数学规划模型清华大学

第十讲非线性规划一运筹学清华大学林谦

·凸函数：定义在凸集上的函数f(X)称为凸函数，条件是对于每一对x1，x2及每一个a，0≤a≤1存在：
f(ax1+(1－a)x2)≤a f(x1)+1(1－a)f(x2)
上式中，若≤变为<，则称为严格凸函数。
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Prof. Wang School of Economics & Management
B) 对于所有d，则dT▽2 f(X*)·d≥0
ii)判断极小点的充分条件
命题（二阶充分条件——无约束）：设f(X)C2 是定义在以X*为内点的一个区域上的函数，若
A) ▽f(X*)=0 B) Hess阵H(X*)正定（或负定）
则X*是f(X)的严格极小点（或极大点）
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目标函数约束条件
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max：f(X) =30x1+450x2
0.5x1+2x2+0.25x22≤800
x1≥0，x2≥0
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Operations Research
第二十一讲
§2 非线性规划的数学模型及特点（1）
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Operations Research
第二十一讲
§4 非线性规划求解方法分类（1）
1．一维最优化 ①斐波那契（Fibonacci）法 ②黄金分割法（0.618法） ③牛顿法（切线法） ④抛物线逼近法 ⑤成功和失败法

清华大学_运筹学_教案

一、课程概述课程名称：运筹学授课对象：清华大学经管学院管理科学与工程专业研究生授课时长：共16周，每周2学时教学目标：1. 理解运筹学的基本概念、原理和方法。

2. 掌握线性规划、整数规划、非线性规划等运筹学的基本模型和求解方法。

3. 培养学生运用运筹学解决实际问题的能力。

4. 提高学生的逻辑思维、分析问题和创新能力。

二、教学内容与安排第1-2周：运筹学的基本概念与数学基础1. 运筹学的基本概念、发展历程及应用领域。

2. 数学基础：线性代数、概率论与数理统计。

第3-4周：线性规划1. 线性规划的基本概念、数学模型与标准形式。

2. 线性规划的求解方法：单纯形法、对偶理论。

3. 线性规划的应用实例。

第5-6周：整数规划1. 整数规划的基本概念、数学模型与标准形式。

2. 整数规划的求解方法：分支定界法、割平面法。

3. 整数规划的应用实例。

第7-8周：非线性规划1. 非线性规划的基本概念、数学模型与标准形式。

2. 非线性规划的求解方法：梯度法、牛顿法、共轭梯度法。

3. 非线性规划的应用实例。

第9-10周：网络优化1. 网络优化的基本概念、数学模型与标准形式。

2. 网络优化的求解方法：最短路径法、最小生成树法、最大流问题。

3. 网络优化的应用实例。

第11-12周：动态规划1. 动态规划的基本概念、数学模型与标准形式。

2. 动态规划的求解方法：动态规划表、状态转移方程。

3. 动态规划的应用实例。

第13-14周：排队论1. 排队论的基本概念、数学模型与标准形式。

2. 排队论的求解方法：泊松过程、排队系统分析。

3. 排队论的应用实例。

第15-16周：案例分析1. 结合实际案例，分析运筹学在各个领域的应用。

2. 学生分组讨论，撰写案例分析报告。

三、教学方法与手段1. 讲授法：系统讲解运筹学的基本概念、原理和方法。

2. 案例分析法：通过实际案例，让学生理解运筹学的应用。

3. 讨论法：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的思考能力。

2015年清华大学826运筹学与统计学

2015年清华大学826运筹学与统计学（数学规划、应用随机模型、统计学各占1/3）考研复习参考书科目：826 运筹学与统计学（数学规划、应用随机模型、统计学各占1/3）参考书：《运筹学（数学规划）（第3版）清华大学出版社，2004年1月 W.L.Winston《运筹学》（应用随机模型）清华大学出版社，2004年2月 V.G. Kulkarni 《概率论与数理统计》（第1～9章）高等教育出版社，2001年盛聚等考研复习方法，这里不详细展开。

