初一-第14讲-一元一次方程的应用(水箱变高了)

一元一次方程的应用（水箱变高了)

1.复习一元一次方程的解法。

2.利用一元一次方程解决体积问题。

教学建议：复习长方体正方体圆柱体等体积的计算公式

知识点一：等体积变形问题

1．等体积变形，即物体的外形或形态发生变化，但变化前后的体积不变，一利用体积不变这一等量关系，可列方程解决等积变形问题． 2．常见几何体的体积公式：

(1)圆柱体体积;2

h r V π=

(2)长方体体积;abc V =

(3)正方体体积;3

a V =

(4)圆锥体的体积.3

12

h r V π=

例1如图所示，将一个底面直径为10cm ，高为36cm 的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20cm 的“矮胖”形圆柱．假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么高变成了多少？

分析：在锻压过程中，圆柱由“瘦”变“胖”，形状发生了变化，但它的体积始终保持不变，所以在这个问题中有如下等量关系：锻压前的体积=锻压后的体积． 解：设锻压后圆柱的高为xcm ，填写下表：

锻压前

锻压后 底面半径 5cm 10cm 高 36cm

xcm

体积

3652⨯⨯π x ⨯⨯2

10π

根据相等关系，列出方程：x ⨯⨯=⨯⨯2

210365ππ，解得x =9．

答：高变成了9cm .

例2 有一个长、宽、高分别是20cm 、15cm 、40cm 的长方体钢锭，现将它锻压成一个底面为正方形且正方形边长为20cm 的长方体钢锭，高变成了多少？（忽略锻压过程中的损耗） 分析：此题的相等关系：锻压前的体积=锻压后的体积． 解：设高变成了xcm ，依题意得20 ×20 ×x =20 ×15×40.

解方程，得x = 30.答：高变成了30cm .

变式训练

1.将一个底面积为236cm ，高为30cm 的金属圆柱熔铸成一个底面长8cm ，宽5cm 的长方体，求该长方体的高．这个问题的等量关系是，如果设长方体的高是xcm ，则可列方程 . 解．圆柱体的体积=长方体的体积，.303658⨯=⨯⨯x

2.用一个长、宽、高分别是16cm 、10cm 、5cm 的小长方体容器向一个底面为20cm ×20cm 的大长方体容器注水，当小长方体容器的水全部注入大长方体容器中时，大长方体中的水面高度是多少？ 解：设大长方体中的水面高度为xcm ．依题意，得.102051016x ⨯⨯=⨯⨯解之得x =2． 答：大长方体中水面的高度为2cm .

知识点二：等长变形问题

1．等长变形，即用物体（通常是铁丝等）围成不同的图形，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变．利用周长不变列出方程．

2．常用平面图形的周长、面积公式： (1)长方形周长C =2(a +6)，面积S = ab ，

(2)正方形的周长C =4a ，面积S =;2

a

(3)三角形的面积;2

1ah S =

(4)平行四边形的面积S = ah; (5)梯形的面积;)(2

1

h b a S +=

(6)圆的周长C =2πr ，面积2r S π=（r 表示圆的半径）.

例3用一根铁丝可围成边长为9cm 的正方形，若用这根铁丝围成长比宽多2cm 的长方形，则长方形的面积是多少？

分析：图形的形状改变了，但是周长不变，始终等于铁丝的长度，故此题的相等关系是：正方形的周长=长方形的周长．

解：设长方形的长为xcm ，则宽为（x -2）cm .依题意得2x +2（x -2）=9×4．

解得x = 10.x -2 =8．故x （x -2）=80.答：长方形的面积为.802

cm

例4墙上钉着一个由一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如下图实线所示（单位：cm ），小明将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如下图虚线所示．求小明所钉长方形的长、宽各为多少厘米？

分析：从梯形变成长方形，形状变了，但周长不变，可根据这一等量关系建立方程，长方形的宽为8cm .

解：设长方形的长为xcm .由题意，得

2(8 +x )=8 +15 +10 +8 +5 +13,∴x = 21.5． 答：长方形的长为21.5cm ，宽为8cm .

变式训练

1. 一根绳子刚好可以围成一个边长为6cm 的正方形．如果用这根绳子围成一个长8cm 的长方形，这个长方形的宽为____ cm ，面积是____.2cm

解.4 32 提示：设长方形的宽为xcm ，则有46⨯ =2(8+ x )．解得x =4．则长方形的面积为48⨯ =32（2

cm ).

一、专题精讲

题型一：形积变化——体积不变

例1在一个内部长、宽、高分别为3m 、3m 、80cm 的长方体水箱内装满水，然后倒入一个底面直径是2m ，高是12m 的圆柱形容器中，问水是否会溢出？若不溢出，请求出水面离容器口的距离．（π取3.14，结果精确到0. 01m ）

分析：先分别求出两容器的体积，然后通过比较大小，确定水是否会溢出， 解：长方体的体积).(2.78.0333

1m V =⨯⨯= 圆柱形容器的体积=⨯⋅==12)2

2(222ππh r V ).(123

m π 因为7.2< 12π，所以水不会溢出．

设将水倒入圆柱形容器后，水面高度为xm ．由题意得.)2

2(8.0332x ⋅⋅=⨯⨯π解得x ≈2.29．所以12 -x =9.71. 答：水不会溢出，水面离容器口的距离约为9.71m .

变式训练

1．把一个长、宽、高分别为8cm 、7cm 、6cm 的长方体铁块和一个棱长5cm 的正方体铁块，熔炼成一个直径为20cm 的圆柱体，这个圆柱体的高是多少？(精确到0. 01cm ) 解：设这个圆柱体的高为xcm .依题意，得.)2

20(14.356782

3x ⨯=+⨯⨯解之得x ≈1. 47． 答：这个圆柱体的高度大约是1. 47cm .

题型二：形积变化——面积不变

例2如图(1)、(2)，长方形的长、宽分别为a 、b ，阴影部分中长方形的宽为c ，图(1)、(2)中空白部分的面积分别为21,S S ，那么1S 与2S 的大小关系为( )．

21.S S A < 21.S S B > 21.S S C = D ．无法确定

分析：通过移动阴影部分，将所有阴影部分合在一起后，利用阴影部分面积=长方形面积一空白部分面积，可知面积相等，

解：C

变式训练