洛伦兹变换的详细推导

第三节 洛伦兹变换式
教学内容:
1、 洛伦兹变换式的推导;
2、 狭义相对论的时空观:同时性的相对性、长度的收缩与时间的延缓; 重点难点:
狭义相对论时空观的主要结论。

基本要求:
1、 了解洛伦兹坐标变换与速度变换的推导;
2、 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩与时间延缓概念;
3、 理解牛顿力学中的时空观与狭义相对论中的时空观以及两者的差异。

三、洛伦兹坐标变换的推导
()()⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧--='='='--='
222
11c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()⎪
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨
⎧
-'+'='='=-'+'=2
22
11c v c x v t t z z y y c v t v x x
据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。

1、 时空坐标间的变换关系
作为一条公设,我们认为时间与空间都就是均匀的,因此时空坐标间的变换必须就是线性的。

对于任意事件P 在S 系与S '系中的时空坐标(x ,y ,z ,t )、(x ',y ',z ',t '),因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动,显然有y '=y , z '=z 。

在S 系中观察S 系的原点,x =0;在S '系中观察该
点,x '=-v t ',即x '+v t '=0。

因此x =x '+v t '。

在任意的一个空间点上,可以设:x =k (x '+v t '),k 就是—比例常数。

同样地可得到:x '=k '(x -v t )= k '(x +(-v )t )
根据相对性原理,惯性系S 系与S '系等价,上面两个等式的形式就应该相同(除正、负号),所以k =k '。

2、 由光速不变原理可求出常数k
设光信号在S 系与S '系的原点重合的瞬时从重合点沿x 轴前进,那么在任一瞬时t (或t '),光信号到达点在S 系与S '系中的坐标分别就是:x =c t , x '=c t ',则:
t t c x x '='2
()()()()t v t c vt ct k t v x vt x k '+'-='+'-=22
()222v c t t k -'=
由由此此得得到
到()2
2211
c v v c c k -=
-=。

这样,就得到
()
2
1c v vt x x --=
',
()
2
1c v t v x x -'+'=。

由上面二式,消去x '得到
()
2
21c v c vx t t --=
';若消去x 得到
()
2
21c v c x v t t -'+'=
,综合以上结果,
就得到 洛仑兹变换, 或 洛仑兹反变换
()()⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧--='='='--='
222
11c v c vx t t z z y y c v vt x x
()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎨
⎧
-'+'='='=-+'=222
11c v c x v t t z z y y c v vt x x
可见洛仑兹变换就是两条基本原理的直接结果。

3、 讨论
(1)可以证明,在洛仑兹变换下,麦克斯韦方程组就是不变的,而牛顿力学定律则要改变。

故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象,而牛顿力学不适用描述高速现象,故它有一定的适用范围。

(2)当|v /c |<<1时,洛仑兹变换就成为伽利略变换,亦即后者就是前者在低速下的极限情形。

故牛顿力学仅就是相对论力学的特殊情形—低速极限。

四、相对论速度变换公式
洛仑兹变换就是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系,根据洛仑兹变换可以得到狭义相对论的速度变换公式。

设物体在S 、S '系中的的速度分别为()z y
x
u u
u ,,,
()
z y x u u u ''',,,根据洛仑兹变换
式可得:
()()()()()2
22111c v dt
v u c v dt v dt dx c v vdt
dx x d x --=--=--=
'
()
()
()
2
2
2
2111c v c vu dt c v c vdx dt t d x --=
--=
'
因此:
()()
()
()
2
2
2111c v c vu dt c v dt v u t d x d x x ----=
'',即:
2
1c vu v
u u x x x --=
'
因y '=y , z '=z ,有d y '=d y , d z '=d z
则
()
()
22
11c v c vu dt dy
t d y d x --='',即
()22
11c vu c v u u x y y --=
'。

同理:()2
2
11c vu c v u u x z z --='
因此得相对论的速度变换公式:
2
1c vu v
u u x x x --=
'、
()2
2
11c vu c v u u x y y --=
'、
()
2
2
11c vu c v u u x z z --='
其逆变换为:
21c u v v u u x x x '++'=、
()2
2
11c u v c v u u x y y '+-'=、
()2
2
11c u v c v u u x z z '+-'=。

讨论
(1)当速度u 、v 远小于光速c 时,即在非相对论极限下,相对论的速度变换公式即转化为伽利略速度变换式v
u u x x -='。

(2)利用速度变换公式,可证明光速在任何惯性系中都就是c 。

证明:设S '系中观察者测得沿x ' 方向传播的一光信号的光速为c ,在S 系中的观察者测得
该光信号的速度为:c c vc v c u x =++=2
1,即光信号在S 系与S '系中都相同。

第四节 狭义相对论的时空观
一、 一、 同时的相对性
1、 概念
狭义相对论的时空观认为:同时就是相对的。

即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件,在另一个惯性系中不一定就是同时的。

例如:在地球上不同地方同时出生的两个婴儿,在一个相对地球高速飞行的飞船上来瞧,她们不一定就是同时出生的。

如图设S '系为一列长高速列车,速度向右,在车厢正中放置一灯P 。

当灯发出闪光时:
S '系的观察者认为,闪光相对她以相同速率传播,因此同时到达A 、B 两端;
S 系(地面上)的观察者认为,A 与光相向运动(v 、c 反向),B 与光同向运动,所以光先到达A 再到达B ,不同时到达。

结论:同时性与参考系有关—这就就是同时的相对性。

假设两个事件P 1与P 2,在S 系与
S '系中测得其时空坐标为:
()()
()()2222111122221111t z y x t z y x S t z y x t z y x S '''''''''，，，，，，，：，，，，，，，：
由洛伦兹变换得:
()
()
2
2222
2
2111
11c v c x v t t c v c vx t t --='--='，
在S 系与
S '系中测得的时间间隔为()12
t t '-'与(t 2-t 1
),它们之间的关系为: ()()()2
2
121212
1c v c x x v t t t t ----='-'
可见,两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔,一般来说就是不相等的。

