y y b −=−=11二、三角形三节点单元)(m j mj i x x x x c −−==)(11i m im j x x x x c −−==)(11j i jim x x x x c −−==二、三角形三节点单元将（3-3）写成矩阵形式：{}}}ee v uf =(3-4)形函数的性质1）形函数形函数在节点处的值为处的值为11，在其余节点处之值为零i N i≠==ij i j y x N j j i 01),((3-5)mj N N ,？？形函数的性质2）在单元内任一点的三个形函数之和等于在单元内任一点的三个形函数之和等于在单元内任一点的三个形函数之和等于11(3-6)1i j m N N N ++=3）在单元某一边上的形函数与第三个顶点的坐标无关形函数的性质0),(=y x N m )/()()/()(),(i j j i j j i y y y y x x x x y x N −−=−−=)/()()/()(),(i j i i j i j y y y y x x x x y x N −−=−−=在边上ij形函数的性质4）形函数在单元面积形函数在单元面积A A 上的二重积分之值上的二重积分之值，，等于高为等于高为11、底为底为A A 的三角锥的体积的三角锥的体积。
3-6 解题步骤
节点 坐标
１ ０ ０
２ １ ０
３ １ １
４ ０ １
x y
表4-1
1，2，3）
b2 y 3 y1 1 b3 y1 y 2 0
c1 x 2 x 3 0
1
c 2 x 3 x1 1
c 3 x1 x 2 1
K11 1 K K 21 K 31
K12 K 22 K 32
单元的刚度矩阵 K 表示为
2
K
2
K 22 K 42 K 32
K 24 K 44 K 34
K 23 K 43 K 33
2
对于单元
b2 y 4 y 3 1 0 1 c 2 x3 x 4 0 0 0 b4 y 3 y 2 0 1 1 c 4 x 2 x3 2 0 2 b3 y 2 y 4 1 1 0 c3 x 4 x 2 0 2 2
第四章 平面问题的有限元分析
例4-1 §4-7 计算实例
图示为一厚度t的均质长方形薄板，上下受均匀拉力q=106N/m ， 左端固定。材料弹性模量为E，泊松比 u，不记自重，试用有限元 法求其应力分量。
1、离散结构物
为了计算简单，划分为2个单元， 单元号和节点编号如图所示。
y 4 (0,1) ② 1m ① o 3 (0,0) 2m 1 (2,0) x t 2 (2,1)q (KN/m)
2
S
2
2
S2
S4
u 2 v 2 u 4 S3 v4 u 3 v3
一用三结点三角形平面单元计算平面结构的应力和位移讲解
一：用三结点三角形平面单元计算平面结构的应力和位移。
1，设计说明书计算简图，网格划分，单元及结点的编号如下图所示。
由于结构对称，去四分之一结构分析。
其中E=2e10pa,mu=0.167,h=1m.变量注释：Node ------- 节点定义gElement ---- 单元定义gMaterial --- 材料定义，包括弹性模量，泊松比和厚度gBC1 -------- 约束条件gNF --------- 集中力gk------------总刚gDelta-------结点位移子程序注释：PlaneStructualModel ———定义有限元模型SolveModel ———————求解有限元模型DisplayResults ——————显示计算结果k = StiffnessMatrix( ie )———计算单元刚度AssembleStiffnessMatrix( ie, k )—形成总刚es = ElementStress( ie )————计算单元应力function exam1% 输入参数：无% 输出结果：节点位移和单元应力PlaneStructualModel ; % 定义有限元模型SolveModel ; % 求解有限元模型DisplayResults ; % 显示计算结果return ;function PlaneStructualModel% 定义平面结构的有限元模型% 输入参数：无% 说明：% 该函数定义平面结构的有限元模型数据：% gNode ------- 节点定义% gElement ---- 单元定义% gMaterial --- 材料定义，包括弹性模量，泊松比和厚度% gBC1 -------- 约束条件% gNF --------- 集中力global gNode gElement gMaterial gBC1 gNF% 节点坐标% x ygNode = [0.0, 2.0 % 节点10.0, 1.0 % 