曲边梯形的面积
以抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积
以抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积一、引言在几何学中，梯形是一个具有两条平行边的四边形。
而曲边梯形则是指其两个非平行边之一由一段抛物线弧段组成。
本文将讨论如何计算以抛物线弧段为曲边的曲边梯形的面积。
二、基本概念在开始计算之前，我们先来了解一些基本概念：1. 抛物线抛物线是一种二次函数图像，其方程通常表示为 y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b 和c是常数。
2. 弧长弧长是指曲线上两个点之间的距离，可以通过积分来计算。
3. 曲边梯形曲边梯形是一个具有两个非平行且不相交的直线边和两个平行且不相交的弧线边的四边形。
三、计算方法为了计算以抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积，我们可以采取以下步骤：步骤1：确定抛物线方程首先，根据给定的抛物线弧段，我们需要确定其方程。
通过观察抛物线上的两个已知点，我们可以使用二次函数插值法来求解方程。
步骤2：计算两条直线边的长度根据曲边梯形的定义，我们可以通过求解两个直线边的长度来计算面积。
假设直线边分别为a和b，则可以使用勾股定理或平面几何中的距离公式来计算它们的长度。
步骤3：计算两个弧线边的弧长由于曲边梯形的一条非平行边由抛物线弧段组成，我们需要计算该弧段对应的弧长。
这可以通过积分来实现。
将抛物线方程代入积分公式，并设置上下限为曲边梯形相应端点的x坐标值，即可求得弧长。
步骤4：计算面积最后，根据曲边梯形面积公式：S = (a + b) * h / 2，其中a和b分别是两条平行边的长度，h是两条平行边之间的垂直距离（也称为高度），我们可以将之前计算得到的结果代入公式中，从而得到以抛物线弧段为曲边的曲边梯形的面积。
四、示例为了更好地理解上述计算方法，下面我们将通过一个示例来演示如何计算以抛物线弧段为曲边的曲边梯形的面积。
假设给定的抛物线方程为 y = 2x^2 - 4x + 1，并且曲边梯形的两条直线边长分别为6和8，两个弧线边对应的x坐标分别为1和3。
步骤1：确定抛物线方程已知抛物线方程为 y = 2x^2 - 4x + 1。
高二数学曲边梯形的面积
y x2
拆分为一些小曲边梯形.对每
一个小曲边梯形" 以直代曲" 即用矩形的面积近似 代 替 小 曲边梯形的面积,得到每个小
o
i1 i nn
1x
图1.5 3
曲边梯形面积的近似值.可以想象,随着拆分越来越
细,近似程度就会越来越好. 也即: 用化归为计算矩
形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积.我
4取极限 分别将区间0,1等分成4,8,,20, 等份
图1.5 5,可以看到,当n趋向于无穷大,即Δx趋向
于0时,Sn
1 1 3
1 1 n
1 趋向于S,从而有S 2n
lim Sn
n
lim
n
n i1
1 f i n
1 n
思考 图1.5 2中的曲边梯形与我们熟悉的"直边 图 形"的 主 要 区 别 是 什 么?能 否 将 求 这 个 曲 边 梯 形 面积S 的问题转化为求"直边图形"面积问题?
可以发现,图1.5 2中的曲边 梯 形 与" 直 边 图 形" 的 主 要 区
y y x2
别是,前者有一边是曲线段,
lim
n
1 1 3
1 1 n
1 2n
1. 3
我们通过下表还可以从数值上看出这一变化趋势.
区 间0,1的 等 分 数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512
S的 近 似 值Sn
0.12500000 0.21875000 0.27343750 0.30273438 0.31787109 0.32556152 0.32943726 0.33138275 0.33235741
曲边梯形面积及定积分
b
y
yf (x)
b
上述曲边梯形面积的负值。
S [ f ( x)]dx
a b
S [ f ( x)]dx
a
b
a
b
f ( x)dx ． ，
c b
O a
b c
b x
S f (x)dx a f (x)dx a c
b
f (x
S f (x)dx a f (x)dx a c
v
2
v(t ) = - t 2 + 2
O
1
t
探究思考
思考 4：结合求曲边梯形面积的过程，你认 为汽车行驶的路程 S 由直线 t=0，t=1，v=0 2 和曲线 v=－t +2 所围成的曲边梯形的面积有 什么关系？
图中矩形面积和就是曲边 梯形的面积，从而汽车行 驶的路程 S lim S n 在数 值上就等于相应曲边梯形 面积.
