电磁场第一章.

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本章内容
1.1 矢性函数
1.2 标量场
1.3 矢量场的通量及散度
1.4 矢量场的环量及旋度
1.5 亥姆霍兹定理
1.6 三种常用的正交曲线坐标系
3
1.1 矢性函数标量：一个只用大小描述的物理量。

矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。

1. 标量和矢量
A v
矢量的几何表示
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示矢量的代数表示：A e A e A A A r
r r r ==常矢量：大小和方向均不变的矢量。

变矢量：大小和方向之一或两者都在
变化的矢量。

4
2. 矢性函数
矢性函数的定义:设t 是一数性变量，为变矢，对于某一区间G ［a, b ］内的每一个数值t, 都有一个确定的矢量与之对应，则称为数性变量t 的矢性函数，记为
:
A v )
(t A v A v )
(t A A v v =矢性函数的表示:
)
()()()(t A e t A e t A e t A z z y y x x v v v v ++=矢性函数的矢端曲线: 设所有的起点
都在坐标原点，这样，当t 变化时，的终点M 就描绘出一条曲线l 。

)
(t A v )(t A v
5
3. 矢性函数的导数定义:对于矢性函数)(t A v t t A t t A t A dt A d t t Δ−Δ+=ΔΔ=→Δ→Δ)
()(lim lim 00v
v v v 计算:dt
dA e dt dA
e dt dA e dt A d z
z y
y x x r r r v ++=几何意义: 是矢端曲线在t 处的切向矢量，指向t 增大的一方
6
运算法则: 设，和可导，则有：
)(t A A v v =)(t B B v v =)(t u u =
7
4. 矢性函数的积分不定积分：若在t 的某个区间[a ，b ]上，，则称为在该区间上的一个原函数，而的全体原函数称为在此区间上的不定积分。

)()(t A t B v v =′)(t B v )(t A v )(t A v )(t A v ∫+=c t B dt t A v
v v )()(定积分：若是在区间上的一个原函数，则
)(t B v )(t A v ],[21T T )
()()(2112∫−=T T T B T B dt t A r
r r 计算：∫∫∫∫++=dt
t A z dt t A y dt t A x dt t A z y x )(ˆ)(ˆ)(ˆ)(v 8
运算法则:
9
例1.1.1 证明: 矢性函数的模为常数的充要条件是。

)(t A v 0=⋅dt A d A v v 证明：必要性。

设，则常数=A v 常数
==⋅2A A A v v v 两边对t 求导，得：02=⋅dt A d A v
v 0
=⋅∴dt A d A v
v 充分性。

若，则0=⋅dt A d A v v 0
22=⋅=dt A d A dt A
d v v v 常数
=∴A v
例1.1.2 已知与非零常矢满足，又已知与的夹角为常数，试证明。

)(t A v B v t B t A =⋅v v )()(t A ′v B v )()(t A t A ′′⊥′v v 证明：两边对t 求导，得：t B t A =⋅v v )(1
)(=⋅′B t A v v 即1cos )(=⋅′θB t A v v 常数
常数，==θB v Q 常数=′∴A v 由例1.1.1的结论可得：)
()(t A t A ′′⊥′v v 10
如果物理量是标量，称该场为标量场。

例如：温度场、电位场、高度场等。

如果物理量是矢量，称该场为矢量场。

例如：流速场、重力场、电场、磁场等。

如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。

时变标量场和矢量场可分别表示为：、),,,(t z y x u )
,,,(t z y x F r 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。

1.标量场和矢量场
、),,(z y x u )
,,(z y
x F r 静态标量场和矢量场可分别表示为：1.2 标量场
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
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2.标量场的等值面
等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。

C z y x u =),,(等值面方程：•常数C 取一系列不同的值，就得到一系列
不同的等值面，形成等值面族；
•标量场的等值面充满场所在的整个空间；
•标量场的等值面互不相交。

等值面的特点：意义:形象直观地描述了物理量在空间
的分布状态。

等值面族 u=c 2
u=c 3
u=c 1
标量场的等值线(面)
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3. 方向导数
意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。

00cos cos cos |lim M l u u u
u u l l x y z αβγ
Δ→∂Δ∂∂∂==++∂Δ∂∂
∂概念：l r 0u l ∂>∂r 0u l ∂<∂r 0u l ∂=∂l r 特点：方向导数既与点M 0有关，也与方向有关。