节点21.0, 1.0 % 节点30.0, 0.0 % 节点41.0, 0.0 % 节点52.0, 0.0] ; % 节点6% 单元定义% 节点1 节点2 节点3 材料号gElement = [3, 1, 2, 1 % 单元15, 2, 4, 1 % 单元22, 5, 3, 1 % 单元36, 3, 5, 1]; % 单元4 % 材料性质% 弹性模量泊松比厚度gMaterial = [1e0, 0, 1] ; % 材料1% 第一类约束条件% 节点号自由度号约束值gBC1 = [ 1, 1, 0.02, 1, 0.04, 1, 0.04, 2, 0.05, 2, 0.06, 2, 0.0] ;% 集中力% 节点号自由度号集中力值gNF = [ 1, 2, -1] ;returnfunction SolveModel% 求解有限元模型% 输入参数：无% 说明：% 该函数求解有限元模型，过程如下% 1. 计算单元刚度矩阵，集成整体刚度矩阵% 2. 计算单元的等效节点力，集成整体节点力向量% 3. 处理约束条件，修改整体刚度矩阵和节点力向量% 4. 求解方程组，得到整体节点位移向量global gNode gElement gMaterial gBC1 gNF gK gDelta% step1. 定义整体刚度矩阵和节点力向量[node_number,dummy] = size( gNode ) ;gK = sparse( node_number * 2, node_number * 2 ) ;f = sparse( node_number * 2, 1 ) ;% step2. 计算单元刚度矩阵，并集成到整体刚度矩阵中[element_number,dummy] = size( gElement ) ;for ie=1:1:element_numberk = StiffnessMatrix( ie ) ;AssembleStiffnessMatrix( ie, k ) ;end% step3. 把集中力直接集成到整体节点力向量中[nf_number, dummy] = size( gNF ) ;for inf=1:1:nf_numbern = gNF( inf, 1 ) ;d = gNF( inf, 2 ) ;f( (n-1)*2 + d ) = gNF( inf, 3 ) ;end% step4. 处理约束条件，修改刚度矩阵和节点力向量。
现代设计方法试卷2及答案
2一、单项选择题1.内点罚函数法的特点是（ B ）A.能处理等式约束问题B.初始点必须在可行域内C.初始点可以在可行域外D.后面产生的迭代点序列可以在可行域外 2.对于一个无约束优化问题，若其一阶、二阶偏导数易计算，且设计变量不多（n ≤20）,宜选用的优化方法是 （ A ）A.拟牛顿法B.变尺度法C. 0.618法D.二次插值法3.函数()122212142,x x x x x F ++-=在()T X 2,3=处的梯度是（C ） A. ()T7,2- B. ()T3,2- C. ()T2,7- D. ()T2,34.设计体积500cm 3的圆柱形包装盒，按用材料最省的原则要确定其高度H 和直径D ，其设计变量是直径和( D )A.重量B.直径C.面积D.高度 5.试判别矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111，它是（ D ） A.单位矩阵 B.正定矩阵 C.负定矩阵 D.不定矩阵 6.正态分布中的标准差（ A ）A.表征随机变量分布的离散程度B.表征随变量分布的集中趋势C.决定正态分布曲线的位置D.影响正态分布曲线的对称性 7.机电产品的平均失效率()t λ，它表征了该产品工作时间到t 时刻后（ A ） A.单位时间内发生失效的概率 B.单位时间内发生失效的产品数 C.累积失效数与受试产品总数之比 D.累积失效数与仍正常工作的产品数之比 8.表示机电设备的一般失效曲线（浴盆曲线）中，偶然失效期的失效密度f(t)服从（ B ） A.威布尔分布 B.指数分布 C.正态分布 D.泊松分布9.采用三角形单元分析平面应力问题是，三角形单元内任意点的位移可以表示为结点位移的（ B ）A.矢量和B.线性组合C.代数和D.算术平均值 10.在平面三角形单元中，每个节点的位移分量个数为（ B ）A.1B.2C.3D.4 二、填空题11.单元刚度矩阵具有 对称性 、分块性和奇异性。
12.机电产品零件失效曲线分为三个区域，分别为：早期失效区域、 正常工作区域 和功能失效区域。
第6章——常应变三角形单元
[S1
S 2 S3 ]
ci 1-µ bi 2
