与函数有关的恒成立问题

与函数有关的恒成立问题
最常见的是二次函数的恒成立问题,分为两种题型: （1）二次函数在R 上的恒成立问题; （2）二次函数在给定区间上的恒成立问题. 对于二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y : ①若c bx ax ++2
≥0在R 上恒成立,则⎩⎨
⎧≤∆>0
a ;
②若c bx ax ++2
≤0在R 上恒成立,则⎩
⎨⎧≤∆<00
a .
函数恒成立问题的求解方法（转化化归思想）分离参数法 函数的恒成立问题,一般将其转化为求函数的最大值或最小值问题: ①a ≤)(x f 恒成立a ⇔≤min )(x f ; ②a ≥)(x f 恒成立a ⇔≥max )(x f .
在求解恒成立问题时,把参数分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个区间上的具体函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.这种方法叫做分离参数法. 结论 二次函数的给定闭区间上的最值问题
求二次函数的最大（小）值有两种类型:一是函数的定义域为实数集R ,这时只要根据抛物线的开口方向,应用配方法即可求出最大（小）值;二是函数的定义域为某一区间,这是函数的最值由它的单调性确定,而它的单调性又与抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上、在区间的左侧、在区间的右侧）来决定,当开口方向或对称轴位置不确定时,还需要进行分类讨论.
求二次函数()0)(2
>++=a c bx ax x f 在区间[]n m ,上的最值分为以下三种情况:
（1）对称轴在区间的左侧 若m a
b
x <-
=2,则)(x f 在区间[]n m ,上是增函数,最大值为()n f ,最小值为()m f ; （2）对称轴在区间内
若m ≤a b
2-≤n ,则)(x f 的最小值为
a b ac a b f 4422
-=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-,最大值为()m f 、()n f 中的
较大者（或区间端点n m ,中与直线a
b
x 2-
=的距离较大的那一个端点所对应的函数值）; 即最小值为a b
ac a b f 4422
-=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-,最大值为()()(){}n f m f x f ,m ax max =. （3）对称轴在区间的右侧
若n a
b
x >-
=2,则)(x f 在区间[]n m ,上是减函数,最大值为()m f ,最小值为()n f . 注意:当抛物线的对称轴a b x 2-=在区间[]n m ,上,即m ≤a
b
2-≤n 时,函数的最小
值在顶点处获得,为顶点的纵坐标,即a b ac a b f x f 442)(2
min -=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=,函数最大值的确定需要分为两种情况:
区间[]n m ,的中点为
2
n
m +（由中点坐标公式得到）. ①当m ≤a b 2-≤2n
m +时（即右端点n 距离对称轴较远）,函数的最大值为()n f ;
②当a b n m 22-
<+≤m 时（即左端点m 距离对称轴较远）,函数的最大值为()m f . 综上所述,二次函数的最大值为()()(){}n f m f x f ,m ax max =.
常见的二次函数最值问题类型 类型1 定轴定区间 类型二 动轴定区间 类型三 定轴动区间 类型四 动轴动区间 二次函数的最值的图象说明
对称轴在区间的左侧
对称轴在区间的右侧
对称轴在区间内靠近左端点
对称轴在区间内靠近右端点
例题讲解
例1. 函数a ax x x f -++=3)(2,当∈x R 时,)(x f ≥0恒成立,求实数a 的取值范围. 分析:这是与二次函数有关的恒成立问题,也是二次函数对应的一元二次不等式恒成立的问题.解决本题需要理解并掌握下面的结论:
对于二次函数()0)(2
≠++=a c bx ax x f ,)(x f ≥0恒成立恒成立的条件是:
⎩⎨⎧≤-=∆>0
40
2
ac b a 也即一元二次不等式c bx ax ++2
≥0)0(≠a 恒成立的条件是⎩⎨⎧≤-=∆>0
40
2
ac b a . 解:由题意可得:
()a a --=∆342≤0,解之得:6-≤a ≤2.
∴实数a 的取值范围是[]2,6-.
例2. 若不等式0122>++mx mx 的解集为R ,则实数m 的取值范围是_________. 分析:设函数12)(2++=mx mx x f ,则不等式0122>++mx mx 的解集为R 就转化为了函数0)(>x f 恒成立的问题.注意,这里函数)(x f 不一定是二次函数,它的二次项系数含有参数,要对二次项系数进行分类讨论. 解:当0=m 时,无论x 取任何实数,01>恒成立,符合题意;
当0≠m 时,则有()⎩⎨⎧<-=∆>0
420
2
m m m ,解之得:10<<m .
综上所述,实数m 的取值范围是[)1,0.
例3. 关于x 的不等式()1122+<+++x m mx x m 对∈x R 恒成立,求实数m 的取值范围.
分析:先把不等式化为标准形式,根据不等式与0的大小关系将问题转化为对应的函数的函数值与0的关系.如果二次项系数中含有参数,不要忘记对参数进行分类讨论.
对于二次函数()0)(2
≠++=a c bx ax x f ,<)(x f 0恒成立恒成立的条件是:
⎩
⎨⎧<-=∆<040
2
ac b a 也即一元二次不等式c bx ax ++2
≥0)0(≠a 恒成立的条件是⎩⎨
⎧<-=∆<0
40
2
ac b a . 解:∵()1122+<+++x m mx x m ∴012<-++m mx mx .
当0=m 时,01<-,对∈x R 恒成立,符合题意;
当0≠m 时,则有()⎩⎨⎧<--=∆<0140
2
m m m m ,解之得:0<m . 综上所述,m ≤0,即实数m 的取值范围是(]0,∞-.
