概率论初步知识介绍

案例：两家供货商（A!,A2)质量等级问题描述
A1
(0.65 ) A2
(0.35 )
G(0.98 ) B(0.02 )
G(0.95 ) B(0.05 )
P(A1G)=P(A1)P(G/A1) P(A1B)=P(A1)P(B/A1) P(A2G)=P(A2)P(G/A2)
P(A2B)=P(A2)P(B/A2)
▪ 排列
从n个不同对象中抽取r个（r<n）进行有序放置称为排 列。若n=r叫全排列。

=n(n-1)···(n-r+1)

=
▪ 组合计数法则 不考虑顺序，从n个对象中每次抽取r个进行组合， 组合方法有
组合计数法则的特征是不考虑抽样排序 例如：质量检查人员从5个零件中随机抽取两个进行 检验，共有多少种抽法。
• 1、如果提高产品价格，则销售下降的“机会”有多少？ • 2、某种新的装配方法会有多大的“可能性”提高生产率？ • 3、某项工程按期完成的“可能”有多大？ • 4、新投资赢利的机率有多大？
• 解决这些不确定性问题的最有效的方法是建立概率这一概 念基础上的。
• 概率是某事件将会发生的可能性的一种数量测度。因此概 率可以用来测量上述4个事件不确定性的程度。
• 概率的特点
事件发生可能性递增
概率
0.5
1.0
事件是否发生的可能性均等
第二节 概率的定义
• 古典概率的定义 • 概率的统计定义 • 主观概率的定义
一、古典概率的定义
一项试验，如果只有有限种试验结果n，并 且每一种试验出现的可能性相同，而事件A 是由其中的m个结果所组成，那么就说事件 A出现的概率是m/n,记为：
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An) 。
案例：美国某警察局问题
▪ 共有警察1200人，男性960人，女性240人，过去两年 中，男性提升288人，女性提升36人（共提升324人）
▪ 判断：是否有性别歧视。
升职信息表
男性（M）
女性(W)
合计
提升人
288
数
未提升
672
人数
合计
960
36
0.15
0.10
0.15
0.80
0.15
0.03
要求计算后验概率：1）病人有症状S1
2)病人有症状S2
3）病人有症状S3
3、事件等
若A B且B A，则A和B相等，记作A=B。
三、事件的关系
4、事件和(并)
若事件A与B至少有一个发生这一事件，称为A与B的 和(并)。记作A∪B若A、B互斥，则记为A+B。
5、事件积(交)
事件A与B同时发生这一事件，称为A与B的交。记作 A∩B或AB。
6、事件差
例如：连续抛掷两枚硬币，结果为：
正
（正，正
正
）
反
（正，反 ）
正
（反，正）
反
反
（反，反）
例：进度控制中的树形图
肯塔基电力公司（KP&P）进度树形图 （2，6）
（2，7）
（2，8） （3，6）
（3，7）
（3，8） （4，6）
（4，7）
（4，8）
2.组合计数法则
▪ 阶乘
n!=n(n-1)(n-1)…3·2·1
一、概率的加法定理
2、相容事件的加法定理
如果事件A、B同时出现，则事件A和事件B称为联合事件 ,记为AB。两个相容事件A与B之和的概率为：
P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB) [例] 投资房地产赚钱的概率是0.7，投资电脑软件业的
成功率是0.8，同时投资的成功率是0.6，问投资二者中 至Hale Waihona Puke Baidu一种赚钱的概率为多少？ 解：P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB)=0.7+0.80.6=0.9
事件A发生而B不发生这一事件称为A与B之差。记作 A-B或 。
三、事件的关系
7、事件逆
样本空间S与事件A之差，即S-A这一事件称为A的逆 事件、对立事件或互补事件。记作 。
8、互斥事件
如果两个事件A与B不可能同时发生，则称A与B互不 相容事件，或称为互斥事件,记作AB=Φ。
在我们的生活中会面临许多不确定性的决策问题
练习：医生分析后得出病人得两类疾病D1,D2的先验概率
P(D1)=0.60,P9D2)=0.40;疾病伴随一定的症状（S1,S2或者 S3),并知道每一症状出现的概率P(s1)=0.41,P(S2)=0.12,
P(S3)=0.102,及以下信息：
先验概率 D1(0.6) D2(0.4)
S1
S2
S3
分配概率的基本要求
▪ 每种试验结果分配到的概率在0和1之间 ▪ 所有试验结果的概率之和必须等于1。