a c
c
b
y
yf ( x)
O
a
c1 c2 a c1
Ｃ
b x
b c2
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有
a f (x)dx a f (x)dx c
y
b
c
b
f (x)dx。
y=f ( x)
1.5.1 曲边梯形的面积
一. 求曲边梯形的面积
1. 曲 边 梯 形 ： 在 直 角 坐 标 系 中 ， 由 连 续 曲 线 y=f(x)，直线x=a、x=b及 x轴所围成的图形叫做曲边 梯形。
曲边梯形的面积完整版
a,b叫做积分区间,函数f x叫做被积函数, x叫
做积分变量, f x dx叫做被积式.
知识归纳
1.定积分的概念: 函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作:
b
a f ( x)dx
b
n1
f (x)dx
a
f (i )
i0
xi
n
lim n i1
(b a) n
f (i )
2.定积分的几何意义:
• 在 [a, b]中任意插入 n -1个分点．
• 得n个小区间： [xi1 , xi ] (i=1, 2 , ···, n)．
• 区间[xi1 , xi ]的长 度xi xi xi1 ．
y
f(2) f(1)
• 把曲边梯形分成 n 个窄 曲边梯形．
y = f(x) f(i)
f(i)xi
O a 1 x1 2 x2
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
(2) 以直代曲
Si
f(i
1)x n
(i
1)2 n
1 n
(3) 作和
n
S S1 S2 Sn Si i1
• 于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功 为：
• [点拨] 按用定义求定积分的步骤即分割、 近似代替、求和、取极限求解．
y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(因而定积
分是一个确定的常数) y
3.定积分的作用 f (b)
f (a)
求曲边梯形的面积
0a
y f (x)
b
定积分求曲边梯形面积公式
定积分求曲边梯形面积公式定积分求曲边梯形面积的公式是一个较为复杂的问题，它涉及到曲线的函数表达式、积分的概念以及曲线与横轴所围成的面积等知识。
在解答这个问题前，我们先来了解一下什么是定积分。
定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来求函数在某一区间上的面积。
对于一个给定的函数f(x)，它在区间[a,b]上的定积分可以表示为：∫[a,b]f(x)dx其中，∫是积分符号，f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
定积分的运算过程即求解被积函数在[a,b]区间上与x轴之间的面积。
现在我们来讨论如何使用定积分来求解曲边梯形的面积。
曲边梯形是指在平面内，上底和下底平行，且一边为曲线的梯形。
为简化问题，假设我们要求解的曲边梯形位于x轴上，并且曲线可以用一个函数f(x)表示。
我们将曲边梯形分成无数个微小的矩形条，并将它们的面积加起来，即可得到曲边梯形的面积。
假设曲边梯形的底边长为a，顶边长为b，宽度为dx（即微小矩形条的宽度），则每个微小矩形条的面积可以表示为(a+kb)dx，其中k表示微小矩形条的位置。
将上述微小矩形条的面积加起来，即得到曲边梯形的面积：∫[a,b](a+k(x)b)dx接下来，我们将这个定积分进行求解。
首先将被积函数展开：∫[a,b](a+bk(x))dx = a∫[a,b]dx + b∫[a,b]k(x)dx其中，a∫[a,b]dx表示在[a,b]区间上的积分，由于dx仅与x有关，所以其结果为(a+b)(b-a)。
b∫[a,b]k(x)dx表示曲线所围成的面积，即曲边梯形的面积。
综上所述，曲边梯形的面积可以表示为：面积 = (a+b)(b-a) + b∫[a,b]k(x)dx这就是曲边梯形面积的定积分求解公式。
需要注意的是，该公式仅适用于曲边梯形位于x轴上，且曲线函数f(x)可求解的情况。
对于非x轴上的曲边梯形，可以通过变量换元或者函数变换的方法将其转化为在x轴上的曲边梯形，然后使用上述公式求解。
曲边梯形的面积与定积分033356281qubian
2 1
1 ( x 1)dx; (2). ( x 1) dx. 2 2
1
y
1
2
x
-2
1
x
解: (1)5/2;
(2)9/4.