bi E µb = Si DB = i i 2 A(1 − µ 2 ) 1-µ ci 2
µ ci
平面应变：用平面应变弹性矩阵代入得到类似结果。
22:42
有限单元法
崔向阳
16
单元应变和应力矩阵
由于同一单元中的D、B矩阵都是常数矩阵，所以S矩阵也是常 数矩阵。也就是说，三角形三节点单元内的应力分量也是常 量。 当然，相邻单元的E， µ， A和bi、ci(i，j，m)一般不完全相同， 因而具有不同的应力，这就造成在相邻单元的公共边上存在 着应力突变现象。但是随着网格的细分，这种突变将会迅速 减小。
m j
h
1 i U = ∫∫ (σ xε x + σ yε y + τ xyγ xy )hdxdy x 2 A 1 T T T T = ∫∫ σ T εhdxdy σ = ( D ε ) = ε D 2 A
−1
u1 u2 u 3
u ( x, y ) = {1 x
1 x1 y} 1 x2 1 x3
y1 y2 y3
−1
u1 u2 u 3
4
22:42
有限单元法
崔向阳
平面三角形单元
假设
{ N1
N2
N 3 } = {1 x
m 相邻单元的位移在公共边上是连续的 形函数在单元上的面积分和边界上的线积分公式为 i
j p
A ∫ ∫A Ni dxdy = 3
式中 lij 为 ij 边的长度。
Ni =1 i m j
22:42
1 ∫ij Ni dl = 2 lij
一 三节点三角形单元
有限元课程总结一 三节点三角形单元 1位移函数移函数写成矩阵形式为：确定六个待定系数矩阵形式如下：[]{}em m j j i i m jim j iN v u v u v u N N N N N N v u δ=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧000002 单元刚度矩阵的计算1）单元应变和节点位移的关系由几何方程可以得到单元的应变表达式，{}⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=m m j j i i m mjjiim j i m j i v u v u v u b c b c b c c c c b b b A x v y u y v x u 00000021ε⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧321111a a a y x y x y x u u u m m j j i i m j i ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧m j i m j i m j i m j i u u u c c c b b b a a a A a a a 21321⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧m j i m j i m jim ji 654v v v c c c b b b a a a A 21a a a2）单元应力与单元节点位移的关系[][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==i i i i i ii i b c c b c b A E B D S 2121)1(22μμμμμ),,;,,(21212121)1(4]][[][][2m j i s m j i r b b c c cb bc b c c b c c b b A Et B D B K s r s r sr s r s r s r s r s r s T r rs ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+-+-==μμμμμμμ3)单元刚度矩阵[][][][][][]Tm j iT m T j T i mm mj mi jm jj ji im ij ii e B B B D B B B tA K K K K K K K K K K ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=][][][][][][][][][3载荷移置1)集中力的移置如图3所示，在单元内任意一点作用集中力 {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=y x P P P图3由虚功相等可得，()()}{][}{}{}{**P N R TTe eTe δδ=由于虚位移是任意的，则 }{][}{P N R Te =2)体力的移置令单元所受的均匀分布体力为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=y x p ρρ}{由虚功相等可得，()()⎰⎰=tdxdy p N R T TeTe }{][}{}{}{**δδ⎰⎰=tdxdy p N R T e }{][}{ 3)分布面力的移置设在单元的边上分布有面力{}TY X P ],[=，同样可以得到结点载荷，⎰=s T e tdsP N R }{][}{4. 引入约束条件，修改刚度方程并求解1)乘大数法处理边界条件图3-4所示的结构的约束和载荷情况，如图3-7所示。