简单归纳为：新祥旭考研提醒：首先，清楚考试明细，掌握真题，真题为本。

通过真题，了解和熟知：考什么、怎么考、考了什么、没考什么；通过练习真题，了解：目前我的能力、复习过程中我的进步、我的考试目标。

提醒一句：千万不要浪费大量时间做不相关的模拟题；千万不要把考研复习等同于做题目，搞题海战术。

其次，把握参考书，参考书为锚。

弄懂、弄熟。

考研复习如何才能成功？借用《卖油翁》里的一句话，那就是：手熟而已。

明确考试之后，考研就基本上是一个熟悉吃透的过程。

无论何时，参考书第一，不能轻视。

所以，千万不要本末倒置，把做题凌驾于看书之上。

如何才叫熟悉？我认为，要打破“讲速度，不讲效率”的做法，看了多少遍并不是检验熟悉与否的指标，合上书本，随时自我检测，能否心中有数、一问便知，这才是关键。

再次，制定计划，合理分配时间。

不是每一本参考书都很重要，都一样重要，所以，在了解真题的基础上，要了解每一本书占多少分，如何命题考试，在此基础上，每一本参考书的主次轻重、复习方略也就清楚了，复习才不会像开摊卖药，平均用力。

一个月制定一份计划书，每天写一句话鼓励自己，一个月调整一次复习重点，这都是必要的。

最后，快乐复习。

考研复习是以什么样状态进行的，根源在于能否克服不良情绪。

第一，报考对外汉语，你是因为喜欢这个专业吗？如果是，那么，就继续给自己这种暗示，那么你一定会发现，复习再紧张，也是愉悦的，因为你是为了兴趣而考研的；第二，规律的作息，不大时间战，消耗战，养精蓄锐。

清华大学数学建模讲义

城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，
为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公
司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具工程咨询公司
有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示。附加费用
请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
（万元/千米）
公司一 21
公司二 24
公司三 20
3.在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。
1.为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
2.对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
成绩评定和课程要求
• 总评成绩＝平时作业＋期末作业 ± 印象分 • 平时作业：把课堂内容整理成一篇小论文。
共交3次平时作业，每次20分。 • 期末作业：七日内完成所布置的建模题目，
写成一篇小论文，占40分。 • 按时独立完成作业，严禁抄袭代做。如有

数学规划模型

数学规划模型
数学规划模型是一种数学建模方法，它使用数学方法来解决决策问题。

数学规划模型可以用来优化资源的利用，最大化或最小化某个目标函数。

首先，数学规划模型需要明确目标函数和约束条件。

目标函数是我们希望优化的指标，约束条件则是限制我们优化的条件。

例如，如果我们要找到一种最佳的生产计划，那么目标函数可以是产量的最大化，约束条件可以是原料的限制、生产设备的限制等。

接下来，数学规划模型需要定义决策变量。

决策变量是我们可以调整的变量，通过调整决策变量的值，我们可以达到最优解。

例如，对于生产计划问题，决策变量可以是每种产品的生产数量。

然后，将目标函数和约束条件用数学公式表示出来。

例如，如果我们的目标是最大化产量，那么目标函数可以表示为一个关于决策变量的函数。

同时，约束条件也可以用一组不等式来表示。

接下来，我们需要使用数学方法来求解这个数学规划模型。

常用的数学方法包括线性规划、整数规划、非线性规划等。

具体的求解方法取决于模型的特点和目标函数的形式。

最后，我们需要把数学模型的结果解释给决策者，帮助他们做出更明智的决策。

这个过程通常包括分析和解释模型的结果，
以及提供关于如何操作和调整决策变量的建议。

总结来说，数学规划模型是一种解决决策问题的数学方法。

通过明确目标函数和约束条件，定义决策变量，使用数学方法求解，并将结果解释给决策者，我们可以通过数学规划模型得到最优的决策方案。

这种方法在供应链管理、生产计划、资源分配等领域有着广泛的应用。

数学建模-数学规划模型

建立数学模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标，需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通过建立数学模型描述和解决优化问题。
分类

清华大学运筹学课件(完整课件)

2x1 + 3x2 ≤ 4 x1,x2 ≥ 0
化标准型
max z = x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4
x1 + 2x2 + x3 = 3
2x1 + 3x2
+ x4 = 4
x1,x2,x3,x4 ≥ 0
系数矩阵
1 A 2
2 3
1 0
0 1
p1
p2
p3 p4 , 则 B p3 p4
取x3、x4为基变量,令非基变量x1= x2=0 ∴ 初始基可行解：X(0) = (0 0 3 4)T
③
3
z = 2x1 + 4x2，此时表示目标函数的直线与表示
Q2(4,2)
① *
条件①的直线平行，
o
最优点在线段Q3Q2上。
即存在无穷多最优解。
4 Q1
x1
7
(3)无界解
[eg.5]
max z = 2x1 + 3x2 4x1 ≤ 16 x1，x2 ≥ 0
则x2 → ∞，z → ∞。即存在无界解。
对于
n
m
max z c j x j cni xni
j 1
i 1
n
aij x j xni bi
i 1, , m
j1
x
j
0
j 1, , n m
设 xni 为基变量可行,i 1,, m
x j为非基变量, j 1,, n
n
xni bi aij x j j 1
代入目标函数
产品Ⅱ生产x2件。
4x1
≤ 16
这里z为利润函数，
4x2 ≤ 12
max z:表示求z的最大值。

