第一章 有限元法的理论基础

♦梯形悬臂梁的有限元分析：
假定单元在y方向的位移函数是x的三次多项式
v ( x ) = α1 + α 2 x + α 3 x 2 + α 4 x 3
α1 ,"α 4 是常数，由单元边界条件决定。
在简单梁的弯曲理论中
dv ( x ) = α 2 + 2α 3 x + 3α 4 x 2 dx d 2v M = EI 2 = EI (2α 3 + 6α 4 x) dx
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第1章 有限元法的理论基础__简例
♦二杆结构简例的有限元分析步骤：
(1)结构离散化
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第1章 有限元法的理论基础__简例
¾单元特性分析： (2)求单元的节点力和节点位移的关系 状态一：设节点A被固定
节点B作用于单元①上的力为： 节点A作用于单元①上的力为：
♦梯形悬臂梁的有限元分析：
为什么选择多项式作为位移函数？
选择三次多项式能保证单元具有下列运动和变形： (a)保证能具有刚体运动(当 α1 ≠ 0 时) ； (b)具有刚体转动项(当α 2 ≠ 0 时)； (c)具有弯曲应变(当 α 3 ≠ 0 时)； (d)具有剪切应变(在y方向，当α 4 ≠ 0 时)。 v ( x ) = α1 + α 2 x + α 3 x 2 + α 4 x 3
简写为
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F = Kδ
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式中， K 为刚度矩阵。
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第1章 有限元法的理论基础__概述
¾节点和单元：
将结构离散化为有限个数目的单元。图中，①，② 单元的端点(或顶点)，称为节点 。图中，A，B，C ¾节点载荷和节点力： 作用在节点上的载荷称为节点载荷。图中，FB，FC 节点与单元之间的相互作用力，称为节点力。 ¾节点位移： 节点位置的变动，称为节点位移。
¾刚度矩阵： 作用有广义力 Fi 的弹性体产生 相应的广义位移 δi (线位移和转角)。 弹性体服从虎克定律和微小变 形的假定，按叠加原理得 δi = ci1F1 + ci 2 F2 + " + cij F j + " + cin Fn cij 为单位载荷 (Fj = 1) 作用在j点上而在i点 Fj 方向上产生的 位移，称之为柔度系数(或位移影响系数)。 反过来,用位移来表示所产生的力 Fi = ki1δ1 + ki 2δ 2 + " + kii δi + " + kinδ n
[ p]
式中
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= [ k ] [δ ]
e
e
⎡ k1 e k = [ ] ⎢ ⎣ − k1
− k1 ⎤ ⎡ k11 =⎢ ⎥ k1 ⎦ ⎣ k21
k12 ⎤ k22 ⎥ ⎦
为单元刚度矩阵
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第1章 有限元法的理论基础__简例
¾单元特性分析：
同理，得单元②的节点力和节点位移之间的关系式
将α 3 和α 4 代入矩阵，得
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第1章 有限元法的理论基础__简例
♦梯形悬臂梁的有限元分析：
6l ⎡ Fi ⎤ ⎡ 12 ⎢M ⎥ ⎢ 6l 4l 2 EI ⎢ i⎥= ⎢ 3 ⎢ Fj ⎥ l ⎢ −12 −6l ⎢ ⎥ ⎢ 2 M 6 2 l l ⎢ ⎥ j ⎣ ⎣ ⎦ −12 6l ⎤ ⎡ vi ⎤ ⎢θ ⎥ −6l 2l 2 ⎥ ⎥⎢ i ⎥ 12 −6l ⎥ ⎢ v j ⎥ ⎥ 2⎥⎢ −6l 4l ⎦ ⎢ ⎣θ j ⎥ ⎦
θ=
d 2v M = EI 2 = EI (2α 3 + 6α 4 x) dx dM d 3v F= = EI 3 = 6 EI α 4 dx dx
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dv ( x ) = α 2 + 2α 3 x + 3α 4 x 2 dx
第1章 有限元法的理论基础__简例
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第1章 有限元法的理论基础__简例
¾整体特性分析：
(4)代入边界条件求解节点位移及支反力 代入边界条件 u A = 0，得
分解成两个矩阵方程
求得
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第1章 有限元法的理论基础__简例
¾整体特性分析：
(5)求解每个单元的应力 由材料力学 对于单元①
¾采用不同的变分原理，得到不同的未知场变量。 ¾当采用势能原理时，必须假设单元内位移场函数的形式，这种有