有限元课程问题汇总(完整版)(1)
1、有限元方法与传统力学方法的比较，有限元的一般概念及基本思路。
叙述有限元方法的基本步骤。
答：比较：运用有限元方法解决工程实际问题时，不管是简单结构或者是复杂的结构，其求解过程是完全相同的，由于每个步骤都具有标准化和规范性的特征，可以在计算机上进行编程而自行实现，这是常规解析方法无法实现的。
即技术核心所在就是采用分段离散的方式来组合出全场几何域上的试函数，而不是直接寻找全场上的试函数。
概念：有限元方法是求解各种复杂数学物理问题的重要方法，是处理各种复杂工程问题的重要分析手段，也是进行科学研究的重要工具。
该方法的应用和实施包括三个方面：计算原理、计算机软件、计算机硬件。
有限元方法的基本思路：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。
（在具备大规模计算能力的前提下，将复杂的几何物体等效离散为一系列的标准形状几何体，再在标准的几何体上研究规范化的试函数表达及其全场试函数的构建，然后利用最小势能原理建立起力学问题的线性方程组。
）有限单元法解题步骤：①结构的离散化，即单元网格划分；②选择位移模式；③分析单元的力学特征，利用几何方程导出结点位移表示的单元应变，利用本构方程建立单元内任意一点的应力与应变的关系，利用变分原理建立单元的平衡方程；④集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程（即总的平衡方程），包括将刚度集成总刚，以及将单元的等效结点力列阵集成总的荷载列阵；⑤求解结点位移和计算单元应力，包括边界条件修正；⑥解方程，得到未知问题的节点值；⑦后处理。
2、掌握位移函数和形函数的概念，掌握二者之间的关系。
答：位移函数：是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数，由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须事先设定位移函数。
在弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。
平面三角形3节点有限元程序
平面三角形３结点有限元程序1、程序名：，2、程序功能本程序能计算弹性力学的平面应力问题和平面应变问题；能考虑自重和结点集中力两种荷载的作用，在计算自重时y轴取垂直向上为正；能处理非零已知位移，如支座沉降的作用。
主要输出的内容包括：结点位移、单元应力、主应力、第一主应力与x轴的夹角以及约束结点的支座反力。
程序采用Visual Fortran 编制而成，输入数据全部采用自由格式。
3、程序流程及框图图１-1 程序流程图图１-2 程序框图其中，各子程序的功能如下：INPUT——输入结点坐标、单元信息和材料参数；MR——形成结点自由度序号矩阵；FORMMA——形成指标矩阵MA（N）并调用其他功能子程序，相当于主控程序；DIV——取出单元的3个结点号码和该单元的材料号并计算单元的b i，c i等；MGK——形成整体劲度矩阵并按一维存放在SK（NH）中；LOAD——形成整体结点荷载列阵F；OUTPUT——输出结点位移或结点荷载；TREAT——由于有非零已知位移，对K和F进行处理；DECOMP——整体劲度矩阵的分解运算；FOBA——前代、回代求出未知结点位移δ；ERFAC——计算约束结点的支座反力；KRS——计算单元劲度矩阵中的子块K rs。
4、输入数据及变量说明当程序开始运行时，按屏幕提示，键入数据文件的名字。
在运行程序之前，必须根据程序中输入要求建立一个存放原始数据的文件，这个文件的名字由少于8个字符或数字组成。
数据文件包括如下内容：⑴总控信息，共一条，9个数据NP，NE，NM，NR，NI，NL，NG，ND，NCNP——结点总数；NE——单元总数；NM——材料类型总数；NR——约束结点总数；NI ——问题类型标识，0为平面应力问题，1为平面应变问题；NL ——受荷载作用的结点的数目；NG ——考虑自重作用为1，不计自重为0；ND ——非零已知位移结点的数目；NC ——要计算支座约束反力的结点数目。