《数学规划模型》课件

。
非线性规划问题通常具有多个局部最优解，寻找全局最优解是一
个挑战。
非线性规划的解法
梯度法
通过迭代计算，逐步逼近最优解。每次迭代需要计算目标函数的梯度和约束条件的海森矩阵。
牛顿法
利用泰勒级数展开，构造一个二次函数近似原函数，然后求解该二次函数的极值点。
拟牛顿法
在牛顿法的基础上，通过迭代更新海森矩阵的近似值，提高算法的收敛速度。
多目标规划的解法
总结词
多目标规划的解法包括层次分析法、权重法、主要目标法等。
详细描述
多目标规划的解法有多种，其中较为常用的包括层次分析法、权重法、主要目标法等。这些方法通过一定的数学手段和计算技术，将多目标问题转化为单目标问题，以便进行求解。
多目标规划的应用实例
总结词
多目标规划的应用非常广泛，包括经济、交通、能源、环境等多个领域。
线性规划问题通常表示为在给定一组线性约束条件下，最小化或最大化一组线性目标函数。
线性规划问题具有明确的目标函数和约束条件，且这些条件都是线性的，因此称为线性规划。
线性规划的解法
线性规划问题可以通过多种方法求解，其中最常用的是单纯形法。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断迭代寻找最优解。在每一步迭代中，算法会检查当前解是否满足所有约束条件，并尝试通过移动到相邻解来改进目标函
非线性规划的应用实例
投资组合优化
在给定风险和收益目标下，通过非线性规划模型优化投资组合的
配置。
生产计划优化
在生产过程中，通过非线性规划模型优化资源分配、生产计划等
。
物流优化
在物流配送中，通过非线性规划模型优化运输路线、车辆调度等
。

第三章数学规划模型

第三章数学规划模型第三章数学规划模型数学规划论起始20世纪30年代末，50年代与60年代发展成为⼀个完整的分⽀并受到数学界和社会各界的重视。

七⼋⼗年代是数学规划飞速发展时期，⽆论是从理论上还是算法⽅⾯都得到了进⼀步完善。

时⾄今⽇数学规划仍然是运筹学领域中热点研究问题。

从国内外的数学建模竞赛的试题中看，有近1/4的问题可⽤数学规划进⾏求解。

数学规划模型的⼀般表达式：),,(..),,(min(max)≤βαβαx g t s x ff 为⽬标函数，g 为约束函数，x 为可控变量，α为已知参数，β为随机参数。

本章主要介绍线性规划、整数规划、⾮线性规划的基本概念与基本原理、⽆约束问题的最优化⽅法、约束问题的最优化⽅法、动态规划。

3.1线性规划线性规划模型是运筹学的重要分⽀，是20世纪三四⼗年代初兴起的⼀门学科。

1947年美国数学家丹齐格G.B.Dantzig 及其同事提出的求解线性规划的单纯形法及有关理论具有划时代的意义。

他们的⼯作为线性规划这⼀学科的建⽴奠定了理论基础。

随着1979年前苏联数学家哈奇扬的椭球算法和1984年美籍印度数学家卡玛卡尔H.Karmarkar 算法的相继问世，线性规划的理论更加完备成熟，实⽤领域更加宽⼴。

线性规划研究的实际问题多种多样，如⽣产计划问题、物资运输问题、合理下料问题、库存问题、劳动⼒问题、最优设计问题等。

就模型⽽⾔，线形规划模型类似于⾼等数学中的条件极值问题，只是其⽬标函数和约束条件都限定为线性函数。

线性规划模型的求解⽅法⽬前仍以单纯形法为主要⽅法。

本节介绍的主要内容有：线性规划模型的建⽴以及求解，线性规划的matlab 解法，线性规划问题的建模实例。

3.1.1 线性规划模型的建⽴以及求解⼀、线性规划模型的建⽴例1、某机床⼚⽣产甲、⼄两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。