限元分析方法称做位移法或协调法。 ¾当采用余能原理时，须假设应力场的形式，这种方法称为力法或 平衡法。 ¾当采用雷斯纳原理时，就必须同时假设某些位移和某些应力，因 而这种方法称为混合法。
¾用有限元法作振动分析时，很有用的变分原理是汉密尔顿原理。 ¾静态分析时，对大多数问题，应用位移法较为简单，因此这种方
F1 = k11δ1 + k12δ 2 + " + k1nδ n ⎫ F2 = k21δ1 + k22δ 2 + " + k2 nδ n ⎪ ⎪ """"""""""""⎪ ⎪ ⎬ Fi = ki1δ1 + ki 2δ 2 + " + kinδ n ⎪ """"""""""""⎪ ⎪ Fn = kn1δ1 + kn 2δ 2 + " + knnδ n ⎪ ⎭
第1章 有限元法的理论基础__概述
♦有限单元法的几个物理概念：
¾刚度： 弹簧受有力和伸长量之间的关系为
F = ku k 是使弹簧产生单位位移(变形)需要
加在弹簧上的力，称之为弹簧的刚度 系数，简称为刚度。
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第1章 有限元法的理论基础__概述
♦有限单元法的几个物理概念：
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第1章 有限元法的理论基础__作业
Ħ 作业： 2 如下图所示，有5个弹簧连结在一起，每个弹簧 的刚度系数由图上标出，求：
θ=
dM d 3v F= = EI 3 = 6 EI α 4 dx dx
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第1章 有限元法的理论基础__简例
♦梯形悬臂梁的有限元分析：
在节点i和节点j上，有 vi = v(0) = α1
Fi = 6 EIα 4 M i = −2 EIα 3
2 3
θi = θ (0) = α 2
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第1章 有限元法的理论基础__简例
¾单元特性分析： 状态二：设节点B被固定
节点A作用于单元①上的力为： 节点B作用于单元①上的力为： 式中， k1 为单元①的刚度系数
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k1 =
EA1 l1
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第1章 有限元法的理论基础__简例
¾单元特性分析：
简写成
F e = K eδe
符号：与坐标轴方向一致为正。
⎡ Fi ⎢M i ⎢ ⎢ Fj ⎢ ⎢ ⎣M j
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⎤ ⎡ F (0 ) ⎤ ⎥ ⎢ − M (0 ) ⎥ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ − F (l ) ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ M l ( ) ⎥ ⎣ ⎦ ⎦
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第1章 有限元法的理论基础__简例
k12 " k1i " k1n ⎤ ⎡ δ1 ⎤ ⎫ ⎢δ ⎥ ⎪ k22 " k2i " k2 n ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥⎪ # " # " # ⎥ ⎢ # ⎥⎪ ⎪ ⎥ ⎢ ⎥⎬ ki 2 " kii " kin ⎥ ⎢ δ i ⎥⎪ # " # " # ⎥ ⎢ # ⎥⎪ ⎥ ⎢ ⎥⎪ kn 2 " kni " knn ⎥ ⎪ ⎦⎢ ⎣δ n ⎥ ⎦⎭
两种状态的结果叠加，得到单元①的节点力与 节点位移间的关系
用矩阵表示为
[ p ]e表示单元节点力向量， [δ ]e 表示单元节点位移向量，得
⎡ PA ⎤ ⎡ k1 ⎢ ⎥=⎢ ⎣ PB ⎦ ⎣ − k1
− k1 ⎤ ⎡u A ⎤ ⎡ k11 =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ k1 ⎦ ⎣u B ⎦ ⎣ k21
e
k12 ⎤ ⎡u A ⎤ ⎢u ⎥ k22 ⎥ ⎦⎣ B⎦
(2)梁单元的单元刚度矩阵 对于任一单元m，长度、惯性矩和弹性模量分别为 Lm , I m , Em 节点两端编号为i和j，受力后产生y方向的位移和转角
vi , v j , θi , θ j
而相应y方向的力和力矩 Fi , Fj , M i , M j
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第1章 有限元法的理论基础__简例
l l l l 2vi θi 2v j θ j α4 = 3 + 2 − 3 + 2 l l l l
上式表示成矩阵形式