⑵ 材料信息，共NM 条，每条依次输入EO ，VO ，W ，tEO ——弹性模量（kN/m 2）；VO ——泊松比；W ——材料容重（kN/m 3）；t ——单元厚度（m ）。
算例分析(1)
一、平面3节点三角形单元分析的算例如图所示为一矩形薄平板，在右端部受集中力F =10000N 作用，材料常数为：弹性模量7110E Pa =⨯、泊松比13μ=，板的厚度为0.1t m =，试按平面应力问题计算各个节点位移及支座反力。
解：（1） 结构的离散化与编号对该结构进行离散，单元编号及节点编号如图4-20(b)所示，即有二个3节点三角形单元。
载荷F 按静力等效原则向节点1、节点2移置等效。
节点位移列阵：[]11223344Tq u v u v u v u v =节点外载列阵：00000022TF F F ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦约束的支反力列阵：33440000Tx y x y R R R R R ⎡⎤=⎣⎦其中33(,)x y R R 和44(,)x y R R 分别为节点3和节点4的两个方向的支反力。
（2） 各个单元的描述当两个单元取图示中的局部编码(i ,j ,m )时，其单元刚度矩阵完全相同，即(1),(2)ii ij im ji jj jm mi mjmm k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=（3） 建立整体刚度方程按单元的位移自由度所对应的位置进行组装可以得到整体刚度矩阵，该组装过程可以写成(1)(2)k k k =+具体写出单元刚度矩阵的各个子块在总刚度矩阵中的对应位置如下代入整体刚度方程Kq =P 中，有（4） 边界条件的处理及刚度方程求解该问题的位移边界条件为33440,0,0,0u v u v ====，将其代入上式中，划去已知节点位移对应的第5行至第8行（列），有由上式可求出节点位移如下[]1122[] 1.888.99 1.508.42TT F u v u v Et=--- （5） 支反力的计算将所求得的节点位移式代入总刚度方程中，可求得支反力如下3112924()23233x Et R u v v F =--+=- 31129214()0.0732333y Et R u v u F =--+=-42292()2323x Et R u v F =--=422921() 1.073233y Et R u v F =--=二、MATLAB —平面3节点三角形单元分析的算例(Triangle2D3Node)解：（1） 结构的离散化与编号将结构离散为二个3节点三角形单元，单元编号及节点编号如图4-20(b)所示。
现代设计方法4-3 三角形三节点平面单元概要
单元分析的步骤：
节点 (1) 位移
单元内部 各点位移
(2)
单元 (3) 应变
单元 应力
(4)
节点 力
单元分析
2.1 由节点位移求单元内部任一点位移
(1) 单元位移模式
有限元法中，通常采用位移法进行计算，即取节点的位移分量
{a }=[L]{d }e
为三角形单元面积。
1 1 A 1 xj yj 2 2 1 xm ym 1 xi yi
1 ( x j ym xm yi xi y j xm y j xi ym x j yi ) 2
将a写成矩阵形式，有{a }=[L]{d }e
ai b i 1 ci L 0 2 0 0 0 a j 0 am 0 0 b j 0 bm 0 0 c j 0 cm 0 ai 0 a j 0 am bi 0 b j 0 bm ci 0 c j 0 cm
ui xi xj xm yi yj ym
ui 1 xi u j 1 x j u 1 x m m
1 ui yi yj ym
yi a1 yj a 2 a ym 3
1 xi ui
(a)
1 a1 uj A um
v ( x, y ) 0
a1 a 2 x y 0 0 0 a 3 (4.23) m ( x , y ) a a 0 0 1 x y 4 a 5 a 6
(2) 由单元节点位移{d }e求位移参数{a }
4.3 平面问题的有限单元法
数值模拟：第五讲 平面问题(二)——三角形单元分析
2) 单元刚度方程和单元刚度矩阵的建立是单元分析的核心内容。
3) 一般情况下，单元应变矩阵是坐标的函数矩阵，所以单元刚度矩 阵的计算需要进行积分运算。
4) 所建立的单元刚度矩阵反映了一般弹性体小单元近似的弹性性质， 是单元特性的核心。
.