例 4. 已知()422)(2+-+=a x x f ,如果对∈x R ,0)(>x f 恒成立,求实数a 的取值范围.
解:由题意可得:
()[]044222
<⨯--=∆a ,解之得:40<<a .
∴实数a 的取值范围是()4,0.
例5. 函数a ax x x f -++=3)(2,当[]2,2-∈x 时,)(x f ≥0恒成立,求实数a 的取值范围.
分析:这是关于二次函数在给定闭区间上恒成立的问题,解决的方法是把恒成立问题转化为函数的最值问题:)(x f ≥0恒成立,只需函数)(x f 在区间[]2,2-上的最小
值min )(x f ≥0即可.
函数的恒成立问题,一般将其转化为求函数的最大值或最小值问题: ①a ≤)(x f 恒成立a ⇔≤min )(x f ; ②a ≥)(x f 恒成立a ⇔≥max )(x f .
另外,本题中二次函数的对称轴中含有参数,给定的区间是确定的,为动轴定区间问题.在求函数)(x f 的最小值时,要结合抛物线的开口方向,对对称轴与区间的相对位置关系进行讨论.
解:函数a ax x x f -++=3)(2的图象的开口向上,对称轴为直线2
a
x -=.
当22
-<-a
,即4>a 时,函数)(x f 在区间[]2,2-上为增函数
∴()()732min +-=-=a f x f ,解不等式73+-a ≥0得:a ≤37
,显然不符合题意;
当2-≤2a -
≤2,即4-≤a ≤4时,()34122min +--=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=a a a f x f
解不等式341
2+--a a ≥0得:6-≤a ≤2.
∴4-≤a ≤2; 当22
>-
a
,即4-<a 时,函数)(x f 在区间[]2,2-上减函数 ∴()()72min +==a f x f ,解不等式7+a ≥0得:a ≥7-. ∴7-≤4-<a .
综上所述,实数a 的取值范围是[)[][]2,72,44,7-=--- .
注意:在求解的过程中,为避免出错,可为每种讨论的情况画成简图.
例 6. 设函数1)(2--=mx mx x f ,若对于∈x []3,1,4)(+-<m x f 恒成立,则实数m 的取值范围为【 】
（A ）(]0,∞- （B ）⎪⎭⎫
⎢⎣⎡75,0
（C ）()⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-75,00, （D ）⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∞-75,
分析:使用分离参数法: 在求解恒成立问题时,把参数分离出来,使不等式的一端是含有参
数的代数式,另一端是一个区间上的具体函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.这种方法叫做分离参数法.
本题有一个地方要特别注意,就是二次项系数含有参数,题目所给函数不一定是二次函数,所以要对参数m 进行讨论. 解:∵对于∈x []3,1,4)(+-<m x f 恒成立
∴412+-<--m mx mx ,即052<-+-m mx mx 对∈x []3,1恒成立. 当0=m 时,05<-成立,符合题意; 当0≠m 时,()512<+-x x m ∵对∈x []3,1,012>+-x x 成立 ∴152
+-<
x x m 恒成立,只需min
215⎪⎭⎫
⎝⎛+-<x x m 即可. 设43
211)(2
2+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=+-=x x x x g ,其图象开口向上,对称轴为直线21=x .
∴函数)(x g 在[]3,1上为增函数,∴()73)(max ==g x g
∴7
5)(515max min 2==
⎪⎭⎫
⎝⎛+-x g x x ,∴75<m . 综上所述,实数m 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∞-75,.选择【 D 】.
例7. 已知函数x
x x f 4
)(-
=. （1）证明:)(x f 在()+∞,0上单调递增;
（2）若不等式0)(>-a x f 在[)+∞,1上恒成立,求实数a 的取值范围. 分析:可以用单调函数的运算性质说明函数)(x f 的单调性. 实际上,x x x x x f 44)(-+=-
=,因为函数x y =与函数x
y 4-=在()+∞,0均为增函数,所以函数)(x f 在()+∞,0上为增函数,即在()+∞,0上单调递增. （1）证明:任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则
()()()()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---
=-21211221221121414444x x x x x x x x x x x x x f x f . ∵()+∞∈,0,21x x ,且21x x < ∴04
1,02
121>+
<-x x x x ∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<- ∴)(x f 在()+∞,0上单调递增;
（2）解:∵0)(>-a x f 在[)+∞,1上恒成立 ∴)(x f a <[)+∞,1上恒成立,只需()min x f a <即可. 由（1）可知,函数)(x f 在[)+∞,1上为增函数 ∴()341)1(min -=-==f x f ,∴3-<a ∴实数a 的取值范围为()3,-∞-.
例8. 已知函数bx x x f +=2)(,若)(x f ≤1在区间(]1,0上恒成立,试求b 的取值范围.
分析:本题虽然简短,但难度较高.条件)(x f ≤1的作用是1-≤)(x f ≤1.分离参数法求解. 解:∵)(x f ≤1
∴1-≤)(x f ≤1,1-≤bx x +2≤1
∵∈x (]1,0,∴x x 1-
-≤b ≤x x 1+- 设x x x g 1)(--=,x x x h 1
)(+-=,只需()max x g ≤b ≤()min x h 即可.
∵x x x g 1)(--=在(]1,0上为增函数,x x x h 1
)(+-=在(]1,0上为减函数
∴()2)1(max -==g x g ,0)1()(min ==h x h ∴2-≤b ≤0,即实数b 的取值范围为[]0,2-.。