3.定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分 f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、
a b
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x)
a
s v(t)dt。
a
b
b
(3)变力作功问题可表示为
W F ( x)dx
a
O
a
t
b
注 ：定积分数值只与被积函数及积分
区间 [a, b] 有关, 与积分变量记号无关
b b b
a f ( x)dx a f (t )dt a f (u)du
感受理解
例1.计算下列定积分:
(1).
y = f(x) y f(xi)
f(x2) f(x1) f(xi)xi
O
a x 1 x1 x 2 x2
xi-1 xi xi ．
xn-1 b x
•曲边梯形的面积近似为：A
f (xi )xi
i 1
n
例1：火箭发射后ts的速度为v(t)(单位:m/s),假定 0≤t≤10,对函数v(t)按上式所作的和具有怎样的实 际意义？
Sn=v(t1)⊿t+v(t2)⊿t+…+v(ti)⊿t+…+v(tn)⊿t ≈火箭在10s内运行的总路程.
学生活动
● 前面几个问题有什么共性？
f (x1 )x f(x 2 )x f(x n )x Sn
问题情境
1.4.1曲边梯形的面积与定积分(上课用)
2、一般函数定积分的定义 设f(x)是定义在区间[a，b]上的一个函数， 在闭区间[a，b]上任取n－1个分点
a x0 x1 xi 1 xi xn b
把[a，b]分成 n个小闭区间，其长度依次 为△x=xi+1－xi，i=0，1，2，„，n－1，记 λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0 时，所有小区间的长度都趋近于0，在每个 i [ xi 1 , xi ] 小区间内各取一点，
i 1 2 ) 为 左端点的纵坐标 ( n 1
高，△x= 形，
n
为底作小矩
x O
1
于是图中曲线之下小矩形面积依次为
1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 0 , ( ) , ( ) , , ( ) , n n n n n n n
2
所有这些小矩形的面积的和为
1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 Sn 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n
3.定积分的几何意义：
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
求由抛物线y=x2与直线x=0、x=1、 1 y=0所围成的平面图形的面积．
B
四步曲：
曲边三角形
1°分割— 化整为零 1 2°近似代替— 以直代曲 O A x 0 x 1 x ? 3°求和 — 积零为整 1 1 2 n 1 0, , , ,, ,1 4°取极限(逼近) — n n n n 精益求精
2 kb 当n→+∞时，上式右端趋近于 2
于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为
kb W lim Wi n 2 i 0
n 1 2
以上两个实际问题，一个是求曲边梯形 的面积，一个是求变力所做的功，虽然实 际意义不同，但解决问题的方法和步骤是 完全相同的，都归结为求一个函数在某一 闭区间上的和式的极限问题.
09曲边梯形面积与定积分
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S 1 , S 2 , , S i , , S n .
（2） 以直代曲
Si f ( i 1 n )x ( i 1 n )
S
b
f ( x)dx
a
2．定积分的实质：特殊和式的逼近值． 3．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和
取逼近
积零为整
取逼近
精确值——定积分
回顾小结
2.一般定积分的几何意义是,在区间[a,b] 上曲线与x轴所围成图形的面积的代数 和.