P(E1)+P(E2)+…….+P(En)=1
第三节 概率的基本运算法则
• 概率的加法定理 • 概率的乘法定理
一、概率的加法定理
1、互斥事件的加法定理
若AB=Φ,P(AB)=0,且P(A+B)=P(A)+P(B) 一般，若A1,A2,…,An中任取两两事件均互不相容
P(AB)=P(A)·P(B|A)=P(B)·P(A|B)
二、概率的乘法定理
3、相容事件边缘概率
相容事件的边缘概率等于包括单一事件出现的那些联 合概率的总和。即：
其中，ΣBi=S是必然事件，BiBj=Φ。
二、概率的乘法定理
4、独立事件的概率
事件A、B独立 P(AB)=P(A)·P(B) 一般，若A1,A2,…,An两两相互独立
324
204
876
240
1200
由上表得出概率信息 ✓ P(MY)=288/1200=0.24 ✓ P(MN)=6721200=0.56 ✓ P(WY)=361200=0.03 ✓ P(WN)=2041200=0.17 联合概率分布及边缘概率为
男性（M） 女性(W)
提升（
0.24
0.03
Y）
未提升
B=B(A1+A2+…+An)=BA1+BA2+…+ BAn
第四节 全概率公式和Bayes定理
二、Bayes定理—Bayes决策的基础
若存在一个完整的和互斥的事件A1,A2,…An的集合， 事件Ai中的某一个事件的出现是另外一个事件B发生的 必要条件。P(B|Ai)和先验概率P(Ai)是已知的。给定 B已发生，事件Ai的后验概率为：
，则有 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(A
n) [ [例] 100件产品中有70件一等品，25件二等品，5
件废品。问任抽1件产品是h合格品的概率是多少？ KP&P公解司：案例：十个月完工的概率是多少？
P(A∪B)=工P期(超A)过+十P(个B月)=的7概0率/1是0多0+少2？5/100=0 .95
工程项目 6 6 2 4 8 2 2 4 6
样本点概率 0.15 0.15 0.05 0.10 0.20 0.05 0.05 0.10 0.15
三、主观概率的定义
统计定义的缺陷在于需要大量的重复实验，但 有些实验或不可能重复进行（如社会经济现象、 政治变革等。如俄国革命、文革）或代价太昂贵 等，因此就以有理智和经验丰富的专家对某一事 件进行的主观判断作为其发生的概率。
注释：G表示零件质量优良；B表示零件质量糟糕
两家供货商(A1,A2)质量等级分析：
▪ P(G/A1)=0.98 P(B/A1)=0.02 ▪ P(G/A2)=0.95 P(B/A2)=0.05 ▪ P(A1,G)=P(A1)P(G/A1)=0.65*0.98=0.6370 ▪ P(A1,B)=0.0130 ▪ P(A2,G)=P(A2)P(G/A2)=0.35*0.95=0.3325 ▪ P(A2,B)=0.0175 ▪ 购买零件后发现质量问题，来自A1或A2的概率为 ▪ P(A1/B)=0.4262 P(A2/B)=0.5738
练习：p149,34
第四节 全概率公式和Bayes定理
• 全概率公式
• Bayes定理—Bayes决策的基础
概率修正过程
后验概率
Bayes定理
新信息
先验概率
第四节 全概率公式和Bayes定理
一、全概率公式
设A1,A2,…,An是一个完备事件组，事件B仅 当完备事件组中任意事件Ai(I=1,2,…,n)发生 时才能发生，且P(Ai)>0，则有
抛硬币
正面，反面
抽取一个零件检查
合格，不合格
踢足球
赢，输，平局
一、概率基本概念
2、随机试验必须满足的三个条件
（1）试验可以在相同的条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的。并且不止一 个；
（3）每次试验总只出现这些可能结果中的一个，试验 之前不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
3、随机事件
0.56
0.17
(N)
合计
0.80
0.20
合计 0.27 0.73 1.00
计算及结论：
▪ P(Y/M)=288/960=0.30 ▪即：P(Y/M)=P(MY)/P(M)=0.24/0.8=0.30 同理： P(Y/W)+P(YW)/P(W)=0.03/0.2=0.15 结论：女性提升率明显偏低。
概率论初步知识介绍
第三讲 概率知识回顾
第一章 概率论初步
第一节 基础概念
• 随机试验和随机事件 • 样本空间 • 事件的关系 • 计数法则
一、概率基本概念
1、随机试验