⽣产甲机床需⽤B A 、机器加⼯，加⼯时间分别为每台2⼩时和1⼩时；⽣产⼄机床需⽤C B A 、、三种机器加⼯，加⼯时间为每台各⼀⼩时。

清华考研辅导班-2021清华大学902运筹学与统计学考研经验真题参考书

清华考研辅导班-2021清华大学902运筹学与统计学考研经验真题参考书清华大学902运筹学与统计学考试科目，2020年初试时间安排为12月22日下午14:00-17:00进行考试，考试时间为3小时一、适用院系专业：清华大学016工业工程系087100管理科学与工程二、考研参考书目清华大学902运筹学与统计学没官方指定的考研参考书目，盛世清北根据专业老师指导及历年考生学员用书，推荐使用如下参考书目：《运筹学(数学规划)(第3版) 清华大学出版社，2004年1月W.L.Winston 《运筹学》(应用随机模型) 清华大学出版社，2004年2月V.G. Kulkarni 《概率论与数理统计》(第1～9章) 高等教育出版社，2001年盛聚等盛世清北建议参考书阅读方法：目录法：先通读各本参考书的目录，对于知识体系有着初步了解，了解书的内在逻辑结构，然后再去深入研读书的内容。

体系法：为自己所学的知识建立起框架，否则知识内容浩繁，容易遗忘，最好能够闭上眼睛的时候，眼前出现完整的知识体系。

问题法：将自己所学的知识总结成问题写出来，每章的主标题和副标题都是很好的出题素材。

尽可能把所有的知识要点都能够整理成问题。

三、重难点知识梳理清华大学902运筹学与统计学2020年暂未提供考试大纲，但盛世清北的课程中总结了复习的大体方向，考试重难点知识梳理内容如下：第一部分运筹学1、线性规划· 线性规划数学模型的建立· 图解法· 单纯性法· 对偶理论· 灵敏度分析2、运输问题· 运输问题的数学模型· TP 问题的表上作业法· 产销不平衡的运输问题· 运输模型的应用3、目标规划· 目标规划问题及其数学模型· 目标规划的图解法· 解目标规划的单纯形法· 目标规划的灵敏度分析· 目标规划的应用4、整数规划· 整数规划的数学模型· 求解纯整数规划的割平面法· 分支定界法· 0-1 整数规划· 指派问题· 整数规划应用5、对策论· 对策的基本概念· 矩阵对策的基本理论· 矩阵对策的解法· 二人有限非零和对策· 二人无限非零和对策6、决策分析· 不确定性决策方法· 决策树模型· 效用理论第二部分统计学1、概率论的基本概念2、随机变量及其分布· 二项及多项分布、泊松分布、一元及多元正态分布、指数分布等· 概率分布、期望、方差、条件概率分布、条件期望、条件方差、独立性等3、概率极限定理· 大数定理· 中心极限定理4、估计及抽样分布· 点估计(极大似然估计、矩估计)、区间估计· 偏差与方差· 自助法(bootstrap)5、假设检验· 显著性水平、一类错误、二类错误、检验功效· 单样本、双样本检验6、方差分析· 多重性、F-检验· 单因素、多因素设计7、回归分析· 线性回归：最小二乘估计、t-检验、F-检验、R 方、模型诊断、异方差、交互作用、非线性作用· 线性 Logistic 回归：极大似然估计、t-检验、概率预测、ROC 曲线四、考研真题盛世清北建议：认真分析历年试题，做好总结，对于考生明确复习方向，确定复习范围和重点，做好应试准备都具有十分重要的作用。

2024版清华大学运筹学课件(完整课件)

其他存储问题
多品种存储问题
研究多种物资同时存储时的优化策略，如联合订货、分类管理等。
有限期存储问题
考虑物资具有有限保质期的情况，研究如何在有限时间内合理安排进货和销售计划。
带有约束条件的存储问题
研究在资金、仓库容量等约束条件下如何制定最优存储策略的问题。
THANKS
感谢观看
最大流可以增加。
Ford-Fulkerson算法
02
通过不断寻找增广路并增加流量来求解网络最大流问题。
Edmonds-Karp算法
03
在Ford-Fulkerson算法的基础上，使用BFS寻找增广路，
可以保证算法的时间复杂度为多项式级别。
最小费用最大流问题
01
最小费用流的定义
02
消圈定理
03
SPFA算法
运筹学的发展
战后，运筹学逐渐应用于经济、管理、工程等领域，发展出线性规划、整数规划、动态规划等分支。
运筹学的研究对象与特点
研究对象
运筹学的研究对象主要是各种系统的优化问题，如生产、运输、库存、财务等系统的优化。
特点
运筹学具有多学科交叉性，涉及数学、计算机科学、经济学等多个学科；强调系统性和整体性，关注整体最优而非局部最优；注重定量分析和数学建模，通过数学模型描述和
整数规划问题的分类
根据整数变量的取值范围，可分为纯整数规划、混合整数规划和0-1整数规划。
整数规划问题的数学模型
整数规划问题的数学模型与线性规划问题类似，但需要加入整数约束条件。
分枝定界法
分枝定界法的基本思想
将原问题分解为若干个子问题，每个子问题对应原问题的一个子集，通过求解子问题的最优解来逼近原问题的最优解。