3.定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区 间有关，而与积分变量的记法无关，即
A1 O a
A2 b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f(x) y
A1 O a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1 O a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
2
1 n
n
（3）作和
S S1 S 2 S n
S
i 1
i
1 n
n
i 1
i -1 1 f( ) n n
求曲边梯形的面积详解
ba n
f
i
即时小结
以上计算曲边三角形面积的过程可以用流程图表示：
分割
近似代替
求和
逼近
y
y
y
y
O
xO
xO
xO
x
一个案例 两种思想 三个方案 四个步骤
课堂小结
求一个具体曲边梯形的面积 “以直代曲”和“无限逼近”思想 方案一、方案二、方案三 分割、近似代替、求和、求极限
• 有位成功人士曾说过：“做事业的 过程就是在求解一条曲线长度的过 程。每一件实实在在的小事就是组 成事业曲线的直线段。”想想我们 的学习过程、追求理想的过程又何 尝不是这样？希望大家能用微积分 的思想去学习、去做事！
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
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深入思考
• 通过动画演示我们可以看出，n越大，区间 分的越细，各个结果就越接近真实值。为 此，我们让n无限变大，这就是一个求极限 的过程。
两个结论
• （1）在分割时一定要等分吗？不等分影响 结果吗？
y x2 所围成的平面图形的面积 S？ y
y x2
o
1x
思维导航
看看怎样求出下列图形的面积?从中你有何启示？
y
y
A
A
∟
∟
o
B
x
o
B
x
不规则的几何图形可以分割成 若干个规则的几何图形来求解
思维导航
-----割圆术
魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
曲边梯形的面积
以抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积
以抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积
摘要：
1.抛物线弧段曲边梯形的定义
2.计算曲边梯形面积的方法
3.具体计算步骤和公式推导
4.实际应用场景和案例
正文：
抛物线弧段曲边梯形是指由两个平行的抛物线弧段和它们之间的直线段组成的梯形。
计算这种曲边梯形的面积是数学中的一个常见问题。
要计算曲边梯形的面积，需要先确定曲边梯形的参数。
这些参数包括两个抛物线弧段的顶点坐标和它们的半径，以及两个抛物线弧段之间的直线段的斜率和截距。
确定参数后，可以采用数值积分方法计算曲边梯形的面积。
数值积分方法的具体步骤如下：
1.将曲边梯形划分为若干个小区间，每个小区间选取一个代表点。
2.对每个代表点，计算它到曲边梯形底边的距离，得到一个数值。
3.对所有代表点的数值求和，得到曲边梯形的面积。
曲边梯形面积的具体计算公式为：
$A = int_{x_1}^{x_2} sqrt{1+(y"(x))^2} dx$
其中，$x_1$ 和$x_2$ 分别是两个抛物线弧段的顶点横坐标，$y"(x)$ 是第二个抛物线弧段的导数。
实际应用场景中，抛物线弧段曲边梯形常常出现在工程和物理问题中，例
如计算抛物线形轨道的面积，或者计算抛物线形物体在某一过程中的位移和速度等。
2018届高中数学必修(人教版)曲边梯形的面积课件
例题讲解
例1.求图中阴影部分是由抛物线y＝x2 ， 直线x＝1以及x轴所围成的平面图形的 面积S.
新课讲授
问题3： (1)曲边梯形与“直边图形”的区别？ (2)能否将求这个曲边梯形面积S的问题
转化为求“直边图形”面积的问题？
新课讲授
求曲边梯形面积的四个步骤:
第一步：分割.在区间[a,b]中任意插入 n－1各分点，将它们等分成n个小区间 [xi－1, xi](i＝1,2,…, n]，区间[xi－1, xi]的 长度xi＝xi － xi－1 . 第二步：近似代替，“以直代取”.用矩 形的面积近似代替小曲边梯形的面积， 求出每个小曲边梯形面积的近似值． 第三步：求和. 第四步：取极限.
新课讲授
说明：
1.归纳以上步骤，其流程图表示为：
分割 以直代曲
求和
逼近
2.最后所得曲边形的面积不是近似值，而是 真实值.
例题讲解
例2.求 y 2 x x2 , y 0,0 x 2 围成 图形面积.
课堂练习
设S表示由曲线 y x ，x=1，以及x轴 所围成平面图形的面积.