在讨论概率时，我们定义试验为产生结果的任何过
程。
随机试验是指从某一研究目的出发，对随机现象进行观察
均试称验为。
试验结果
加法定理举例： ▪ 小型装配线工厂业绩评价：50名雇员 ▪ 5人未及时完成工作，6人产品中有次品，2人未及时 完成且出现次品。 ▪ 未按时完成任务定义为实践L，有次品定义为事件D ▪ P(L)=5/50=0.1 ▪ P(D)=6/50=0.12 ▪ P(LD)=2/50=0.04 ▪ 工人被认为低业绩等级的概率为： ▪ P(L+D)=P(L)+P(D)-P(LD)=0.18
ABCDE AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE
三、事件的关系与概率
1、必然事件和不可能事件
必然事件是指在每一次试验中必然出现的结果。最常 见的必然事件是样本空间S；不可能事件是指在每一 次试验中不可能出现的结果。
2、事件包含
若A发生 B发生，则事件A含于事件B,或事件B包 含事件A。记为A B。
二、概率的乘法定理
1、相容事件的条件概率
在事件A出现的条件下，事件B出现的概率，或者事件B出 现的情况下A出现的概率。用P(A|B)表示。

P(AB)是事件A、B同时发生的概率； P(A)和P(B)是事件A或B的边缘概率。
二、概率的乘法定理
2、相容事件的联合概率
由条件概率可知，在一次实验中事件A与事件B同时 出现的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一 事件出现下的条件概率的乘积。即：
P(A)=m/n
各种试验结果发生的可能性均相 等
二、概率的统计定义（试验概率 ）

对于试验中其结果的出现并不具等可能性时，
可用通过大量观察或重复实验的方法求出事件的频
率，再根据频率随实验次数变化的趋势来确定概率
的方法，就是概率的统计定义。
例：KP&P公司40项工程资料
样本点
（2，6） （2，7） （2，8） （3，6） （3，7） （3，8） （4，6） （4，7） （4，8）
一、基本概念
6、基本事件、基本事件组、复合事件
✓ 随机事件的每一个可能结果称为基本事件（不可再分） ；
✓ 所有基本事件的全体称为基本事件组；
✓ 若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件。
✓ 例如：一张红颜色的扑克牌
✓
一张红色A.
二、计数法则
1.多步骤试验（乘法原理）：如果一个试验有K个步骤，第一 步有n1个可能结果，第二步有n2个可能结果，如此等等，试验 结果的总数就是（n1)(n2)….(nk)
随机试验中可能出现或可能不出现的事件称为随机事件 。
一、概率基本概念
4、样本空间
试验所有可能的结果所组成的集合，称为样本空 间，常用S表示。若样本空间有k个可能结果组成， 则可记为S={w1,w2,…wk}。
5、样本点
随机试验的每一个可能结果。可用只包含一个元素w的 单点集{w} 表示，称为样本点。