第5讲 大学统计学课程课件-平均指标与标志变异指
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、调和平均数的概念和计算 调和平均数又称“倒数平均数”，它是各个变 量值倒数的算术平均数的倒数。通常用H表示。 根据同一资料计算出的算术平均数和调和平均 数是不相同的。事实上，变量值的调和平均数 本身无实际意义，但在社会经济统计中，有时 由于资料的原因不能直接计算出算术平均数， 而采用调和平均数的形式。因此，可以把调和 平均数看作是算术平均数的变形。
(二)标志变异指标的作用
1.标志变异指标是评价平均数代表性的依 据。 2.标志变异指标可用来反映社会经济活动 过程的均衡性和稳定性。标志变异指标 值小，说明社会经济活动过程的均衡性 和稳定性好，反之则差。 3.标志变异指标还是抽样调查中计算抽样 误差和抽样数目的依据。
二、标志变异指标的种类和计算
算术平均数、调和平均数和几何平均数三 者间存在如下数量关系： H≤G≤X 并且只有当所有变量值都相等时，这三种 平均数才相等
第六节
标志变异指标
一、标志变异指标的概念和作
(一)标志变异的概念 标志变异指标也称标志变动度，是反映总体各 单位标志值之间差异程度的综合指标。 平均指标把总体各单位数量标志值间的差异抽 象化了，反映现象的一般水平，表明事物的集 中趋势。但被抽象化了的各单位标志值之间的 差异究竟有多大，平均指标的代表性又如何， 这需要计算标志变异指标来测定。
10 2 3 3 2
问题：如果不按复利计算，平均年利率是 多少？
解：设本金为C，则 平均年利率
平均利息 本金 2 C 5% 3 C 8% 3 C 10% 2 C 12% 10 C 2 5% 3 8% 3 10% 2 12% 2 3 3 2 8.8%
X
f
式中，fi为变量值Xi出现的次数，又称权数。
例如，投资银行某笔投资的年利率是按复 利计算的，10年的年利率分配是：第1年至 第2年为5%；第3年至第5年为8%；第6年至 第8年为10%；第9年至第10年为12%，则平 均年利率：
平均本利率 1 1.05 1.08 1.1 1.12 1 108.7743 % 1 8.7743%
X
i 1 n i 1
n
i
fi
i
f
Xf f
例：抽样调查某地200个3口之家的居民户，得其生活 费用支出资料如下表：
月生活费支出(元) 400以下 400-600 组中值Xi 300 500 户数(户)fi 26 35 X if i 7800 17500
600-800
800-1200 1200-1800 1800以上 合计
(一)简单调和平均数
简单调和平均数的计算公式是：
H
n 1 1 1 X1 X 2 Xn
n 1 X
式中： (X—变量值；n—总体单位总量。)
(二)加权调和平均数
由算术平均数的公式
X 1 f1 X 2 f 2 X n f n X f1 f 2 f n
据计算方法不同可将标志变异指标分为不同类型。 有一类是将总体标志值按顺序排列之后取特定位置 的标志值，求其离差，以表明次数分布的变化范围， 如全距指标，四分位数指标等。 另一类是求各标志值对平均数的平均离差来反映标 志值相对于平均数的离差程度，如平均差、标准差 (又称均方差)或方差等。 用上述标志变异指标还可以计算各种变异系数或离 散系数，以表示标志值离差的相对水平。 此外还有描述标志值分布状态的指标如偏度系数指 标和峰度系数指标，它们说明实际统计分布偏离正 态分布的程度。
平均合格率 4
X
i 1
4
i
4 98% 95% 92% 90% 4 0.770868 93.7%
二、加权几何平均数
当各个变量值的次数(权数)不相同时，应 采用加权几何平均数 。
G
f1 f 2 f n
X1 X 2 X n
f1
f2
fn
f
2、已知增长速度θi （1）已知利率、经济增长率θi
n 1 1 1 2 1 n 1
（2）已知废品率、淘汰率θi
1 n 1 1 1 2 1 n
有32支球队参加比赛，经5轮决出冠军， 求每一轮的平均淘汰率。 解：n=5
加权算术平均数公式
总体标志值 为y1、 y2 、 …、 yk ，将相同的标 志值分为一 组，共分n组。第一组有f1个，标志 值为X1， …，第n组有fn个，标志值为Xn 。
算术平均数公式
Yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Y2 Yk X k
Y
j 1
k
j
k
X 1 f1 X 2 f 2 X n f n f1 f 2 f n