• 单元刚度矩阵的计算
➢ 弹性力学平面问题的单元刚度矩阵通式：Fra bibliotekllm
s2llm
3）形函数在单元上的积分：
Ni(x,y)dxdy
A 3
(i l,m,n)
.
5.2.4 单元应变和应力
• 已知节点位移插值形式的单元位移模式：
u v
N
e
• 代入平面问题几何方程（应变~位移关系）得到单元应变：
xxyy 0x
0
y uv 0x
0 yN 0l
0 Nl
（简单三角形单元的形函数只有2个独立）
.
➢ 性质3（推论）：简单三角形单元的形函数在边界上的性质。 某节点的形函数在该点邻边上呈线性分布，取值在0~1之间， 在该点对边上值为零。
简单三角形单元形函数的几何意义
❖ 由形函数表达式和性质1可画出下列形函数几何图形。
.
❖ 根据位移模式表达式及其形函数的性质，可以推断出两个相邻 三角形单元上位移分布形状和公共边界上位移的情况：
.
• 针对三节点三角形单元，可以导出单元形函数 的下列性质。
➢ 性质1：单元上某节点的形函数在该节点的值为1，在其它节点 的值为零。
N l ( xl , yl ) 1 N l (xm , ym ) 0 N l (xn, yn ) 0
(l，m，n)
➢ 性质2：单元上所有形函数之和等于1。
Nl NmNn1
结构力学试题
结构力学 试 题（A ）一．是非题（将判断结果填入括弧：以O 表示正确，X 表示错误）（本大题分4小题，共11分） 1 . (本小题 3分)图示结构中DE 杆的轴力F NDE =F P /3。
（ ）.2 . (本小题 4分)用力法解超静定结构时，只能采用多余约束力作为基本未知量。
（ ） 3 . (本小题 2分)力矩分配中的传递系数等于传递弯矩与分配弯矩之比，它与外因无关。
（ ） 4 . (本小题 2分)用位移法解超静定结构时，基本结构超静定次数一定比原结构高。
（ ）二．选择题（将选中答案的字母填入括弧内）（本大题分5小题，共21分） 1 （本小题6分）图示结构EI=常数，截面A 右侧的弯矩为：（ ）A ．2/M ；B ．M ；C ．0； D. )2/(EI M 。
2. （本小题4分）图示桁架下弦承载，下面画出的杆件内力影响线，此杆件是：（ ） Ａ.ch ; B.ci; C.dj; D .cj .F p /2M2a2a a aa aA F p /2F p /2 F p /2F p F pa a aa F PED3. (本小题 4分)图a 结构的最后弯矩图为：A. 图b;B. 图c;C. 图d;D.都不对。
（ ）( a) (b) (c) (d) 4. (本小题 4分)用图乘法求位移的必要条件之一是： A.单位荷载下的弯矩图为一直线； B.结构可分为等截面直杆段； C.所有杆件EI 为常数且相同； D.结构必须是静定的。
( ) 5. （本小题3分）图示梁A 点的竖向位移为（向下为正）：( ) Ａ．F P l 3/(24EI ); B . F P l 3/(!6EI ); C . 5F P l 3/(96EI ); D. 5F P l 3/(48EI ).三（本大题 5分）对图示体系进行几何组成分析。
A l /2l /2 EI2EIF Pa d c eb fgh iklF P =11j llM /4 3M /4M /43M /43M /4M /4M /8 M /2EIEIM四（本大题 9分）图示结构B 支座下沉4 mm ，各杆EI=2.0×105 kN ·m 2，用力法计算并作M 图。
现代设计方法4-3 三角形三节点平面单元
[m(x,y)][L]10
x 0
y 0
0 1
0 x
0y21c0i
0 ai
cj 0
0 aj
cm 0
0 am
0
bi
0 ci
0 bj 0 cj
0 bm 0 cm
N i( 0 x ,y )N i( 0 x ,y )N j( 0 x ,y )N j( 0 x ,y )N m ( 0 x ,y )N m ( 0 x ,y )
N i(x,y)2 1 (a ib ixciy)1b x
1
y
