大学物理统计物理学基础

普遍性和可信性
知其然而不知其所以然
统计规律 揭示热现象微观本质
20.1
统计规律与概率理论
4
物质的微观模型 1.宏观物体由大量微粒—分子(原子)组成的
N A 6.022 1023 mol-1
2.物质的分子在永不停息地做无序热运动
扩散 布朗运动
f
斥力 合力
3.物质的分子存在相互作用力
r s rt s 9～ 15 f
经典粒子 微观粒子（与经典粒子的区别） 费密子 玻色子 寻找并掌握平衡状态（概率最大的状态）下粒子的分布规律 麦克斯韦-玻尔兹曼统计（M-B 分布）经典粒子按能量的分布。
费米-狄拉克统计（F-D 分布） 费密子（电子）按能级的分布。
玻色-爱因斯坦（B-E 分布）玻色子（光子）按能量 hν的分布。
（热辐射规律）
dt时间内,凡是在底面积为ds, 高为vixdt 的斜柱体内, 的分子都能与 ds 相碰.
这些分子作用于 ds 冲量为 2mvix ni dsvix dt , dt内各种速度分子对ds 的总冲量为:
1 2 2 dI 2mvix ni ds vix dt 20mvixn i dsdt mni vix dsdt 2 vi 0,vi vix 0 i
0 W 1 W=0为不可能事件; W=1为必然事件.
(2) A,B为互斥事件,不可能同时出现,则出现A或B的总概率:
W WA WB
（3）归一化条件:
n n
--- 概率叠加原理
对所有可能发生的事件的概率之和必为1.
Ni Ni N lim Wi N N N N 1 或 i 1 i 1
0.082 atm l mol 1 k 1
玻尔兹曼常数
k 1.38066 10 23 J k 1
R NA k
阿伏伽德罗常数 N A 6.022 10 23 mol 1
20.2.4
理想气体温度公式
21
1.温度----描述宏观热力学系统平衡态的一个物理量 2.温度----分子热运动剧烈程度 3.温度----一个统计概念，是大量分子的集体行为 4.温度----温度是气体分子平均平动动能的量度 5.温度----气体分子热运动的方均根速率
不随时间改变的状态。
13
平衡态： 在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质
动态平衡
p ,V , T
平衡态的特点 1）单一性;
真空膨胀
2）稳定性；
3）自发过程的终点；
p ' ,V ' , T
4）热动平衡.
系统处于平衡态时,系统的宏观量具有稳定值,而单个粒 子的微观量在不断变化.
平衡态是概率最大的状态
1
热是人类最早发现的 一种自然力，是地球 上一切生命的源泉。 —恩 格斯
热学的基本内容
一个系统 两个方面 两种途径 两种方法 若干规律
2
热系统（气体系统）
系统的状态
系统的过程
宏观 热力学方法
微观 统计力学方法
宏观
微观
热力学方法
统计力学方法
热学是研究物质热现象规律的学科
第20章
统计物理学基础
3
热现象：与宏观物体的冷热状态相联系的自然现象 研究热现象的性质和规律 — 热学 宏观物体是由大量不停地运动的分子组成。 用牛顿力学求解每个质点的运动，实际上不可能。 1. 热力学 宏观理论 实验 逻辑推理 热力学三大定律 2.统计物理 微观理论 模型 统计方法
推导中用到的统计概念和统计假设: ①分子以各种方向入射角去碰ds的概率相同 ②平衡状态下分子沿任何方向的运动都不占优势，因而有: 1 2 2 2 2 vx v y vz v 3 ③ 气体分子相互碰撞时,一个分子失去多少动量必有另 一个分子得到相同的动量. 分子相互碰撞导致分子与ds碰撞的次数增加和减 少的机会是相同的, 推导未考虑分子间的相互碰撞.
dw 1
(4) J,K为相容事件(可同时出现），则同时发生J和K的概率.
W WK WJ ----
概率乘法定理
20.1.3 统计平均
系统的宏观量是在测量时间内,系统所有微观状 态中相应的微观量的统计平均值! 统计平均值 对物理量M进行N次测量，其统计平均值为
A lim
N
10
A1 N1 A2 N 2 An N n N N A1 lim 1 A2 lim 2 ... N N N N N1 N 2 N n Nn N
这些分子作用于 ds 冲量为 2mvix ni dsvix dt , dt内各种速度分子对ds 的总冲量为:
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1 2 2 dI 2mvix ni ds vix dt 2mvix n i dsdt mni vix dsdt 2 i vix 0 i
dI 2 mni vix 因而 压强 p dtds i
An lim
N
N N1 N 2 N n
Ni Wi lim (即Ai出现的概率） N N
所以 A AW1 A2W2 AnWn AWi 1 i
i 1
n
11
20.1.4
涨落
20.2 温度与压强
12
20.2.1
微观量与宏观量
热学的研究对象： 大量微观粒子组成的宏观体系 热力学系统 或简称系统 阿伏伽德罗常数 NA= 6.023 ×10



(s t )
r0
O
d
r
引力
t 4～7
气体系统的特点：大量，杂乱无章（布朗运动），
5
无法建立动力学方程 实验发现，大量分子运动符合统计规律
统计方法的一般概念 20.1.1. 伽尔顿板实验:

(1)气体分子看成质点 (2)除碰撞外,忽略其它力 (3)完全弹性碰撞
推导:理想气体微观模型.
v'i ds x vi
vi =2vix
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ds v x
v'i
vi vixdt
推导理想气体压强公式用图
速度在 vi ~ vi dvi
的分子一次碰撞ds后的动量变化为
2mvix
而且速度在 v ~ v dv i i i
由于 v
2 x
ni vix
n
2
, 平衡状态下分子沿任何 方向的运动都不占优势
1 2 2 2 vx v y v z v 2 3
1 2 1 2 2 2 所以 p nmv n mv n t 3 3 2 3
其中
1 2 t mv 2
为分子的平均平动动能
20.2.3 理想气体压强
思路: 压强由大量气体分子不断碰撞容器壁而产生. 压强为大量气体分子在单位时间内作用在器壁
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单位面积上的平均冲量.
建立理想气 体微观模型 利用牛顿运动定律处理单个粒子的运动 得到 利用统计规律处理大量粒子的行为
理想气体压强公式
1 2 2 p nmv n t 3 3

--- 大量偶然事件整体所遵从的规律. 伽尔顿板实验:
单个粒子运动----偶然事件 (落入哪个槽) 大量粒子运动-----统计规律(粒子在槽中的分布)
单个粒子遵循牛顿定律;
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大量粒子遵从统计规律 -- 牛顿运动定律无法说明 统计规律特点: (1) 对大量偶然事件有效,对少量事件不适用。 (2) 是与单个粒子遵循的动力学规律有本质区别的新规律. (3) 与系统所处宏观条件有关. (4) 存在起伏(涨落)
1930福勒R.H.Fowler
温度 决定一个热力学系统是否与其他系统处于热平衡的宏观
性质。
热力学第零定律表明：互为热平衡的系统必然存在一个 相同的性质或特征。 给出了一个热力学参量：温度T 一切互为热平衡的系统都具有相同的温度。 理想气体的状态方程
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m RT νRT PV P nkT M R 8.31 J mol 1 k 1.987 cal mol 1 k 1 气体普适常数
T_avi05.rm
统计规律性包容着单个随机事件的偶然性， 统计规律必然伴随有涨落现象。
8 实验总观测次数为N ,其中出现结果 A 的次数为 NA 事件A 出现的概率
NA W lim N N
概率是用来衡量偶然事件出现可能性大小的量
概率的基本性质
(1)
NA W lim N N
9
22
3 t kT 2 3 1.38 1023 300 2 21 3.88 10 2 eV 6.2110 J
3) 氧气的方均根速率
2
3RT M
3 8.31 300 483m/s 3 32 10
20.3
三种统计规律
23
大量粒子热运动遵从统计规律
麦克斯韦—玻耳兹曼分布
经典分布
24
平衡状态下，多粒子体系的分布规律。粒子如何按能级分 布的。 1 经典的眼光看粒子； 1）粒子可以分辨的（可以跟踪，可以编号）。 2）一个能级可以容纳多个粒子， 每一个状态 可以容纳多个粒子。 2 理论依据； 1）等概率假设 2）平衡态是几率最大的状态 （最概然分布）
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讨论:
① 压强公式将宏观量 p 和微观量 值联系在一起
n,t 的统计平均
② 注意推导中的思维方法
二、温度的定义
热平衡
热接触 传热(能量)
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传热停止
a
系统1 平衡态
b
系统2 平衡态
a
系统1 平衡态
b
来自百度文库
热平衡
系统2 平衡态
热平衡定律 实验表明：如果两个热力学系统都与第三 个热力学系统处于热平衡，则 它们彼此处于热平衡 — 热力学第零定律
20.1.2
概率（几率）的基本性质
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一、概率的概念 1.随机现象 现象发展演化的结果不能事先预言，结局 不是唯一的，这样的现象称为随机现象。 2.随机事件 随机现象可以出现多种不同的结果，这些 结果中的每一个称为一个随机事件。 3.统计规律性 在一定条件下，就大量随机事件的整体而言， 具有较稳定的特性，存在着必然的、确定的规律， 这就是统计规律性。
2 p n t 3
p nkT
t 3 kT
2
1 2 3 t m 2 kT 2
2
3kT 3kN AT 3RT m mN A M

2
3RT M
分子质量越小，平均运动速 率越大
1) 常温常压下，分子的数密度 n～1025 / m3 2) 分子的平均平动动能
a b c d 4个可分辨热运动粒子，在等容体A,B两室中： A a a a a b a a b c b a b b b c c b c c d d d d c b a c d c d d d B 1 （中间隔板打开）
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斯特令公式
A B d ln N! N ln N N c 4 N! b a x!( N x)! c d ln ln N! ln x! ln( N x)! b d a d 6 N ln N N x ln x x ( N x) ln( N x) ( N x) a b a c (平衡态概率最大) N ln N x ln x ( N x) ln( N x) b c 由 (ln ) 0 a b c Nx ln xx (1)x (1)x (1) ln( N x)x 0 a b d Nx a c d [ ln x ln( N x)]x 0 4 b c d N ln x ln( N x)] x a b c d 1 2
20.3.2 麦克斯韦——玻尔兹曼统计
一 等概率假设
处在平衡态的孤立体系, 其可能的微观态出现的几率相等
---- 平衡态统计理论的基础 如果可能微观态总数为
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，则系统的任意微观态
出现的概率均为 1/ : P 1
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/mol 宏观状态参量
宏观量: 描述系统整体特征的物理量.
如: 气体的 V, P, T... 广延量：有累加性(如质量、体积) 强度量：无累加性(如温度、压强)
微观量: 系统中描述单个粒子特征的物理量.
如: 粒子的
m, p, v ,
宏观量是微观量的统计平均值
20.2.2
平衡态与非平衡态