变分法在解决物理问题上的应用

变分法在解决物理问题上的应用

陈曼（2008213561）

（华中师范大学物理系武汉）

摘要本文是变分法在各个领域的应用的总结篇，总结了作者所了解到的关于变分法的知识。

关键词变分法 MOV A

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。微分几何中的测地线的研究也是很显然的变分性质的领域。变分问题其实是是泛函极值问题，最后的求解都归结为求欧拉方程的边值问题。由于它是研究泛函极值的一种方法，所以它在多个领域都有着广泛的应用。

有这样一个经典的泛函极值问题：

假设已知函数可导且连续，求函数使

（1）达到极大或极小值。（1）式所给出的泛函称为最简泛函，它分为无约束条件和有约束条件两种，其中无约束条件的泛函极值问题又分为固定端点和可变端点两种情形。可变端点又包含两类：一类是所求函数曲线的左（或右）端点的横坐标确定而纵坐标自由：另一类是左（或右）端点的纵坐标确定而横坐标不确

定。

1.1固定端点的泛函极值问题设端点条件为。因为泛函时取极值，于是有

（2）

但是，（3）

由固定端点条件可知：（4）

将（3）及（4）代入（2）得（5）

由的任意性和变分法的基本引理可知必有（6）

这就是欧拉方程。再加上固定端点条件，即可求得使得泛函取极值的函数曲线。

1.2第一类可变端点问题

设端点条件为。由(5)推导过程知，此时(5)应变为

因为上式对取任意值均成立，所以欧拉方程不变仍

为(6)，但定解条件为

1.3第二类可变端点问题

设端点条件为。显然，此时欧拉方程(6)仍成立,一组定解

条件为至此，所说的都是简单泛函极值问题。事实上有很多的数学建模都可以采用这种方法，光学上的最小路径也可以用这种方法求解，那就是一种可变边界的极值问题。下面我们来看复杂一点的变分问题。

首先介绍多尺度光流变分法（简称MOV A）,它是通过追踪雷达回波的移动，利用外推法推算降雨量。它是一种基于变分法及光流场平滑化的算法，用这种方法可以进行定量降雨的预报，北京奥运会期间也将MOV A应用到雷暴单体路径的预报。该算法是用变分法将总的成本函数

最小化，以求出最优的光流场解，事实是这种最小值求得比较复杂，是借用程序来完成的。把相关的雷达反射数据以不同的分辨率分成七层级进行光流分析，从低至高分辨率逐一解出相应的光流场，在不同层级的光流分析中，由于对应的设定尺度或分辨率不同，所需的平滑化约束比重γ都不尽相同，γ的数值随层级的上升而增大，显示平滑化的作用在小尺度上的运动愈加重要，这是变分法在气候预报方面的应用。

然后谈一下土压力变分法，用这种理论可以解决土坡滑裂面型式及稳定安全系数K等问题，并可减少试算工作量，这其实也是一种数学建模。这是变分法在工程方面的应用，类似的也有变分法在固体物理上的应用。

还有熵变分法及该法在图像有损压缩中的应用，小波阈值技术用于实现图像有损压缩与去噪,但重构图像灰度突变处(如:边缘)存在振荡(伪Gibbs现象),在图像含噪声的情况下此现象尤为显著。将熵变分规整化引入图像的小波变换空间,可以更好地解决图像压缩与失真的两难问题。这是变分法在图像传输与存储中的应用。

变分法在最优控制中也具有重要的地位，动态系统的最优控制问题是一类有状态方程(微分方程)约束、目标集的等式或不等式约束、以及容许控制的开集或闭集性约束的泛函极值问题。对于约束问题都可以采用变分法原理来处理，对于这一点，可以参考最优控制原理的知识。

另外我也看过有关于变分法在核裂变几率方面的应用，主要思想是用变

分法求解一维的Fokker一Planck(简称F一P)方程（F-P方程是用布朗运动模型研究核裂变问题需要求解的方程）并与Smoluchowski(简称Smo.)方程进行定量对比它们之间的区别，过程比较复杂，可以参考钟云霄、胡济民的文章《用变分法解Fokker一Planck方程计算核裂变几率》。

有关变分法及其应用的书也比较多，这些书从更深的程度描述了各类边值问题及有关运算的各类理论，当然对应的应用层次也远比我在这里列举的情况复杂得多，所以我就不提了。

参考文献：

[1]“多尺度光流变分法”在临近降雨预报的应用和表现杨汉贤等 2010.1 气象科技研讨会

[2]土坡稳定分析变分法的应用王鸿兴 1988.12 河海大学学报

[3]用变分法解Fokker-Planck方程计算核裂变几率钟云霄胡济民 1994.4 高能物理与核物理

[4]熵变分法在图像有损压缩的应用顾晓东等 2003.4 光电子·激光