问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？
——的方向余弦。

l r 式中：γβαcos cos cos 、、•——u (M )沿方向增加；0>∂∂l u
l r •——u (M )沿方向减小；
0<∂∂l r •——u (M )沿方向无变化。

0=∂∂l u
l r M 0l r M Δl
方向导数的概念
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梯度的表达式：z u e y u e x u e u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r 意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念：，其中取得最大值的方向
max |l u u e l ∂∇=∂r l u
e l ∂∂r 3. 标量场的梯度（grad u 或）
u ∇•标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。

•标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。

•标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）。

梯度的性质：14
梯度的运算法则：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∇=∇∇±∇=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∇∇+∇=∇∇±∇=±∇∇=∇=∇u
u f u f v u u
v v v u v
u u v uv v
u v u u
c cu c )(')]([)
(1
)()()(0
2例1.2.1 试证明点M (x, y, z )的矢径的模的梯度。

z e y e x e r z y x r r r v ++=222z y x r r ++==v °==∇r r r r v
v 证明：r x z y x x z y x x x r =++=++∂∂=∂∂222222r
z
z r r y y r
=∂∂=∂∂,()o v v v v v v v v r
r r z e y e x e r r z e r y e r x
e r z y x z y x ==++=++=∇∴1
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例1.2.2求：r 在M(1, 0, 1)处沿方向的方向导数。

z y x e e e l v v v v 22++=解法1：直接由方向导数的计算公式求得（略）解法2：由例1.2.1可求得r 在M 处的梯度。

在点M 处，
2222=++=z y x r ()
z x e e r v v +=∇∴21
z
y x e e e l l l v v v
v
v o 32
32
31++==2
1
232
231
=+=⋅∇=∂∂∴o v l r l r
16
1.3 矢量场的通量及散度
1. 矢量线
意义：形象直观地描述了矢量场的空间分
布状态。

矢量线方程：
概念：矢量线是这样的曲线，其上每一
点的切线方向代表了该点矢量场
的方向。

z
y x A z
A y A x d d d =
=
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2. 矢量场的通量
有向曲面：规定了正方向的曲面。

通量的定义：n d d d S S F S F e S ψψ==⋅=⋅∫∫∫r r r r n d d S e S =r r 其中：——面积元矢量；
n e r ——面积元的法向单位矢量；如果曲面S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是
∫∫⋅=⋅=S S S e F S F d d n r
r r r ψd S r n d d F e S ψ=⋅r r ——穿过面积元的通量。

v ),,(z y x F r S r
d n
e r
面积元矢量18
通量的计算：∫∫++=S
z y x dxdy
A dxdz A dydz A ψ通量的物理意义：
0>ψ通过闭合曲面有净的矢量线穿出0<ψ有净的矢量线进入0=ψ进入与穿出闭合曲面的矢量线相等有正源有负源正负源总和为零
19
例1.3.1矢量场，S 为圆锥面与平面所围成的封闭曲面，求从S 内穿出的通量。

z e y e x e r z y x r r r v ++=222z y x =+H z =解：3
21
11
1
21H H H dxdy H Hdxdy zdxdy
ydxdz xdydz s d r s d r s d r s d r s s s s s ππψσσ=⋅===++=⋅=⋅+⋅=⋅=∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫r
r r r r r r r 例1.3.2 原点处点电荷q 在其周围产生的电场
中，任一点处的电位移矢量，求穿过以原点为中心，
R 为半径的球面的通量。

°=r r q
D r r 24π解：q R R q ds R q
s d r R q
s d D s
s s e =⋅==⋅°=⋅=∫∫∫∫∫∫22224444ππππψr r r r 可见，S 内产生电通量的源即位电荷q 。

20
3. 矢量场的散度
V
S d A A S 0V Δ⋅=⋅∇∫→Δv
v v lim 定义：散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。

散度的物理意义：表示矢量场中任意一点处的通量体密度，即该点处通量源的强度。

某点处，
0>⋅∇A v ——有正的通量源
0<⋅∇A v
——有负的通量源
0=⋅∇A v ——没有通量源
21
散度的计算：哈密尔顿算子：
z F y
F x F F div z
y x ∂∂+
∂∂+∂∂=r ⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪
⎨⎧⋅∇±⋅∇=±⋅∇∇⋅+⋅∇=⋅∇⋅∇=⋅∇∇⋅=⋅∇=⋅∇=⋅∇G F G F f F F f F f k F k F k f
C f C C C C r r
r r r r r r r r r r
r r )()(为常量)
()()()
为常矢量(0散度的运算法则：z e y
e x e z y x ∂∂+∂∂+∂∂≡∇r r r 哈密尔顿算子是一个矢性微分算子，在运算中具有矢量和微分的双重性质。