X1 X 2 X n X n
X
i 1
n
i
n
X n
式中： X —算术平均数； X1，X2，…，Xn—总体各单位标志值；n—总体 单位数；∑—总和符号。
Σ的性质
1 、
2 、 3 、
CX X
n i 1 n
i
C Xi
i
Yi X i Yi
表4-5 企业 甲 三个企业实际计划完成情况表 计划完成(%) 95 实际完成数(万元) 95
乙
丙
102
108
153
410.4
合计
—
658.4
解：由计划完成相对数的计算公式和已知 条件，有：平均计划完成程度
实际完成数 计划任务数 95 153 410.4 95 153 410.4 95% 102% 108% 658.4 100% 104.51% 630
a0=32 an=1
1 1 5 50% 32
平均淘汰率 1 平均晋级率
几何平均数较之算术平均数，应用范围较窄， 它有如下特点： ①如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无 法计算G ②G受极端值影响较X和H小； ③它适用于反映特定现象的平均水平，即现象的 总标志值不是各单位标志值的总和，而是各单 位标志值的连乘积的情形。对于这类社会经济 现象，不能采用算术平均数反映其一般水平， 而需采用几何平均数。。
销售额 3 60 2.6 40 2 20 名义销售量 60 40 20 324 2.7元 / 千克 120
2、实际价差
销售额 实际售价 进价 进价 实际销售量 324 2 1.24元 / 千克 100
第三节 调和平均数 harmonic average
C nC
i 1 i
(X ？
Y ) X i nY
？
Xi Y i
X Y
i
i
三、加权算术平均数 weighted arithmetic mean
当掌握的资料是经过加工整理的变量数 列，并且各组的单位数不相等时，就需 要以各组的单位数为权数，采用加权的 办法计算平均指标。这样计算的平均指 标称为加权算术平均数。
某人购房欲贷款12万元，根据其资信水 平，贷款10万元的年利率是8%，若增加 2万元，则这12万元贷款的年利率变为 10%，求增加的2万元贷款的年利率。
解：
10 8% 2 i 平均年利率 10% 10 2
12 10% 10 8% i 20% 2
第四节 几何平均数 geometric mean
错啦！
200 10% 1000 13% 年利率 12.5% 200 1000
对啦！
分析
单位：万元
贷款 总额
年利 平均 平均 利息 利息 利息 率 利率 利率 10% 13% 20 11.5% 23 12.5% 25
200 1000 利息 合计
130 11.5% 115 12.5% 125 150 错误 138 正确 150
X
i 1 n i 1
n
i
fi
i
f
令 Xifi＝Mi
则有 fi=Mi/Xi 于是上式变为
M1 M 2 M n X Mn M1 M 2 X1 X2 Xn
M
i 1 i 1 n
n
i
Mi Xi
例2 已知甲、乙、丙三个企业的有关资料如表4-5， 要求计算这三个企业的平均计划完成程度。
平均数与强度相对数的区别
1、人均书籍20本
人均课本20本 强度 相对数
人均馆藏图书20本
2、人均耕地2亩 某地区人均耕地2亩 平均数
某村人均耕地2亩
二、简单算术平均数 simple arithmetic mean
将各单位的标志值xi直接相加得出标志总量， 再除以总体单位数n，就得到简单算术平均数。 用公式表示为
从以上例可以看出，计算平均数时，要依据客 观存在的经济关系式和已知条件作具体分析， 而不能简单地套用公式，否则容易出现错误。
某银行营业部只有两笔大额贷款,一笔为 200万元,年利率10%,另一笔为1000万元， 年利率13%,求该营业部大额贷款的平均年 利率。 年利率=（10%＋13%）÷2＝11.5%
(一)全距 range
全距又称极差，是总体各单位标志值中最大值 与最小值之差，常记为R。它表示标志值的变 化范围。 全距(R)=最大标志值－最小标志值 一般而言，全距的值愈小，则变量值愈集中， 表明标志值的变异程度小，反之则愈大。 但由于全距只决定于两个极端值而与其它中间 值没有关系，因此不能准确反映全部标志值的 变化状况，由此据全距得出的结论有时不够准 确，尤其是两个极端值与其它值偏离较大时， 用全距说明各标志值的变异程度则更不准确。
公式的变形
X f X f
i i i
fi Xi fi
X1 fi
f
i
f1
X2
f
f2
X n
f
fn
令
f
则有
