三种高程异常拟合模型比较
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机（ Ｌｅ ａ ｓ ｔ ｓ ｑ ｕ ａ ｒ ｅ ｓ ｓ ｕ ｐ ｐ ｏ ｒ ｔ ｖ ｅ ｃ ｔ ｏ ｒ ｍａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｅ ，ＬＳ～
方 程 即可求 得测 试集 中平 面坐标 （ Ｘ１ ， Ｙ１ ） 的对应 高 程异 常值 。
２ ． ２ ＢＰ神 经 网络 模 型
Ｂ Ｐ神经 网络是 一 种 单 向传 播 的 多层 前 馈 网
ｈ — Ｈ ～ （ １ ）
ｆ （ Ｘ， ｙ）一 ＋ ｐ ｌ Ｘ ＋ ｙ ＋ Ｘ ＋ｐ ４ ＸＹ ＋ Ｙ
（ ３）
式中， ｈ为正 常高 ； Ｈ 为大地高 ； 为 高程异 常 ，
它是 似大地水准 面与参考椭球 面之间的 高程差值 。
式中， 为待定系数 ， 则 上 式 为 二 次 曲面 逼
２ Ｏ
・ 北 京测 绘 ・
２ ０ １ ４年 第 ６期
三 种高 程 异 常 拟 合 模 型 比较
邹 明普 叶 芬
（ 湖 南省 第 一 测绘 院 ， 湖南 衡阳 ４ ２ １ ０ ０ １ ）
［ 摘 要 ］ 将 二 次 曲 面 、 Ｂ Ｐ神 经 网络 、 最 小 二 乘 支持 向 量 机 应 用 与 高 程 异 常拟 合 ， 并 用 某地 区 数 据 进 行 了 实验 验 证 ， 结果 表 明 ， 最 小 二 乘 支持 向 量机 应 用 于 高 程 异 常 拟 舍 精 度 最 优 。 ［ 关键词］ 高程 异 常 二 次 曲 面 Ｂ Ｐ神 经 网 络 最 小 二 乘 支持 向 量 机 ［ 中 图分 类 号 ］ Ｐ ２ ２ ８ ． ４ ［ 文 献标 识 码 ］ Ｂ ［ 文章编号］ １ ０ ０ ７ —３ ０ ０ ０ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ６ —４
Ｓ ＶＭ） 适合 处理 小样 本 、 高维 数 以及 非 线 性 和 局 部极 小点 等 问 题 ， 解决了 Ｂ Ｐ神 经 网 络 处 理 这 些
问题容 易 造 成 的 “ 过 学 习” ， “ 陷入局 部最 优” 和 “ 维数灾 难 ” 等 ］ ， 将 Ｌ Ｓ～Ｓ ＶＭ 模 型 应 用 在 高
本 文分 别采 用 上 述 三种 模 型 ， 进 行 了 某 区 域
常值 ∈ 作 为 目标 向量 进行 建模 。
内高程 异常 的拟 合 ， 并对结 果做 了比较分 析 。
将 测试 集 中平 面坐标 （ Ｘ１ ， Ｙ１ ） 代 入训 练好 的
模型 ， 输 出 即得 对应 的高 程异 常值 。
近模 型 。 根 据学 习集 中平 面 坐 标 （ Ｘ， Ｙ） ， 依 据最 小 二 乘 原则 即可 求 得模 型 系数 届 。 由己知 的 曲 面
只要在一个 区域 内精 确确定 高程 异 常 ， 就可 以求 出正常高 ， 减少 了对传 统水准测量 的依赖［ １ ］ 。 ＧＰ Ｓ高程 异 常 拟 合 常 用 的模 型 是 二 次 曲 面 模型 ， 该 模 型对高 程 异 常 的 中长 波 项 有较 好 的拟 合效果 ， 但 是对似 大 地 水 准 面做 了某 些 人 为 的假 设， 存 在一 定 的模 型误 差 － ２ ； 基于 Ｂ Ｐ神 经 网 络模 型 的高程异 常 拟 合 是 一种 自适 应 映射 关 系 ， 能够 有效 避免 未知 非线性 因 素 的影 响 ，减少 模 型 误差 ， 但是 存 在 网 络 参 数 难 以确 定 、 收 敛 速 度 慢 且 容易 陷入局 部极 值 点 ］ 。最 小 二乘 支持 向量
２ ． ３ 最 小 二 乘 支 持 向量 机
２ 模 型 Baidu Nhomakorabea 绍
２ ． １ 二 次 曲面 模 型
设训 练样 本 集 为 Ｄ ＝ （ ｚ ， Ｙ 。 ） ， ｉ ＝ ＝ ＝１ ， ２ ， …，
