连杆机构优化设计

例7-1 要求设计一个曲柄摇杆机构，当原 ~ ( 90 ) 动件曲柄的转角 ，要求从动件 0 0 2 ( )。 摇杆的输出角实现函数 3
2 0 0


解：1、建立数学模型 1）确定设计变量 曲柄摇杆机构按照原动件和从动件角度对应 关系的独立参数有： l 2 和 l 3 ；取曲柄为单位长度 l1 1； 两杆长度： 根据结构的实际情况，预选机架长度 l4 5。 曲柄和摇杆初始位置角 0 , 0 ，分别为对应摇 杆在右极限位置时，曲柄和摇杆与机架夹角。
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设曲柄转角 从0 ~ (0 90 ) 区间内均匀的 离散点数为 s ； i 是各个离散点的序号。

si 是实际输出角，根据的机构运动几何关系
(0 i ) i i si ( i 2 ) i i 式中，根据图示 BDC 和 ABD 余弦定理有
g 7 ( X ) x1 x2 4 0
l3 l 4 l1 l 2 l 2 l 4 l1 l3

起作用约束条件是机构传动角约束条件，它 们围成可行域。
连杆机构 的设计平面

2 、优化方法和计算 结果
采用约束随机方向法求 解。在可行域内取初始 点
X (0) x1( 0 ) 4.5 (0) x2 4
2）建立目标函数 取机构输出角的平方偏差最小为设计目标
min f ( X ) ( i si ) 2
i 0 s


式中， i 是期望输出角
2 i 0 ( i 0 ) 2 3
i i 0 2 s

(i 0,1,2,, s )


式中，l1 是曲柄的长度； l 2 是连杆的长度。

建立该机构的设计目标(最小传动角最大)
max f ( X ) min l1 e arccos l2

或者
l1 e min f ( X ) l2

在 AC1C2中，根据余弦定理和正弦定理分别有
2 (l 2 l12 ) sin e H
2 x12 x2 16 cos45 2 x1 x2
2 g1 ( X ) x12 x2 1.414x1 x2 16 0
cos min cos max
2 x12 x2 36 g ( X ) x 2 x 2 1.414x x 36 0 1 2 1 2 cos135 2 2 x1 x2
2 (l1 l 2 ) 2 l32 l 4 0 arccos 2(l1 l 2 )l 4
2 (l1 l 2 ) 2 l32 l 4 0 arccos 2l3l 4

设计变量为
l 2 x1 X l 3 x 2
7.2 连杆机构的优化设计


连杆机构运动学的优化设计问题，一般是根 据机构运动学参数来建立目标函数。如取连 杆机构实现运动（如构件位移、某动点轨迹 等）是由机构运动几何参数关系导出的运动 参数函数，要求它与预定运动函数在给定运 动范围内的误差最小。 在连杆机构动力学的优化设计方面，比较简 单的是用机构中的压力角和传动角作为对机 构进行运动分析和动力分析的重要指标，为 了获得最佳的传力性能，要求选择最佳的机 构运动学参数，使机构运动最大压力角最小 或最小传动角最大。

②曲柄存在的杆长之和条件，得到约束条件
l 2 l1
l3 l1
g 3 ( X ) x1 1 0
g 4 ( X ) x2 1 0
l 2 l3 l1 l 4
g 5 ( X ) x1 x2 6 0
g 6 ( X ) x1 x2 4 0
H 50mm e 20 mm K 1已知偏置曲柄滑块机构的行程速比系 .5 例7-2 数 ，滑块行程 ，偏距 。 当原动件曲柄作整周匀速转动时，为了获得良 好的传力性能，要求按照滑块在整个行程中的 最小传动角最大，试确定机构的运动结构参数。 解：由于偏置曲柄滑块机构的最小传动角位 于曲柄与滑块导路垂直，而且曲柄上铰链B 离导路较远处，这时 l1 e min arccos l2
x max H 50 25 2 2
xmin
H (1 cos ) 50(1 cos36 ) 8.122992 2 sin 2 sin 36

采用一维优化的黄金分割法，搜索区间 5 [ a , b ] [ 8 . 122992 , 25 ] 10 为 ，取收敛精度 。 在每一次迭代计算中，将得到的设计变量 x（即曲柄长度 l1）值，代入到式（7-5）中 确定对应的连杆长度 l 2 值；将 l1 和 l 2 代 入到式（7-6）中确定对应的偏距 e 值； 再将它们代入到式目标函数表达式中确定 对应的值。最后得到优化结果：
l1* x* 22.53724mm

代入式（7-5）与（7-6）中，得到连杆长 度和偏距对应的最佳值
l 41.6409 mm
* 2
e* 14.41253mm
ri 2 24 i arccos 10 ri


2 ri 2 x2 x12 i arccos 2ri x2
ri 26 10cos i
3）确定 约束条件

①为了使机构的传力性能良好，机构的最小传动角 为 min 45，或最大传动角 max 135 （曲柄在与 机架共线的位置）。得到约束方程


步长 0.1 ，收敛精 度 0.0001 ，经过9次 迭代，得到最优解为
* l 2 4.1286 x * 1 X * l 2 . 3325 x 2 3

最优点位于约束曲线 g1 ( X ) 0 上。
l2
H 2 2l12 (1 cos ) 2(1 cos )

可见，当滑块行程和极位夹角（行程速比系数） 已知时，连杆长度和偏距与曲柄长度相关，它们 不是独立的设计参数。 机构极位夹角根据已知的行程速比系数计算得到
K 1 K 1

取曲柄长度 x l1作为设计变量，它的取值范围可 以按照下面的关系确定