X X11 X 2 2 X n n X i i
某车间生产三批产品的废品率分别是2%、 1%、4%，三批产量占全部产量的比重分 别是45%、30%、25%，试求该车间三批 产品的平均废品率。
几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。通 常用G表示。 几何平均数适合于计算现象比率或速度的平均 值，并且还要求现象在各阶段上的比率或速度 之积等于总比率或总速度。不满足上述条件计 算得到的几何平均值无实际意义。 几何平均数根据资料情况，可分为简单几何平 均数和加权几何平均数两种。前者适用于未分 组资料，后者适用于分组后的变量数列。
解：平均废品率
2% 45% 1% 30% 4% 25% 2.2%
某小贩以2元/千克的价格购进100千克苹 果，以3元/千克的价格卖出60千克，以 2.6元/千克的价格卖出40千克，剩余的20 千克以购进价卖出，平均名义卖价是多 少？实际平均每千克赚了多少？
解： 1、平均名义价格
700
1000 1500 2100 —
59
40 26 14 200
41300
40000 39000 29400 175000
要求：计算居民户月平均生活支出。
解：取组中值作Xi，户数作权数fi,中间计算过 程见上表。则居民户月平均生活支出为：
生活费用总额 Xf 175000 X 875元 户数 200 f
一、简单几何平均数
简单几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。
G n X1 X 2 X 3 X n n
X
式中： (Xi —数列中第i个变量值(i=1，2，…，n)
n —变量值个数
∏—连乘符号)
例如，生产某产品需连续经过4道工序，根 据经验，各道工序的合格率分别为98%、 95%、92%、90%，求该产品4道工序的平 均合格率
第四章 平均指标与
标志变异指标 Average indicator and variability indicator
第二节 算术平均数 arithmetic mean
一、算术平均数的基本计算公式
Basic formula of arithmetic mean
总体标志总量 算术平均数 总体单位总量
三、平均发展速度
设各个时期的发展水平为
a0 ， a1 ， a2 ， a3 ， …，an
平均发展速度的计算公式为
a1 a2 an n a0 a1 an 1
或者
平均发展速度 n 1 2 n
四、平均增长速度
1、已知发展速度υi
平均增长速度 n 1 2 n 1
(二)标志变异指标的作用
1.标志变异指标是评价平均数代表性的依 据。 2.标志变异指标可用来反映社会经济活动 过程的均衡性和稳定性。标志变异指标 值小，说明社会经济活动过程的均衡性 和稳定性好，反之则差。 3.标志变异指标还是抽样调查中计算抽样 误差和抽样数目的依据。
二、标志变异指标的种类和计算
算术平均数、调和平均数和几何平均数三 者间存在如下数量关系： H≤G≤X 并且只有当所有变量值都相等时，这三种 平均数才相等
第六节
标志变异指标
一、标志变异指标的概念和作
(一)标志变异的概念 标志变异指标也称标志变动度，是反映总体各 单位标志值之间差异程度的综合指标。 平均指标把总体各单位数量标志值间的差异抽 象化了，反映现象的一般水平，表明事物的集 中趋势。但被抽象化了的各单位标志值之间的 差异究竟有多大，平均指标的代表性又如何， 这需要计算标志变异指标来测定。
10 2 3 3 2
问题：如果不按复利计算，平均年利率是 多少？
解：设本金为C，则 平均年利率
平均利息 本金 2 C 5% 3 C 8% 3 C 10% 2 C 12% 10 C 2 5% 3 8% 3 10% 2 12% 2 3 3 2 8.8%
X
f
式中，fi为变量值Xi出现的次数，又称权数。
例如，投资银行某笔投资的年利率是按复 利计算的，10年的年利率分配是：第1年至 第2年为5%；第3年至第5年为8%；第6年至 第8年为10%；第9年至第10年为12%，则平 均年利率：
平均本利率 1 1.05 1.08 1.1 1.12 1 108.7743 % 1 8.7743%
X
i 1 n i 1
n
i
fi
i
f
Xf f
例：抽样调查某地200个3口之家的居民户，得其生活 费用支出资料如下表：
月生活费支出(元) 400以下 400-600 组中值Xi 300 500 户数(户)fi 26 35 X if i 7800 17500
600-800