设测 站点 的高 程异 常 与平 面坐 标 （ Ｘ， ｙ）
ｚ， ｚ ∈ Ｒ” 为输 人数据 ， Ｙ ∈ Ｒ 为相应 的输 出数
１ 引言
ＧＰ Ｓ定 位技 术 可 以 直 接 得 到 点 位 坐 标 和 大
有 以下 的关 系 ：
一 ，（ Ｘ， ｙ）＋ （ ２ ）
式中， ｆ （ Ｘ， ｙ）为 的趋势 值 ， 为误差 。
设
地高， 但 是实 际测 量 中采 用 的是 正 常高 ， 因此 ， 须
将 ＧＰ Ｓ大地 高转化 成正 常高 ， 其转 换公式 为 ：
非线 性建 模 ， 函数 逼近 等 。
基于 Ｂ Ｐ神 经 网 络模 型 对 高 程 异 常 拟 合 时 ， 将 学 习集数 据分 为训 练集 和验 证 集 ， 利 用 训 练 集 中平 面坐标 （ Ｘ， Ｙ） 作 为输 入 向量 ， 对 应 的高 程 异
程 异 常拟合 也取 得 了较优 的精度 ］ 。
络， 由输 入 层 、 隐 含 层 和 输 出层 组 成 。层 与层 之 间采 用 全 互 连 方 式 ， 同 一 层 之 间 不 存 在 相 互 连
接， 隐 含 层 可 以 有 一 个 或 多 个 。 理 论 上 已 经 证
明， 一个 三层 的 Ｂ Ｐ神 经 网络 可 以 以任 意 精 度 逼 近任 意连 续 函数 ， 因此 ， Ｂ Ｐ神 经 网络 广 泛应 用 于
［ 收 稿 日期 ］ ２ ０ １ ４ —０ ６ —１ ［ 作者简介］ 邹明普（ １ ９ ７ ７ 一） ， 男， 汉族 ， 云南腾冲人 ， 工程师 ， 主 要从 事 城镇 地籍 测 绘 管理 与工 程 测 量 管 理 等 工 作 。
２ ０ １ ４ 年第 ６ 期
・ 北京测绘 ・
据， ｌ 为训 练样本 个数 。
函数估计 问题 可 以描 述为求 解如下 公式 ：
ｍｉ ｎ Ｊ
… ”
根 据公 式 （ ３ —１ ０ ） ， 求解 得 ： 、
）一 １（ Ｕ 叫 ＋ｙ １ ∑８ 。
ｉ ｌ
］ ＝ ［ ｏ ］
一
一
㈣
Ｋ（ ｘ 女 ， ｚ ）
约 束条 件 ： Ｙ 一 （ ｚ ）×叫＋ ｂ ＋ ８， ｉ ；１ ， ２ ， …， ｌ
方 程 即可求 得测 试集 中平 面坐标 （ Ｘ１ ， Ｙ１ ） 的对应 高 程异 常值 。
２ ． ２ ＢＰ神 经 网络 模 型
Ｂ Ｐ神经 网络是 一 种 单 向传 播 的 多层 前 馈 网
ｈ — Ｈ ～ （ １ ）
ｆ （ Ｘ， ｙ）一 ＋ ｐ ｌ Ｘ ＋ ｙ ＋ Ｘ ＋ｐ ４ ＸＹ ＋ Ｙ
（ ３）
式中， ｈ为正 常高 ； Ｈ 为大地高 ； 为 高程异 常 ，
它是 似大地水准 面与参考椭球 面之间的 高程差值 。
式中， 为待定系数 ， 则 上 式 为 二 次 曲面 逼
２ Ｏ
・ 北 京测 绘 ・
２ ０ １ ４年 第 ６期
三 种高 程 异 常 拟 合 模 型 比较
邹 明普 叶 芬
（ 湖 南省 第 一 测绘 院 ， 湖南 衡阳 ４ ２ １ ０ ０ １ ）
［ 摘 要 ］ 将 二 次 曲 面 、 Ｂ Ｐ神 经 网络 、 最 小 二 乘 支持 向 量 机 应 用 与 高 程 异 常拟 合 ， 并 用 某地 区 数 据 进 行 了 实验 验 证 ， 结果 表 明 ， 最 小 二 乘 支持 向 量机 应 用 于 高 程 异 常 拟 舍 精 度 最 优 。 ［ 关键词］ 高程 异 常 二 次 曲 面 Ｂ Ｐ神 经 网 络 最 小 二 乘 支持 向 量 机 ［ 中 图分 类 号 ］ Ｐ ２ ２ ８ ． ４ ［ 文 献标 识 码 ］ Ｂ ［ 文章编号］ １ ０ ０ ７ —３ ０ ０ ０ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ６ —４
Ｓ ＶＭ） 适合 处理 小样 本 、 高维 数 以及 非 线 性 和 局 部极 小点 等 问 题 ， 解决了 Ｂ Ｐ神 经 网 络 处 理 这 些