F F div v v ⋅∇=22
散度定理：
∫
∫
⋅∇=
⋅V
S
V
F S F d d r r r 从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即
≠⋅∇A r [推论]：在矢量场中，若某些点（或区域）上有或不存在，而其它点上都有，则穿出包围这些点（或区域）的任一闭曲面的通量都相等。

0≠⋅∇A r
0=⋅∇A r
23
例1.3.3 原点处点电荷q 产生的电位移为，试求。

°=
r r
q D r
r
2
4πD r ⋅∇解：)ˆˆˆ(4333z r
z
y r y x r x q D ++=
πr
5
2
234r x r q x D x −=∂∂π52
234r y r q y D y
−=∂∂π52234r z r q z
D z
−=∂∂π0)
(3345
2222=++−=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇∴r
z y x r q z D y D x D D z y x πr 例1.3.4 球面S 上任意点的位置矢为，求z e y e x e r z y x r r r
v ++=∫∫⋅S
S
d r v v 3
244R R R dS R rdS S d r S
S S ππ=⋅===⋅∫∫∫∫∫∫v
v 解法1：解法2：采用散度定理：∫∫∫∫∫⋅∇=⋅V
S dv
r S d r v v v 3=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇z z y y x x r v 3
343433R R dv S d r V
S ππ=⋅==⋅∴∫∫∫∫∫v
v 24
1.4 矢量场的环量及旋度
矢量场沿场中一有向闭合曲线C 的线积分，即
1. 环量
定义：∫
⋅=
C
l
z y x F r r
d ),,(Γ其中，，为l 正向切线方向的单位矢量。

dl l τˆd =r τˆ计算公式：
∫
∫++=
⋅=ΓC
z y x C
z
F y F x F l F d d d d r r 矢量的环量也是描述矢量特性的重要参量。

若矢量的环量不为零，就表示矢量场中存在一种不同于通量源的源——涡旋源。

25
2. 环量面密度
s
l
d F S l
S S n Δ⋅=ΔΔΓ=∫Δ→Δ→Δr
r 00lim lim
μ过点M 作一微小曲面ΔS ，它的边界曲线
记为C ，曲面的法线方向与曲线的绕向成右手螺旋法则。

当ΔS →0 时，极限
n r
S
ΔC
M
F
v n
r 称为矢量场在点M 处沿方向的环量面密度。

n r
矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内涡旋源的宏观联系。

为了给出空间任意点矢量场与涡旋源的关系，引入环量面密度和矢量场的旋度。

26
3. 矢量场的旋度
定义：矢量场在M 点处的旋度为一矢量，其数值为M 点的环量面密度最大值，其方向为取得环量面密度最大值时面积元的法线方向，即
max
rot n
n e F μr r =F n
n r rot ˆ⋅=μ性质：矢量场在任一方向上的环量面密度等于旋度在此方向上的投影，即
n ˆ⎟⎟⎠⎞⎜⎜
⎝⎛∂∂−∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂=×∇=y F x F e x F z F e z F y F e F F x y z z x y y z x r r r r r rot z
y x z y x F F F z
y x e e e ∂∂∂∂∂∂=
r
r r 旋度的计算公式：
27
旋度的有关公式：
旋度的物理意义：描述了矢量在给定点处涡旋源的强度。

F
f F f F f r r r ×∇+×∇=×∇)(0
=×∇C r G
F G F r r
r r ×∇±×∇=±×∇)(G
F F
G G F r r
r r r r ×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇)(0
)(≡×∇⋅∇F r
)(≡∇×∇u ()
F
F F r r r 2
)(∇−⋅∇∇=×∇×∇其中，称为拉普拉斯算子。

2∇z
z y y x x F e F e F e F 2222
∇+∇+∇=∇r
r r r 28
4. 斯托克斯定理
∫∫
⋅×∇=⋅S
C
S
F l F r
r r r d d 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环量等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即
斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式。

式中，的方向与的方向成右手螺旋关系。

S d r
l d r
29
例1.4.1求矢量场在
M(1, 0, 1)处的旋度，及沿方向的环量面密度。

z y x e x y z e z x y e y z x F r
r r v )()()(−+−+−=z y x e e e n r
r r v 362++=解：
z
y x z
y x e x y e z x e y z x y z z x y y z x z y x e e e F F r r r r r r v v )()()()
()()(rot +++++=−−−∂∂∂∂∂∂=×∇=z y x M e e e F r r r v ++=×∇∴2z y x e e e n r
r r r o 7
37672++=177=
⋅×∇=∴o v v n F n μ例1.4.2已知，且存在非零函数及使
，试证明。