清华大学-《运筹学》课程教学大纲

《运筹学》课程教学大纲课程名称：运筹学编号.20345144：学时：72 编者姓名：曾鸿能单位：中山大学职称：副教授主审姓名：单位：职称：教授对象：本科生专业：资源与环境规划年级：三年级编写日期：2001年9月一、课程目的与教学基本要求学习本课程后，使学生掌握运筹学有关分支的基本理论和方法，牢固掌握解题算法步骤，培养学生应用规划论、优化技术解决实际问题能力。

为专业课在系统规划、最优设计、参数优选、最优管理与运行等数学方法及计算机算法打下必要的基础。

在已学过微积分、初等集合论和线性代数基础上学习本课程，通过教授、自学、复习、作业练习、辅导、编程上机等教学环节达到上述目的。

学习中要注意到学科系统性，数学概念和逻辑的严密性、准确性和完整性，但不偏重纯数学方法论证。

着重基本概念、基本思路、基本方法、算法步骤、几何直观解析。

了解各种方法特点和实用价值，提高建立模型、分析求解能力和技巧。

应注重实际应用中建立模型，选择可行求解的理论方法，编制算法的计算机程序这三方面训练的有机结合。

二、课程内容（含学时分配）绪言：运筹学简史、性质和特点、工作步骤、模型、分支及应用、运筹学展望（1学时）i.线性规划与目标规划（共30学时）1-1 线性规划问题及其数学模型（2学时）一、应用实例二、线性规划的数学模型三、标准形式1-2 线性规划问题的图解法（1学时）教学要求：1．初步掌握建立线性规划模型方法2．掌握线性规划模型特征；如何化线性规划模型为标准型3．掌握两个变量线性规划问题的图解法重点：通过图解法初步了解基本概念和求解思路1-3 线性规划的基本概念和基本定理（4学时）教学要求：1．掌握可行解、基、凸集、凸组合、顶点的概念2．了解线性规划理论依据---几个基本定理、求解线性规划问题基本思路重点：三个基本定理难点：基本定理的证明1-4 单纯形法（4学时）1．单纯形法求解过程说明2．单纯形表（1）单纯形表的结构和原理（2）换基Ⅰ确定换入变量Ⅱ确定换出变量Ⅲ旋转迭代教学要求：牢固掌握线性规划的单纯形求解方法重点：单纯形方法求解步骤和公式难点：单纯形表构成原理，换基迭代公式推导1-5 单纯形法进一步讨论（2学时）（一）大M单纯形法（二）两阶段法（三）退化问题（四）检验数的几种表示法（五）单纯形法小结教学要求：1．了解引入工人变量目的2．牢固掌握大M法和两阶段法求解过程、判别什么情况下无解3．牢固掌握单纯形法计算框图重点：两阶段法及单纯形法计算框图1-6 改进单纯形法（2学时）教学要求：1．了解改进单纯形方法的思想2．掌握改进单纯形法计算步骤重点：改进单纯形法计算步骤（主要用于计算机计算）难点：新基逆矩阵求解公式及其实质1-7 线性对偶规划（4学时）一、对偶问题提出二、对偶规则三、线性对偶理论四、对偶问题的经济学解释——影子价格五、对偶单纯形法教学要求：1．掌握对偶规则2．了解线性对偶理论、影子价格的意义3．牢固掌握对偶单纯形法重点：对偶单纯形法计算步骤及对偶单纯形法应用范围难点：线性对偶理论的证明1-8 灵敏度分析与参数线性规划（3学时）教学要求：1．掌握系数变化范围的确定及增加新变量、新约束灵敏度分析2．掌握参数连续变化对最优解及最优值的影响重点：灵敏度分析与参数线性规划的应用。