1.5.1 曲边梯形的面积
复习引入
问题1：我们学过如何求正方形、长方形、 三角形等的面积，这些图形都是由直线段 围成的.那么，如何求曲线围成的平面图形 的面积呢？
新课讲授
如果函数y＝f(x)在某一区间I上的图 象是一条连续不断的曲线，那么就把函 数y＝f(x)称为区间I上的连续函数．
新课讲授
问题 2：如图：阴影部分类似于一个梯形， 但有一边是曲线 y=f(x)的一段.我们把由直线 x=a，x=b(a≠b)，y=0 和曲线 y=f(x)所围成的 图形称为曲边梯形. 如何计算这个曲边 梯形的面积呢？
求曲边梯形的面积h
2 2
2
1 1 2 1 n 1 n n n n n n
1 2 2 2 3 (1 2 n ) n
1 n(n 1)(2n 1) 1 1 1 3 1 2 n 6 6 n n
i-1 n
O
i n
y x2
i 1 1 n n
n n
2
1 n
2 n
k n
x
(i 1,2,, n)
23
第三步
n i 1
求和
n i 1
i 1 1 Si Si n n
2
S小矩形和 Si'
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
y y=x 2
区间长度：
i i 1 1 x n n n
O
i-1 i n n
n 很大时, x很小
1x
22
第二步
y
第i个小曲 边梯形
近似代替 ——以直代曲
y f ( x)
i 1 f n
Si Si
i 1 f x n 2 i 1 x n
7
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
《曲边梯形的面积》优秀课件
在土地规划中，需要计算土地的面积，以确定土地的开发强度、容积率等指标。
06
总结与回顾
本课程的主要内容回顾
曲边梯形定义
曲边梯形面积计算方法
曲边梯形是一个具有曲边的四边形，其面 积计算需要考虑曲边的长度和高度。
通过分割曲边梯形为若干个小矩形或平行 四边形，再求和这些小图形的面积，得出 曲边梯形的面积。
实例二：不规则曲边梯形
不规则曲边梯形可能由多个不同的函数定义，计算面积需要 分别对每个函数进行积分，然后将得到的面积相加。
例如，一个不规则曲边梯形由y=x^2和y=√x定义，可以先分别 计算由这两个函数定义的曲边梯形的面积，然后将结果相加。
实例三：实际应用中的曲边梯形面积计算
在实际应用中，曲边梯形面积计算可能涉及到更复杂的函 数和更广泛的应用场景。例如，金融领域中的投资组合优 化问题、工程领域中的材料成本估算等。
优点
缺点
需要一定的微积分基础，计算过程较 为复杂。
精度高，适用于各种形状的曲边梯形。
04
曲边梯形面积计算的实例
实例一：规则曲边梯形
规则曲边梯形是一个具有明确函数表达式的图形，可以通过积分计算其面积。例 如，一个由y=sinx定义的曲边梯形，其面积可以通过对y=sinx进行积分来获得。
具体计算过程为：首先确定曲边梯形的上下限，然后使用定积分公式计算面积， 即∫上限 下限 dsinx。
形得到。
曲边梯形的性质
曲边梯形具有直边和曲边的特 性，其面积计算需要考虑曲边 的形状和大小。
曲边梯形的面积与直边的长度 和曲边的形状、高度、宽度等 参数有关。
曲边梯形的面积可以通过积分 计算得到，也可以通过近似方 法估算。
03
曲边梯形的面积
xi i xi+1 x
b
x
巩固提高
求直线x=1,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形 的面积
解:(1)分割:将区间[1,2]n等分,则
i -1 i ,1+ ] 的长度为 每个区间 [1+ n n 1 Δx = 过每个分点作x轴的垂 n
线,将原曲边梯形分割为n个小 曲边梯形;
(2)近似替代
y = f ( x) y
A1 O a b x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1. 精确么？
如 何 求 曲 边 梯 形 的 面 积 ？
y = f ( x) y
A1 O a
A2 b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2
和用一个矩形近似表示面积相比，哪个精确？
n个小区间: a, x1 , x1, x2 , xi1, xi ,, xn1, b, 每个小区间宽度△x
ba n
(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
3
(2)近似代替:任取i[xi1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高
为f(i),宽为x的小矩形面积f(i)x
8 3
O
2 i - 1 2i n n
2
x
课后练习 •3.求由y=2x2＋1,和x=1,x=3,x轴围成的曲边梯 形面积。
O
1
x
典型例题：
例 1. 求抛物线 y=x2 、直线 x=0 、直线 x=1和y=0所围成的曲边梯形的面积。
y
y x
2
⑴分割
把底边区间[0,1]等间隔地插入 n-1个点，将其等分成n个小区间,
4.5.1曲边梯形的面积
解析：设力 f＝kx(k 为比例系数)， 当 f＝1 时，x＝0.01，可解得 k＝100， 则 f＝100x，如图，
弹簧伸长 10 cm 所做的功即为图中阴影部分的面积． ∴W＝12×0.1×10＝0.5(J)，故选 B.