N j(x,y)2 (aj b jx cjy) 1 a
N m (x ,y ) 2 1 (a m b m x c m y ) 1 b x a y
精品课件
[N ] 1b x 0
0 1x
1y 0 a
0 1y
(1xy) ba 0
0
1
1 A
ui uj
xi xj
yi yj
1
2
1 A
1
ui uj
yi yj
1
3
1 A
1
xi xj
ui uj
um xm ym
1 um ym
1 xm um
(b)
1 xi yi A 1 xj yj
其中，
1 x y精品课件
m
m
对v同理可列出a4、a5、a6的方程 ：
vi = a4+a5 xi+a6 yi
ci bi
(i, j, m)
2.3 由单元节点位移求单元的应力
物理方程
{s }=[D]{e}
而
{e }=[B]{d}e
{s } = [D][B]{d }e
简支梁的有限单元法分析-三角形三节点单元
u x x v y y xy u v y x
B
e
1 Ni ( x, y ) (ai bi x ci y ) 2A
（i , j , m）
y j (0,2 )
x
m (0,0 ) i (2,0 )
三角形三节点单元
代入[D],[B]得三角形单元的单元刚度矩阵：
1 4 0 0 2 Et e [k ] 1 m2 m 4 1 4 m 4 对 1 m 8 1 m 8 0 1 m 8 1 m 8 称 1 m 8 0 1 m 8 1 m 8 1 4 3 m 8
简支梁的有限单元法分析
三角形三节点平面单元
王 峰
有限元分析的基本步骤：
结构离散化
单元分析
整体分析
1 结构离散化
图示为简支梁，梁的厚度为t，泊松比m =0.3，弹性 模量为E=2e+5Mpa，用三节点三角形单元进行离散， 直角三角形边长为2。
2 单元分析
单元分析的主要内容：由节点位移求内部任一点的
边长度，t为单元厚度。 单元等效节点荷载为 P
e
ql0t T 0 1 0 0 0 1 2
j
结点 编号
1 51 ... 2 102 53 52 ... ... 561 ... 511
将单元节点荷载集成为结构的节点荷载列阵[P]
结点载荷列阵
2 4 6 102 104 1122
同理
k11 K 2 n i 1 , 2 n i 1
k32 K 2 n j 1 , 2 n i
三角形三结点单元的主要方程
三角形三结点单元的主要方程1. 引言三角形三结点单元是计算机辅助工程分析中常用的一种有限元单元。
它是用来近似描述连续介质中的物理现象的数学模型。
本文将详细介绍三角形三结点单元的主要方程，包括几何方程、运动方程和应力-应变关系。
2. 几何方程在三角形三结点单元中，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述节点和网格。
假设我们有一个三角形单元，其中有3个节点A、B和C。
每个节点都有一个唯一的坐标(x, y)，其中x和y分别表示节点在水平和垂直方向上的位置。
对于任意一个位于该三角形内部的点P，我们可以使用重心坐标法来表示其位置。
重心坐标法将P表示为A、B和C之间线性组合的形式：P = αA + βB + γC其中α、β和γ是与P相关联的重心坐标。
根据几何关系，重心坐标满足以下条件：α + β + γ = 1这个条件保证了点P在ABC所定义的平面内。
3. 运动方程在弹性力学中，运动方程描述了物体的运动行为。
对于三角形三结点单元，我们可以使用几何方程来推导运动方程。
假设我们有一个在三角形单元内部的点P，其位移场可以用位移向量u表示。
根据几何方程，我们可以将位移向量u表示为：u = αuA + βuB + γuC其中uA、uB和uC分别是节点A、B和C的位移向量。
将上式代入运动方程中，得到：ε = B * u其中ε是应变张量，B是应变-位移矩阵。
应变-位移矩阵B是一个3x2的矩阵，其表达式为：B = [∂N1/∂x ∂N1/∂y ∂N2/∂x ∂N2/∂y ∂N3/∂x ∂N3/∂y]其中Ni是节点i的形状函数。