运筹学课程06-整数规划(胡运权清华大学)

NEUQ
全整数规划：除了所有决策变量要求取非负整数外，系数和常数也要求取整数（这时引进的松弛变量和剩余变量也必须是整数）。
混合整数规划：只有一部分的决策变量要求取非负整数，另一部分可以取非负实数。 0－1整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个整数。
14
NEUQ
3、IP与LP关系：
设整数规划问题如下

c1n c2n cin b c nn
min Z Z b
min Z Z b
，则X 0也是 min Z的最优解若X 0是 min Z的最优解
24
NEUQ
指派问题的最优解：若 C中有n 个位于不同行不同列的零元素，则令这
些零元素对应的变量取1，其余变量取零，即得指派问题的最优解匈牙利算法：
B1 B2 L Bn A1 c11 c12 L c1n a1 f1 A2 c21 c22 L c2 n a2 f 2 M M M M M M Am cm1 cm 2 L cmn am f m b1 b2 L bn
6
NEUQ
设： xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2…m； j=1.2…n), 1 在Ai建厂又设 yi＝（i=1.2…m） 0 不在Ai建厂 m 模型： min Z cij xij f i yi
NEUQ
整数规划 Integer Linear Programming
整数规划的难度远大于一般线性规划
1
NEUQ
本章主要内容
整数规划的模型 0－1 整数规划
指派问题
分支定界法割平面法
2
NEUQ
一、整数规划的模型
1、案例：某财团有 B万元的资金，经初期考察选中 n个投资项目，每个项目只能投资一个。其中第 j 个项目需投资金额为 b j ( j 1, 2,L , n) 万元，预计5年后获利 c j 万元，问应如何选择项目使得5年后总收益最大？

清华大学运筹学-11线性规划数学模型24页PPT

清华大学运筹学-11线性规划数学模型
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公ห้องสมุดไป่ตู้和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克

全国大学生数学建模竞赛历年试题总临览

矩阵论、图论、层次分、整数规划图论、组合数学非线性规划、动态规划、层次分析法、PETRI方法、图论方法、排队论方法非线性规划动态规划、图论模型（最短路）、组合优化图论、组合优化、线性规划 0-1规划、非线性规划、图论方法离散优化、运输问题、最短路、二次规划多目标规划、非线性规划单目标决策、多目标决策、概率与优化非线性规划整数规划、多目标规划
整数优化模型灰色预测理论微分方程模糊
电力市场的输电阻塞管理问题线性规划 (浙江大学:刘康生) DVD在线租赁问题(清华大学: 谢金星等) GM
双目标优化多目标规划
0-1规划
微分方程非线性方程模型来自艾滋病疗法的评价及疗效的预测（天大：边馥萍）乘公交，看奥运（吉大：方沛辰，国防科大：吴孟达）高等教育学费标准探讨（开放性题目）眼科病床的合理安排 D题钻井布局问题（郑州大学：林 0-1规划、非线性规划、图伦诒勋）空洞探测问题（东北电力学院：关信）公交车调度问题（清华大学：多目标规划、非线性规划谭泽光）赛程安排问题（清华大学：姜初等模型启源）抢渡长江问题（华中农业大学：殷建肃）招聘公务员问题（解放军信息工程大学：韩中庚） DVD在线租赁问题(清华大学: 谢金星等) 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制（信息工程大学：韩中庚）体能测试时间安排(首都师大: 刘雨林) NBA赛程的分析与评价会议筹备初等模型微分方程模糊评判层次分析法、0-1 规划、图论 GM 0-1规划多目标规划
历年全国大学生数学建模竞赛试题
A题时间 1992 1993 1994 题目及命题人建模方法施肥效果分析问题（北京理工回归模型,统计分析大学：叶其孝）非线性交调的频率设计问题拟合、规划（北京大学：谢衷洁） B题建模方法题目及命题人实验数据分解问题（复旦大学：谭永基）足球排名次问题（清华大学：蔡大用）锁具装箱问题（复旦大学:谭逢山开路问题（西安电子科技图论、插值、动态规划永基，华东理工大学:俞文大学：何大可）此）飞行管理问题（复旦大学:谭天车与冶炼炉的作业调度问题永基，华东理工大学:俞文非线性规划、线性规划（浙江大学：刘祥官,李吉此）鸾）最优捕鱼策略问题（北京师范微分方程、积分、优化（非线性节水洗衣机问题（重庆大学：大学：刘来福）规划）付鹂）截断切割问题（复旦大学:谭零件参数设计问题（清华大微积分、非线性规划、随机模拟永基，华东理工大学:俞文学：姜启源）此）投资的收益和风险问题（浙江多目标优化、模糊线性规划、非灾情巡视路线问题（上海海运大学：陈淑平）线性规划学院：丁颂康）自动化车床管理问题（北京大钻井布局问题（郑州大学：林随机优化、计算机模拟学：孙山泽）诒勋）欧氏距离、马氏距离分类法、 DNA序列分类问题（北京工业钢管订购和运输问题（武汉大 Fischer判别模型、神经网络方大学：孟大志）学：费甫生）法，最小二乘拟合、统计分类血管的三维重建问题（浙江大公交车调度问题（清华大学：曲面重建、曲线拟合、数据挖掘学：汪国昭）谭泽光）车灯线光源的优化设计问题彩票中的数学问题（解放军信（复旦大学:谭永基，华东理非线性规划、最优化息工程大学：韩中庚）工大学:俞文此）露天矿生产的车辆安排问题 SARS的传播问题（组委会）微分方程（吉林大学：方沛辰）