小结 （曲边梯形的面积求法）
n
[
i＝1
－
i－ (n
1 )
2＋
2
]
·1n
＝n13i＝n1[2n2－(i－1)2]
＝n13[2n2·n－12－22－…－(n－1)2] ＝n13[2n3－16n(n－1)(2n－1)]＝2－16(2－3n＋n12)． Δx 无限趋于 0，即 n→＋∞时，S 无限趋于53， 所以，由直线 x＝1, x＝0, y＝0 和抛物线 y＝－x2＋2 所围成的平面区域的面积是53.
分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程 求yx2所围成的曲边梯形图形
（1）分割
把区间[0，1]等分成n个小区间：
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1, i ],,[n 1, n ],
n nn
n
i 1
i n
2
1 n
1 n3
n i 1
i2
1 n3
n(n
1)(2n 6
1)
1 6
1
1 n
2
1 n
,
0 n
n
1 x2dx
0
lim 0 i1
x i 2xi
lim 1 1 1 2 1 n 6 n n
1. 3
1.5 .1曲边梯形的面积
方法总结：我们能否得到求一般性曲边梯形的面积
方法（如下图所示）？ 一般地，对如图所示的曲边梯形，我们也可采用分
割、近似代替、求和、取极限的方法，求出其面积。
求曲边梯形面积的“四步曲”： 1°分割 2°近似代替 化整为零 以直代曲
3°求和 4°取极限
积零为整 刨光磨平
探究点二 问题
求变速运动的路程
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关
系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速 度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？
答 物体以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的 路程为s＝vt.如果物体做变速直线运动，与求曲边梯形面 积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直 线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问 题．
i＝1 n
小区间，
(2)近似代替
2i 取ξi＝ n (i＝1,2，„，n)．于是 2i 2i 2 2 ΔSi≈ΔS′i＝v( n )·Δt＝[3( n ) ＋2]· n 24i2 4 ＝ n3 ＋n(i＝1,2，„，n)． (3)求和 Sn＝ ΔS′i＝
i＝1 n n i＝1
本 课 时 栏 目 开 关
i－1 1 1 n i－1 2 Sn＝ f(1＋ n )· ＝n [(1＋ n ) ＋2] n i＝1 i＝1
n 2 1 n i－1 2i－1 ＝n [ n2 ＋ n ＋3] i＝1
1 1 2 2 2 1 2 ＝n{3n＋ 2[0 ＋1 ＋2 ＋…＋(n－1) ]＋n[0＋2＋4＋6＋…＋ n n－12n－1 n－1 2(n－1)]}＝3＋ ＋ n . 6n 2
于是所求平面图形的面积近似等于
本 课 时 栏 目 开 关
1 36 49 64 81 1 255 (1＋ ＋ ＋ ＋ )＝ × ＝1.02. 10 25 25 25 25 10 25
曲边梯形的面积(教案)
曲边梯形的面积(教案)第一章：引言1.1 课程背景本节课我们将学习一种新的几何形状——曲边梯形，并了解其面积的计算方法。
曲边梯形在现实生活中有着广泛的应用，如建筑设计、土木工程等领域。
通过学习本节课，学生将能够掌握曲边梯形面积的求解方法，提高解决实际问题的能力。
1.2 教学目标1. 理解曲边梯形的定义及其特点；2. 掌握曲边梯形面积的计算方法；3. 能够运用所学知识解决实际问题。
第二章：曲边梯形的定义及特点2.1 曲边梯形的定义曲边梯形是一种四边形，其中两边为直线，两边为曲线。
曲边梯形的特点是两边平行，而两边则不平行。
2.2 曲边梯形的特点1. 两边平行；2. 两边不平行；3. 对角线相交于一点。
第三章：曲边梯形面积的计算方法3.1 分割法将曲边梯形分割成无数个小的曲边三角形，近似认为这些小三角形都是直角三角形。
计算每个小三角形的面积，将所有小三角形的面积相加得到曲边梯形的面积。
3.2 积分法利用积分公式计算曲边梯形的面积。
将曲边梯形的曲线部分看作是积分函数，将曲线与x轴之间的区域作为积分的区间，计算该区间内的积分值，即可得到曲边梯形的面积。