800-1200 1200-1800 1800以上 合计
(一)简单调和平均数
简单调和平均数的计算公式是：
H
n 1 1 1 X1 X 2 Xn
n 1 X
式中： (X—变量值；n—总体单位总量。)
(二)加权调和平均数
由算术平均数的公式
X 1 f1 X 2 f 2 X n f n X f1 f 2 f n
据计算方法不同可将标志变异指标分为不同类型。 有一类是将总体标志值按顺序排列之后取特定位置 的标志值，求其离差，以表明次数分布的变化范围， 如全距指标，四分位数指标等。 另一类是求各标志值对平均数的平均离差来反映标 志值相对于平均数的离差程度，如平均差、标准差 (又称均方差)或方差等。 用上述标志变异指标还可以计算各种变异系数或离 散系数，以表示标志值离差的相对水平。 此外还有描述标志值分布状态的指标如偏度系数指 标和峰度系数指标，它们说明实际统计分布偏离正 态分布的程度。
平均合格率 4
X
i 1
4
i
4 98% 95% 92% 90% 4 0.770868 93.7%
二、加权几何平均数
当各个变量值的次数(权数)不相同时，应 采用加权几何平均数 。
G
f1 f 2 f n
X1 X 2 X n
f1
f2
fn
f
2、已知增长速度θi （1）已知利率、经济增长率θi
n 1 1 1 2 1 n 1
（2）已知废品率、淘汰率θi
1 n 1 1 1 2 1 n
有32支球队参加比赛，经5轮决出冠军， 求每一轮的平均淘汰率。 解：n=5
加权算术平均数公式
总体标志值 为y1、 y2 、 …、 yk ，将相同的标 志值分为一 组，共分n组。第一组有f1个，标志 值为X1， …，第n组有fn个，标志值为Xn 。
算术平均数公式
Yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Y2 Yk X k
Y
j 1
k
j
k
X 1 f1 X 2 f 2 X n f n f1 f 2 f n
X1 X 2 X n X n
X
i 1
n
i
n
X n
式中： X —算术平均数； X1，X2，…，Xn—总体各单位标志值；n—总体 单位数；∑—总和符号。
Σ的性质
1 、
2 、 3 、
CX X
n i 1 n
i
C Xi
i
Yi X i Yi
表4-5 企业 甲 三个企业实际计划完成情况表 计划完成(%) 95 实际完成数(万元) 95
乙
丙
102
108
153
410.4
合计
—
658.4
解：由计划完成相对数的计算公式和已知 条件，有：平均计划完成程度
实际完成数 计划任务数 95 153 410.4 95 153 410.4 95% 102% 108% 658.4 100% 104.51% 630
a0=32 an=1
1 1 5 50% 32
平均淘汰率 1 平均晋级率
几何平均数较之算术平均数，应用范围较窄， 它有如下特点： ①如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无 法计算G ②G受极端值影响较X和H小； ③它适用于反映特定现象的平均水平，即现象的 总标志值不是各单位标志值的总和，而是各单 位标志值的连乘积的情形。对于这类社会经济 现象，不能采用算术平均数反映其一般水平， 而需采用几何平均数。。
销售额 3 60 2.6 40 2 20 名义销售量 60 40 20 324 2.7元 / 千克 120
2、实际价差
销售额 实际售价 进价 进价 实际销售量 324 2 1.24元 / 千克 100
第三节 调和平均数 harmonic average
C nC
i 1 i
(X ？
Y ) X i nY
？
Xi Y i
X Y
i
i
三、加权算术平均数 weighted arithmetic mean
当掌握的资料是经过加工整理的变量数 列，并且各组的单位数不相等时，就需 要以各组的单位数为权数，采用加权的 办法计算平均指标。这样计算的平均指 标称为加权算术平均数。
某人购房欲贷款12万元，根据其资信水 平，贷款10万元的年利率是8%，若增加 2万元，则这12万元贷款的年利率变为 10%，求增加的2万元贷款的年利率。
解：
10 8% 2 i 平均年利率 10% 10 2
12 10% 10 8% i 20% 2
第四节 几何平均数 geometric mean
错啦！
200 10% 1000 13% 年利率 12.5% 200 1000
对啦！
分析
单位：万元
贷款 总额
年利 平均 平均 利息 利息 利息 率 利率 利率 10% 13% 20 11.5% 23 12.5% 25