0≠×∇A r
),,(z y x u ),,(z y x ϕϕ∇=A u r A A r r ×∇⊥证明：ϕ∇=A u r Q 0
)(r
r r r =×∇+×∇=×∇∴A u A u A u A u A u r r ×−∇=×∇∴()()
0=×∇⋅−=×∇⋅A u A A u A r
r r r ()
0=×∇⋅∴A A u r r A
A r r ×∇⊥∴30
1.5 亥姆霍兹定理
1. 矢量场的分类
无旋场：旋度恒为零的矢量场。

0=⋅∫l
l d F r
r 无旋场又称为保守场。

无散场（管形场）：散度恒为零的矢量场，也称无源场。

A
F r r
×∇=调和场：旋度和散度恒为零的矢量场。

ϕ
−∇=F r
无旋场可表示为一个数量场的梯度：无散场可表示为一个矢量场的旋度：
31
2. 亥姆霍兹定理
若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为：
)
()()(r A r u r F r r r
r r ×∇+−∇=式中：V r r r F r u V ′′−′⋅∇′=∫d )(π41)(r r r r r ∫′′−′×∇′=V V r r r F r A d )(π41)(r r r
r r r 亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。

32
∫∫′
−′⋅′−′′−′⋅∇′=S V r r S r F V r r r F r u r
r r r r r r r r r
d )(π41 d )(π41)(∫∫′
−′×′−′′−′×∇′=S V r r S r F V r r r F r A r
r r r r r r r r r r d )(π41
d )(π41)(在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。

33
1.6 三种常用的正交曲线坐标
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。

在电磁场与电磁波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：
直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。

三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。

34
z e y e x e r z y x r r r r ++=位置矢量
线元矢量z
e y e x e l z y x d d d d r
r r r ++=体积元
z
y x V d d d d =坐标变量
z
y x ,,坐标单位矢量z y x e e e r r r ,,1. 直角坐标系
z
y e l l e S x z y x x d d d d d r
r r ==y
x e l l e S z y x z z d d d d d r
r r ==z
x e l l e S y z x y y d d d d d r
r r ==面元矢量
35
2. 圆柱坐标系
z ,,φρ坐标变量
z
e e e r
r r ,,φρ坐标单位矢量z
e e r z r r r +=ρρ位置矢量z
e e e l z d d d d r r r r ++=φρρφρ线元矢量z
V d d d d φρρ=体积元φ
ρρρφρφρφρφφρφρρd d d d d d d d d d d d d d d z z z z z e l l e S z e l l e S z e l l e S r
r r r
r r r
r r ======面元矢量
∞
<<∞−≤≤∞<≤z ,20,0πφρ36
3. 球坐标系
φ
θ,,r 坐标变量
φ
θe e e r r
r r ,,坐标单位矢量r e r r r r =位置矢量
φ
θθφθd sin d d d r e r e r e l r r
r r r ++=线元矢量φ
θθd d d sin d 2r r V =体积元φ
θθφθd d sin d d d 2r e l l e S r r r r
r r ==φ
θφθθd d sin d d d r r e l l e S z r r
r r ==θ
φθφφd d d d d r r e l l e S r r
r r ==面元矢量π
φπθ20,0,0<≤≤≤∞<≤r
37
4. 圆柱坐标系和球坐标系中的场量表达式
（1）拉梅系数：
直角坐标系：圆柱坐标系：球坐标系：
1,1,1321===h h h 1,,1321===h h h ρθ
sin ,,1321r h r h h ===（2）哈密尔顿算子：
3
33222111
111q h e q h e q h e ∂∂
+∂∂+∂∂=∇v v v 38
（3）场量表达式：梯度：3
33
222111111q u
h e q u h e q u h e u ∂∂+∂∂+∂∂=∇v v v 散度：
()()()⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=
⋅∇3213231213213211
A h h q A h h q A h h q h h h A v
旋度：
3
32
21
1321
33221
13211A h A h A h q q q e h e h e h h h h A ∂∂∂∂∂∂=
×∇v v
v
v
本章作业：
1.2 1.8 1.11 1.15 1.19
1.22 1.23
39。