⎡ Fi ⎤ ⎡ F (0) ⎤ ⎡0 6⎤ ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −2 0 ⎥ α M − (0) i ⎢ ⎥=⎢ ⎥ = EI ⎢ ⎥⎡ 3⎤ ⎥ ⎢ Fj ⎥ ⎢ − F (l ) ⎥ ⎢ 0 −6 ⎥ ⎢ α ⎣ 4⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 2 6l ⎦ ⎣M j ⎥ ⎦ ⎣ M (l ) ⎦
用矩阵表示为 同样，得
式中
⎡ PB ⎤ ⎡ k2 ⎢ ⎥=⎢ ⎣ PC ⎦ ⎣ − k2
− k2 ⎤ ⎡u B ⎤ ⎡ k22 =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ k2 ⎦ ⎣uC ⎦ ⎣ k32
e e
k23 ⎤ ⎡u B ⎤ ⎢ ⎥ k33 ⎥ ⎦ ⎣uC ⎦
[ p]
⎡ k2 e k = [ ] ⎢ ⎣ − k2
e
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第1章 有限元法的理论基础__总结
¾整体结构总刚度矩阵的特点：
①对称性。由功的互等定理决定。 ②任一行(列)元素之和为零。反映了平衡条件。 ③主对角线上元素均为正值。 ④总刚矩阵是一个奇异矩阵，即其行列式为零。
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第1章 有限元法的理论基础__理论基础 ♦有限元法的理论基础： ¾有限单元法在应用中，根据变分原理来推导单元特性和有限元方 程。 ¾最常用的变分原理是：最小势能原理、余能原理和雷斯纳原理。
= [ k ] [δ ]
− k2 ⎤ ⎡ k22 =⎢ ⎥ k2 ⎦ ⎣ k32
k2 = EA2 l2
k23 ⎤ k33 ⎥ ⎦
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第1章 有限元法的理论基础__简例
¾整体特性分析： (3)建立节点的受力平衡方程式 节点A的平衡方程式
节点B的平衡方程式
节点C的平衡方程式
♦梯形悬臂梁的有限元分析：
(3)单元刚度矩阵组集为总刚矩阵
(4)求解线性代数方程组 求解以前加入约束条件，用高斯消元法求解方程。
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第1章 有限元法的理论基础__作业
Ħ 作业： 1 简述下列原理的基本内容 (1)虚位移原理； (2)最小势(位)能原理； (3)最小余能原理。
v j = v(l ) = α1 + α 2l + α 3l + α 4l
Fj = −6 EIα 4 M j = EI (2α 3 + 6α 4l )
θ j = θ (l ) = α 2 + 2α 3l + 3α 4l
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将α1 和α 2代入后两式，得 3vi 2θi 3v j θ j + 2 − α3 = − 2 +
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第1章 有限元法的理论基础__简例
¾整体特性分析： 写成矩阵形式为
简写成
[ P ] = [ K ][δ ] 或
P = Kδ
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第1章 有限元法的理论基础__简例
¾整体特性分析： 为整体结构节点载荷列阵
为整体刚度矩阵 或总刚矩阵 为整体结构节点位移列阵
法得到了广泛的应用。本课程主要介绍位移法。
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第1章 有限元法的理论基础__简例
♦梯形悬臂梁的有限元分析：
(1)结构离散化
假定：梁的长度比宽度大得多，为简单均匀的梁单元。
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第1章 有限元法的理论基础__简例
♦梯形悬臂梁的有限元分析：
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第1章 有限元法的理论基础__概述 ¾刚度矩阵： 对n个点，可写出n个表示式
写成矩阵形式为
⎡ F1 ⎤ ⎡ k11 ⎢ F ⎥ ⎢k ⎢ 2 ⎥ ⎢ 21 ⎢" ⎥ ⎢ # ⎢ ⎥= ⎢ ⎢ Fi ⎥ ⎢ ki1 ⎢" ⎥ ⎢ # ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ Fn ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ kn1
对于单元②
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第1章 有限元法的理论基础__总结
¾有限单元法的分析步骤和特点： (1) 将构件离散成许多简单的单元，单元通过节点 相互连结起来。 (2)求出各单元刚度矩阵。 (3)求整个结构的总刚度矩阵。 (4)求解节点位移和支反力。 (5) 求各单元中的应力，当节点位移求得后，各单 元中的应力则较易求出。