200 1000 利息 合计
130 11.5% 115 12.5% 125 150 错误 138 正确 150
X
i 1 n i 1
n
i
fi
i
f
令 Xifi＝Mi
则有 fi=Mi/Xi 于是上式变为
M1 M 2 M n X Mn M1 M 2 X1 X2 Xn
M
i 1 i 1 n
n
i
Mi Xi
例2 已知甲、乙、丙三个企业的有关资料如表4-5， 要求计算这三个企业的平均计划完成程度。
平均数与强度相对数的区别
1、人均书籍20本
人均课本20本 强度 相对数
人均馆藏图书20本
2、人均耕地2亩 某地区人均耕地2亩 平均数
某村人均耕地2亩
二、简单算术平均数 simple arithmetic mean
将各单位的标志值xi直接相加得出标志总量， 再除以总体单位数n，就得到简单算术平均数。 用公式表示为
从以上例可以看出，计算平均数时，要依据客 观存在的经济关系式和已知条件作具体分析， 而不能简单地套用公式，否则容易出现错误。
某银行营业部只有两笔大额贷款,一笔为 200万元,年利率10%,另一笔为1000万元， 年利率13%,求该营业部大额贷款的平均年 利率。 年利率=（10%＋13%）÷2＝11.5%
(一)全距 range
全距又称极差，是总体各单位标志值中最大值 与最小值之差，常记为R。它表示标志值的变 化范围。 全距(R)=最大标志值－最小标志值 一般而言，全距的值愈小，则变量值愈集中， 表明标志值的变异程度小，反之则愈大。 但由于全距只决定于两个极端值而与其它中间 值没有关系，因此不能准确反映全部标志值的 变化状况，由此据全距得出的结论有时不够准 确，尤其是两个极端值与其它值偏离较大时， 用全距说明各标志值的变异程度则更不准确。
公式的变形
X f X f
i i i
fi Xi fi
X1 fi
f
i
f1
X2
f
f2
X n
f
fn
令
f
则有
X X11 X 2 2 X n n X i i
某车间生产三批产品的废品率分别是2%、 1%、4%，三批产量占全部产量的比重分 别是45%、30%、25%，试求该车间三批 产品的平均废品率。
几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。通 常用G表示。 几何平均数适合于计算现象比率或速度的平均 值，并且还要求现象在各阶段上的比率或速度 之积等于总比率或总速度。不满足上述条件计 算得到的几何平均值无实际意义。 几何平均数根据资料情况，可分为简单几何平 均数和加权几何平均数两种。前者适用于未分 组资料，后者适用于分组后的变量数列。
解：平均废品率
2% 45% 1% 30% 4% 25% 2.2%
某小贩以2元/千克的价格购进100千克苹 果，以3元/千克的价格卖出60千克，以 2.6元/千克的价格卖出40千克，剩余的20 千克以购进价卖出，平均名义卖价是多 少？实际平均每千克赚了多少？
解： 1、平均名义价格
700
1000 1500 2100 —
59
40 26 14 200
41300
40000 39000 29400 175000
要求：计算居民户月平均生活支出。
解：取组中值作Xi，户数作权数fi,中间计算过 程见上表。则居民户月平均生活支出为：
生活费用总额 Xf 175000 X 875元 户数 200 f
一、简单几何平均数
简单几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。
G n X1 X 2 X 3 X n n
X
式中： (Xi —数列中第i个变量值(i=1，2，…，n)
n —变量值个数
∏—连乘符号)
例如，生产某产品需连续经过4道工序，根 据经验，各道工序的合格率分别为98%、 95%、92%、90%，求该产品4道工序的平 均合格率
第四章 平均指标与
标志变异指标 Average indicator and variability indicator
第二节 算术平均数 arithmetic mean
一、算术平均数的基本计算公式
Basic formula of arithmetic mean
总体标志总量 算术平均数 总体单位总量
三、平均发展速度
设各个时期的发展水平为
a0 ， a1 ， a2 ， a3 ， …，an
平均发展速度的计算公式为
a1 a2 an n a0 a1 an 1
或者
平均发展速度 n 1 2 n
四、平均增长速度
1、已知发展速度υi
平均增长速度 n 1 2 n 1