根据胡克定律，应力张量σ与应变张量ε之间存在线性关系：σ = D * ε其中D是弹性模量矩阵。
对于平面应力问题，弹性模量矩阵D的表达式为：D = [λ+2μ λ 0 λ λ+2μ 0 0 0 μ]其中λ和μ分别是Lamé常数。
4. 应力-应变关系根据运动方程和应力-应变关系，我们可以得到三角形三结点单元的主要方程：σ = D * B * u这个方程描述了节点位移与应力之间的关系。
有限单元法平面问题例题
把μ＝0，t＝1m，代入单元的刚度矩阵，得两种单元的刚度矩阵k都是：
0.5 0
0 0 0.5 0
0
0.25 0.25
0 0.25 0.25
0 0.25 0.25 0 0.25 0.25
k E
0
0
0
0.5
0
0.5
0.5 0.25 0.25 0 0.75 0.25
0 0.25 0.25 0.5 0.25 0.75
F L ( 100000 )
精选ppt
32
平面有限元解法——求解整体结点载荷列阵
求解化简后的整体刚度矩阵： K FL
0.5 0.5 0 0 0 0.5 1.5 0.25 0.5 0.25
0 v1 1
0
v2
0
0
E
0
0.25 1.5 0.5 0.25
0.25 0.5 1.5 0.25
0 0
17
3 单元分析
精选ppt
18
3 单元分析
精选ppt
19
3 单元分析
3.6 推导内部任意一点应力和结点位移的转换关系 平面应力的弹性矩阵为
精选ppt
20
3 单元分析
把D、B矩阵代入公式即可应力转换矩阵S
精选ppt
21
3 单元分析
3.7 得到单元刚度矩阵 把B和D矩阵代入
对3结点三角形，可以简化为
(37’)
将上式中各子块的具体数值代入整体刚度矩阵K表达式中，得出整体刚度矩阵。
精选ppt
27
4 整体刚度矩阵
整体刚度矩阵K
0.25 0 0.25 0.25 0 0.25 0
0
0
0 0 00Biblioteka 0.500.5
有限元平面问题
平面应力 H =
（5）单元刚度方程
K e ⋅ δ e = Pe
讨论1：平面三节点三角形单元的节点位移和 坐标变换
由于该单元的节点位移是以整体坐标系中的X方向位移（ui）和Y 方向位移（vi）来定义的，所以没有坐标变换的问题。
讨论2：平面三节点三角形单元的应变矩阵和应力矩 阵为常系数矩阵
单元的位移场为线性关系，由几何函数矩阵Be可知，由于△ 是常系数，因而Be、Se为常系数矩阵，不随X、Y的变化， 即这种单元在单元内任意一点的应变和应力都相同，因此， 三节点三角形单元称为常应变单元。在应变梯度较大的部 位，单元划分应适当密集，否则将不能真实反映应变的变化 而导致误差较大。
由节点位移条件可求得待定系数：
1 a1 = uj xj yj 2Δ um xm ym 1 a3 = 1 xj uj 2Δ 1 xm um 1 xi ui
ui xi yi
1 a2 = 1 uj yj 2Δ 1 u m ym 1 xi yi 2Δ = 1 x j y j 1 xm ym
1 ui
yi
1 a4 = vj xj yj 2Δ vm xm ym 1 a6 = 1 xj vj 2Δ 1 xm vm 1 xi vi
第四章
连续体平面问题
杆梁结构系统由于本身存在有自然的连接关系 即自然节点，所以他们的离散化均叫做自然离 散，这样的计算模型对原始结构具有很好的描 述，而连续体结构不同，它本身内部不存在有 自然的连接关系，而是以连续介质的形式进行 物质间的相互关联，所以，必须人为地在连续 体内部和边界上划分节点，以分片（单元）连 续的形式来逼近原来复杂的几何形状，这种离 散过程叫做逼近性离散。
N（x,y）为形状函数：
⎡ Ni 0 N j 0 N m 0 ⎤ N ( x, y ) = ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 0 Ni 0 N j 0 N m ⎥ ⎦
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。