数学模型之数学规划模型

多目标规划模型的应用案例
资源分配问题
投资组合优化
在有限的资源条件下，如何分配资源以达到多个目标的优化，如成本、质量、时间等。
在风险和收益的权衡下，如何选择投资组合以达到多个目标的优化，如回报率、风险分散等。
生产计划问题
在满足市场需求和生产能力限制的条件下，如何制定生产计划以达到多个目标的优化，如利润、成本、交货期等。
整数规划模型的应用案例
总结词
整数规划模型在生产计划、资源分配、物流优化等领域有广泛应用。
详细描述
在生产计划领域，整数规划模型可以用于安排生产计划、优化资源配置和提高生产效率。在资源分配领域，整数规划模型可以用于解决资源分配问题，例如人员分配、物资调度等。在物流优化领域，整数规划模型可以用于车辆路径规划、货物配载等问题，提高物流效率和降低运输成本。
数学规划模型可以分为线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等类型，根据问题的特性选择合适的数学规划模型进行建模。
数学规划模型的应用领域
01
02
03
04
生产计划
数学规划模型可以用于制定生产计划，优化资源配置，提高生产效率。
物流运输
通过建立数学规划模型，可以优化物流运输路线和运输方式，降低运输成本。
80%
金融投资组合优化
通过建立线性规划模型，可以优化投资组合，实现风险和收益的平衡。
03
非线性规划模型
非线性规划模型的定义
非线性规划模型是一种数学优化模型，用于解决目标函数和约束条件均为非线性函数的问题。
它通过寻找一组变量的最优解，使得目标函数达到最小或最大值，同时满足一系列约束条件。
• 整数规划与混合整数规划的拓展：整数规划模型解决了离散变量的优化问题，混合整数规划则进一步扩展了整数规划的适用范围。

清华大学《数据模型与决策》DMD(孙静) - 课程精髓及案例分析流程

DMD课程精髓：1、从管理者的角度去分析问题，不要陷入数据处理中；2、数据分析需要和经验相匹配，数据为管理和决策提供服务。

3、东西方的差距从15世纪开始拉大：1)西方：开始使用阿拉伯数字；（理性－科学性）2)东方：仍然采用文字这种不精确的描述；（人性－灵活性）4、5大知识点：1)Decision Analysis（决策分析）➢决策树—回溯的方法使“复杂问题简单化”、提炼问题➢who、where、when、why、what、how2)Sampling（抽样）➢从个体抽样共性、得出普遍规律的方法论。

（自然科学中的哲学）➢“断章取义”导致统计学可以变化出完全不同的结果。

➢理论的结果是基于“随机”的抽样。

➢精确与粗燥的哲学：更加粗燥的t分布，得出的结果可能是更加精确的预测结果。

➢实际的生活中，人们往往对μ有预期，却对σ没有预期，导致了很多问题。

3)Simulaiton（仿真）➢减轻抽样需要投入的时间和经历，结果依赖于“可以信赖的假设”4)Regression（回归）➢回归反映的是量变因素，对于质变必须从管理上解释。