2、 讨论
(1)在S 系中同时发生:t 2
=t 1
,但在不同地点发生,12x x ≠,则有:
()()
2
2
21121c v c
x x v t t --=
'-'
这就就是同时的相对性。

(2)在S 系中同时发生:t 2
=t 1
,而且在相同地点发生,12x x =,则有:
()()()
12
2
2
121212101t t c v c v x x t t t t t '='=----='-'='∆，
()()()12
2
12121201x x c v t t v x x x x '='=----='-'，
即在S 系中同时同地点发生的两个事件,在S ’系中也同时同地点发生。

(3)事件的因果关系不会颠倒,如人出生的先后
假设在S 系中,t 时刻在x 处的质点经过t ∆时间后到达x x ∆+处,则由:
()
2
21c v c v x t t --=
'
得到
()(
)()⎪
⎭⎫ ⎝⎛∆∆=--∆=
-∆-∆=
'∆t x u c v c v u t c v c v x t t 11122
22
因为v ≯c ,u ≯c ,所以Δt '与Δt 同号。

即事件的因果关系,相互顺序不会颠倒。

(4)上述情况就是相对的。

同理在S ’系中不同地点同时发生的两个事件,在S 系瞧
来同样也就是不同时的。

(5)当
c v 〈〈时,t t ∆≈'∆,回到牛顿力学。

二、长度收缩(洛伦兹收缩)
假设一刚性棒A B 静止于S ’系中
12
x x l '-'=',在S 系中同时()t t t ==21测量
得
12x x l -=。

由洛伦兹坐标变换式:
()
()
2
222
2
111
11c v vt x x c v vt x x --='--='，
得:
()()()
()
2
122
121212
11c v x x c v t t v x x x x --=
----='-'
即 ()2
1c v l l -'=
1、 固有长度
观察者与被测物体相对静止时,长度的测量值最大,称为该物体的固有长度(或原长),用l 0表示。

即
()
2
01c v l l -=
2、 洛伦兹收缩(长度缩短)
观察者与被测物体有相对运动时,长度的测量值等于其原长的
()
2
1c v -倍,即物体沿运动方向缩短了,这就就是洛伦兹收缩(长度缩短)。

讨论:
(1)长度缩短效应具有相对性。

若在S 系中有一静止物体,那么在
S '系中观察者将同时
测量得该物体的长度沿运动方向缩短,同理有
()
2
1c v l l -='
即瞧人家运动着的尺子变短了。

(2)当v <<c 时,有
l l '≈
三、时间膨胀(时间延缓)
由洛伦兹变换得()()()2
21212
121c v c x x v t t t t -'-'+'-'=
-,事件P 1
、P 2
在S 系中
的时间间隔为
12t t t -=∆,事件P 1
、P 2
在S ’系中的时间间隔为12
t t t '-'='∆。

如果在S ’系中两事件同地点发生,即
12
x x '=',则有: ()
()
2
2
121211c v t c v t t t t t -'∆=
-'-'=
-=∆
1、 固有时间(原时)的概念
在某一惯性系中同一地点先后发生的两事件之间的时间间隔,叫固有时间(原时)。

用
0τ表示,且:
()
2
1c v t -=
∆τ。

2、 时间膨胀
在S 系瞧来:
0τ〉∆t ,称为时间膨胀。

3、 讨论
(1)时间膨胀效应具有相对性。

若在S 系中同一地点先后发生两事件的时间间隔为Δt (称为原时),则同理有
()
2
1c v t t -∆=
'∆就好象时钟变慢了,即瞧人家运动着的钟变慢了。

(2)当v ＜＜c 时,有t t '
∆≈∆ (3)实验已证实
μ子,π介子等基本粒子的衰变,当它们相对实验室静止与高速运动时,其寿命完全不同。

例1: 在惯性系S 中,有两个事件同时发生,在
x x '轴上相距
m .31001⨯处,从另一惯性系S’中观察到这两个事件相距m 3100.2⨯。

问由S’系测得此两事件的时间间隔为多少？
解
:
由
题
意
知
,
在
S
系中
,
，
12t t =,即
012=-=∆t t t ,m x x 3
12100.1⨯=-。

而在S ’系瞧来,时间间隔为
12
t t t '-'='∆,空间间隔为m x x 312
100.2⨯='-'。

由洛伦兹坐标变换式得:
()()()
()
()
1112
122
121212
c v x x c v t t v x x x x --=
----='-'
()()
()2
1221212
1c v x x c v
t t t t t ----='-'='∆()()
()()
2121
22212
x x c v c v x x c v
'-'=--=
由(1)式得()()c c x x x x v 2341112
12
12122
12=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-'--=
代入(2)式得 ()s c t 6
3
3
31077.510310310223-⨯=⨯⨯=⨯⨯='∆
例2: 半人马星座α星就是离太阳系最近的恒星,它距地球为
16103.4⨯m 。

设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座α星之间。

若宇宙飞船
的速度为 0、999 c ,按地球上的时钟计算,飞船往返一次需多少时间？如以飞船
上的时钟计算,往返一次的时间又为多少？
解:以地球上的时钟计算:
816
103999.0103.42⨯⨯⨯⨯=
=∆v s t a 91087.28=⨯=(a 为a n n u a l 之首字母);
若以飞船上的时钟计算:(原时),因为
()
2
1c v t t -'
∆=∆
所以得
()2
82
999.011087.21-⨯⨯=-∆='∆c v t t
()a s 4.01028.17=⨯=。