问题容 易 造 成 的 “ 过 学 习” ， “ 陷入局 部最 优” 和 “ 维数灾 难 ” 等 ］ ， 将 Ｌ Ｓ～Ｓ ＶＭ 模 型 应 用 在 高
本 文分 别采 用 上 述 三种 模 型 ， 进 行 了 某 区 域
常值 ∈ 作 为 目标 向量 进行 建模 。
内高程 异常 的拟 合 ， 并对结 果做 了比较分 析 。
将 测试 集 中平 面坐标 （ Ｘ１ ， Ｙ１ ） 代 入训 练好 的
模型 ， 输 出 即得 对应 的高 程异 常值 。
近模 型 。 根 据学 习集 中平 面 坐 标 （ Ｘ， Ｙ） ， 依 据最 小 二 乘 原则 即可 求 得模 型 系数 届 。 由己知 的 曲 面
只要在一个 区域 内精 确确定 高程 异 常 ， 就可 以求 出正常高 ， 减少 了对传 统水准测量 的依赖［ １ ］ 。 ＧＰ Ｓ高程 异 常 拟 合 常 用 的模 型 是 二 次 曲 面 模型 ， 该 模 型对高 程 异 常 的 中长 波 项 有较 好 的拟 合效果 ， 但 是对似 大 地 水 准 面做 了某 些 人 为 的假 设， 存 在一 定 的模 型误 差 － ２ ； 基于 Ｂ Ｐ神 经 网 络模 型 的高程异 常 拟 合 是 一种 自适 应 映射 关 系 ， 能够 有效 避免 未知 非线性 因 素 的影 响 ，减少 模 型 误差 ， 但是 存 在 网 络 参 数 难 以确 定 、 收 敛 速 度 慢 且 容易 陷入局 部极 值 点 ］ 。最 小 二乘 支持 向量
２ ． ３ 最 小 二 乘 支 持 向量 机
２ 模 型 Baidu Nhomakorabea 绍
２ ． １ 二 次 曲面 模 型
设训 练样 本 集 为 Ｄ ＝ （ ｚ ， Ｙ 。 ） ， ｉ ＝ ＝ ＝１ ， ２ ， …，
设测 站点 的高 程异 常 与平 面坐 标 （ Ｘ， ｙ）
ｚ， ｚ ∈ Ｒ” 为输 人数据 ， Ｙ ∈ Ｒ 为相应 的输 出数
１ 引言
ＧＰ Ｓ定 位技 术 可 以 直 接 得 到 点 位 坐 标 和 大
有 以下 的关 系 ：
一 ，（ Ｘ， ｙ）＋ （ ２ ）
式中， ｆ （ Ｘ， ｙ）为 的趋势 值 ， 为误差 。
设
地高， 但 是实 际测 量 中采 用 的是 正 常高 ， 因此 ， 须
将 ＧＰ Ｓ大地 高转化 成正 常高 ， 其转 换公式 为 ：
非线 性建 模 ， 函数 逼近 等 。
基于 Ｂ Ｐ神 经 网 络模 型 对 高 程 异 常 拟 合 时 ， 将 学 习集数 据分 为训 练集 和验 证 集 ， 利 用 训 练 集 中平 面坐标 （ Ｘ， Ｙ） 作 为输 入 向量 ， 对 应 的高 程 异
程 异 常拟合 也取 得 了较优 的精度 ］ 。
络， 由输 入 层 、 隐 含 层 和 输 出层 组 成 。层 与层 之 间采 用 全 互 连 方 式 ， 同 一 层 之 间 不 存 在 相 互 连
接， 隐 含 层 可 以 有 一 个 或 多 个 。 理 论 上 已 经 证
明， 一个 三层 的 Ｂ Ｐ神 经 网络 可 以 以任 意 精 度 逼 近任 意连 续 函数 ， 因此 ， Ｂ Ｐ神 经 网络 广 泛应 用 于
［ 收 稿 日期 ］ ２ ０ １ ４ —０ ６ —１ ［ 作者简介］ 邹明普（ １ ９ ７ ７ 一） ， 男， 汉族 ， 云南腾冲人 ， 工程师 ， 主 要从 事 城镇 地籍 测 绘 管理 与工 程 测 量 管 理 等 工 作 。
２ ０ １ ４ 年第 ６ 期
・ 北京测绘 ・
据， ｌ 为训 练样本 个数 。
函数估计 问题 可 以描 述为求 解如下 公式 ：
ｍｉ ｎ Ｊ
… ”
根 据公 式 （ ３ —１ ０ ） ， 求解 得 ： 、
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一
一
㈣
Ｋ（ ｘ 女 ， ｚ ）
约 束条 件 ： Ｙ 一 （ ｚ ）×叫＋ ｂ ＋ ８， ｉ ；１ ， ２ ， …， ｌ