(最新整理)数学物理方法配套教案(第四版)-完整资料

C
C
C
2. 参数方程的表达形式C: z=z(t) t
f (z)dz f [z(t)]z(t)dt
C
举例
Re zdz
C
其中：(1) C为由原点到(1,0)再到(1,1)的折线； (2) C为由原点到 (1,1)的直线
计算积分： |zi|1 (z 2
1 1)2
定义：绝对收敛与条件收敛
称级数 wn 是绝对收敛的，如果 | wn |是收敛的
n 1
n 1
称级数 wn 是条件收敛的， 如果 | wn | 是发散
n1
n 1
的， 而 wn 是收敛的
n 1
性质 连续性 可积性
解析性
级数 wn (z) 在B内一致收敛，且wn(z)
连续，n1则该级数在B内连续
双边幂级数在收敛环内绝对内闭一致收敛。
孤立奇点
▪ 概念 若函数 f(z) 在某点z0在不可导，而在z0的任意
邻域内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇 点；若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0 以外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。
举例
孤立奇点的例子
1 , e1/ z , z
数学物理方法
南昌大学物理系 杨小松
2014年2月
第五节 平面标量场
▪ 用复变函数表示平面标量场
在物理及工程中常常要研究各种各样的场，如电磁场、声 场等，这些场均依赖于时间和空间变量。若场与时间无关， 则称为恒定场，如静电场、流体中的定常流速等。若所研究 的场在空间的某方向上是均匀的，从而只需要研究垂直于该 方向的平面上的场，这样的场称为平面场。
C
C
f (z)dz f (z) dz
C
C
f (z)dz Ml, 其中M max | f (z) |,l为C的长度
C
▪ 路积分的计算方法
1. 归为二元函数的积分来计算，计算公式为
f (z)dz u(x, y)dx v(x, y)dy i v(x, y)dx u(x, y)dy
dz
计算积分：
1 dz
|z2i|3 (z 2 9)2
定理二：收敛的充分必要条件
设
wn
un
ivn
(n 1,2,
) ，则级数
wn
n 1
收敛的
充分必要条件是 un 和 vn 都收敛，其中un和
n 1
n 1
vn皆为实数。
定理三：收敛的必要条件
级数
wn
收敛的必要条件是
lim
n
wn
0
n1
a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 an (z z0 )n
an (z z0 )n n
其中
an (z z0 )n 被称为双边幂级数的正幂部分
n0
an (z z0 )n 被称为双边幂级数的负幂部分
n1
正幂部分 an (z z0 )n n0
R1
z0
|z-z0|<R1
级数 wn (z) 在C上一致收敛，且wn(z)
在C上n连1 续，则
wn (z)dz wn (z)dz
C n1
n1 C
级数 wn (z)在B内一致收敛于f(z)，且
wn(z)在n1B内解析，则f(z)在B内解析，且
f (k) (z) wn(k) (z)
n1
第5节 洛朗级数展开
负幂部分 an (z z0 )n
n1
1 z z0
R2 z0
R2<|z-z0|
R1
R2 z0
收敛环 R2<|z-z0|<R1
▪ 收敛环的确定
设正幂部分的收敛半径为R1；而负幂部分在变换 ζ=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R2 ，则其在|zz0|>R2外收敛。如果R2<R1，那么双边幂级数就在 环状域 R2<|z-z0|<R1 内收敛，所以 R2<|z-z0|<R1给 出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。
1 1 z2
1 非孤立奇点的例子 sin(1/ z)
1 , 1 , ,0, , 1 , 1
2
2
第四章 留数定理及其应用
4.1 留数定理 4.2 应用留数定理计算实变函数定积分 *4.3 计算定积分的补充例题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第五章 Fourier变换
5.1 傅立叶级数 5.2 傅里叶积分和傅里叶变换 5.3 函数
取定垂直于某方向的平面为XOY平面，其上的点用z=x+iy来
表示，于是场中每一个具有分量Ax，Ay的向量可表为
A A(z) Ax (x, y) iAy (x, y)
▪ 理想流体定常流 ▪ 平面温度场 例题：P18 例1、例2
第六节 多值函数
根式函数
z r cos 2k i sin 2k
若 f(x) 满足：
(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；
(2) 在每个周期内只有有限个极值点，
则
f (x)
函数f
(x)的Fourier展开
2.1 复变函数的积分 2.2 科西定理 2.3 不定积分 2.4 科西公式
▪ 性质
[Af (z) Bg(z)]dz A f (z)dz B g(z)dz
C
C
C
f (z)dz f (z)dz f (z)dz
C1 C2
C1
C2
f (z)dz f (z)dz, 其中C是C的逆向
▪ Fourier展开
基本函数族
1, cos
n
l
x,sin n
l
x
n1
函数 f(x) 的Fourier展开式
f
x a0
n1
an
cos n
l
x bn sin
n
l
x
a0
1 2l
l l
f d
an
1 l
l l
f cos n
l
d
bn
1 l
l l
f sin n d
l
▪ Dirichlet定理-Fourier展开收敛定理
▪ 问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定理 告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。
问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展 开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。
▪ 双边幂级数
an (z z0 )n a2 (z z0 )2 a1(z z0 )1
2
2
其中z rei , k 0,1, 是主幅角
记
0
r cos i sin
2
2
i
re 2
1
r
cos
2
i
sin
2
i
re 2
支点 n-1阶支点 一阶支点
值域的幅角范 围为[0,π)
w0
w1
值域的幅角范围 为[π,2 π)
黎曼面 Riemann面
第二章 复变函数的积分