5)Optimization（优化）➢模型的准确性只对自变量范围内有意义。

DMD案例流程（供参考）：一、案例背景：5W+1Hwhowhenwherewhat （要干什么）why （待分析的原始数据或者解决途径）how （怎样做，D.T）P25-规范的决策树key point：（---总体框架）➢有用的信息和数据（why）；➢提炼问题（what:Unkown information and question）；二、初步分析：根据决策树建模，即通常是分析框架、一个公式，或者一个目标key point：（清晰分析思路―注意不要陷在数据里，有些可能无解，但要写明原因。

）➢决策思路（D.T）说明是否做敏感性分析，是否另行设计决策树找出其他的解决办法，或从其他角度重新看这个问题－把复杂的问题分解成若干问题，简化问题；➢列出具体的分析思路和步骤；➢在思路基础上，找出相关需要的变量、函数和相互间的关系；例子：（最后一个书商案例）决策变量：P书Q页数Q印刷Q销售目标函数：∏＝销售收入－总成本＝P书×Q销售－f总成本（Q页数，Q印刷）约束：1 毛利率＝1－直接成本/销售收入＝1－g直接成本（Q页数，Q印刷）/（P书×Q印刷）>= 40%2 25<= P书<=353 Q销售<= Q印刷4 所有变量>＝0P书―――需优化求解Q页数―――已知条件Q印刷―――需回归或仿真Q销售―――需回归或仿真f总成本（Q页数，Q印刷）―――需回归g直接成本（Q页数，Q印刷）―――需回归三、数据处理：key point：（根据初步分析思路，进行数据处理，找出可以符合管理者角度意愿的证据。

运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第章

27
清华大学出版社
2.1.4 线性规划问题的解概念
❖ 1.可行解 ❖ 2.基 ❖ 3.基可行解 ❖ 4.可行基
28
清华大学出版社
2.1.4 线性规划问题的解的概念
1. 可行解
❖ 定义
满足约束条件(1-5)、(1-6)式的解X=(x1,x2，…，xn)T，称为线性规划问题的可行解，其中使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。
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清华大学出版社
2.1.3 线性规划问题的标准型式
线性规划问题的几种表示形式
用向量形式表示的标准形式线性规划
M
'' 1
:目标函数：max
z
CX
n
约束条件： j1 Pj x j
b
x
j
0,
j 1,2,,n
C c1 ,c2 ,,cn ;
x1
a1 j
b1 Xx2 ; NhomakorabeaPj
a2
j
若约束条件为“≤”型不等式，则可在不等式左端加入非负松弛变量，把原“≤”型不等式变为等式约束；若约束条件为“≥”型不等式，则可在不等式左端减去一个非负剩余变量(也称松弛变量)，把不等式约束条件变为等式约束。 (3) 若存在取值无约束的变量xk,可令
xk xk' xk" xk' , xk" 0
2.1.3 线性规划问题的标准型式
M1 : 目标函数：max z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 约束条件：a21x1 a22 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 , , xn 0

运筹学清华大学第四版答案

运筹学清华大学第四版答案【篇一：运筹学作业2(清华版第二章部分习题)答案】s=txt>2．1 题（p. 77）写出下列线性规划问题的对偶问题：????（1）?????maxz?2x1?2x2?4x3s.t.x1?3x2?4x3?22x1?x2?3x3?3x1?4x2? 3x3?5x1?0，x2?0,x3无约束；解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：?maxw?2y1?3y2?5y3?s.t.y1?2y2?y3?2??3y1?y2?4y3?2 ? ?4y1?3y2?3y3?4?y1?0,y2?0,y3?0??mn?minz???cijxij?i?1j?1?n???cijxij?ai,i?1,?,m（2）? j?1?n??cijxij?bj,j?1,?,n?j?1???xij?0,i?1,?,m;j?1,?,n解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：mn??maxw??aiui??bjvji?1j?1??ui?vj?cij ??i?1,?,m;j?1,?,n???ui无约束，vj无约束2．2判断下列说法是否正确，为什么？（1）如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解；答：错。

因为：若线性规划的原问题存在可行解，且其对偶问题有可行解，则原问题和可行问题都将有最优解。

但，现实中肯定有一些问题是无最优解的，故本题说法不对。

maxz?3x1?x2例如原问题s.t.?x1?x2?1?x2?3??x?0,x?02?1有可行解，但其对偶问题minw?y1?3y2s.t.?3?y1?y2?1?y1??y?0,y?02?1无可行解。

（2）如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解；答：错，如（1）中的例子。

（3）在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或求极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值。

答：错。

正确说法是：在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，求极大的问题可行解的目标函数值一定不超过求极小的问题可行解的目标函数值。