第四章：实例讲解4.1 实例一：直角曲边梯形已知直角曲边梯形的上底为a，下底为b，高为h，求其面积。
解：利用分割法，将直角曲边梯形分割成无数个小的直角三角形。
计算每个小三角形的面积，将所有小三角形的面积相加得到直角曲边梯形的面积。
4.2 实例二：非直角曲边梯形已知非直角曲边梯形的上底为a，下底为b，高为h，求其面积。
解：利用积分法，将非直角曲边梯形的曲线部分看作是积分函数，将曲线与x 轴之间的区域作为积分的区间，计算该区间内的积分值，即可得到非直角曲边梯形的面积。
第五章：课堂练习5.1 练习一已知直角曲边梯形的上底为2cm，下底为6cm，高为5cm，求其面积。
5.2 练习二已知非直角曲边梯形的上底为3cm，下底为9cm，高为8cm，求其面积。
第六章：巩固练习6.1 题目一给出一个曲边梯形，其上底长为5cm，下底长为10cm，高为8cm。
最新人教版高中数学选修1.5.1曲边梯形的面积 (2)ppt课件
3求和
由2 ,图中阴影部分的面积 S n 为 2 n n n i 1 i 1 1 ' S n Si f x n n i 1 i 1 i 1 n
y
1 1 1 n 1 1 0 n n n n n
二、新课引入，任务驱动
通过本节的学习你能利用定积分的概念 求曲边图形的面积吗？
三、新知建构，典例分析
一.曲边梯形 二.“以直代曲”、“无限逼近”的数学 思想 三.求曲边梯形面积的步骤
①、只有一边是曲线
②、其他三边是直线
曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线 y=f(x)，直线x=a、 x=b及 x 轴所围成的图形叫做曲边梯形。
A1 O
a
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得
A A1.
y = f ( x) y
A1
O
A2
a
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A，得 A A1+ A2
y
y = f(x)
A1 O
A2
A3
A4
a
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
二、新课引入，任务驱动
在已学过的函数中，许多函数（例如 y x , y x2 , y x 等）的图象都是某个区间 I 上的一条连续不断的曲线。一般地，如果 函数 y f (x) 在某个区间 I 上的图象是一条 连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间 I 上的连续函数。 如不加说明，下面研究的都是连续函 数。
1分割
y
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例1：火箭发射后ts的速度为v(t)(单位:m/s),假定 0≤t≤10,对函数v(t)按上式所作的和具有怎样的实 际意义？
例2：如图，有两个点电荷A、B，电量分别为 qA,qB,,固定电荷A，将电荷B从距A为a处移到距 A为b 处，求库仑力对电荷B所做的功。
练习 ：P42 练习
小结
Si
f
(i
1)x n(i1)2Fra bibliotekn1 n
（3）作和
n
S S1 S2 Sn Si i1
n f(i -1) 1 n (i -1)2 1 i1 n n i1 n n
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
（4）逼近 当分割无限变细，即x 0(亦即n )时，
1 n3
[02
12
22
y
•得n个小区间：
[xi1 , xi ] (i=1, 2 , ···, n)．
f(x2) f(x1)
•区间[xi1 , xi ]的长
度xi xi xi1 ．
O
a x1 x1 x2 x2
y = f(x) f(xi)
f(xi)xi
xi-1 xi xi
xn-1 b x
n
•曲边梯形的面积近似为：A f (xi )xi ．
如何求下列图形面积？
曲
边
y
y
y
梯
形
0
t0
to
t
直线
几条线段连成的折线
曲线？
由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所 围成的图形成为曲边梯形.
v
o
t
特例分析
直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边三 角形）面积S是多少？
思考？曲边梯形与我们熟悉的“直边图形”的主要区别 是什么？能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求 “直边图形”面积的问题？
（1）分割
把区间[0，1]等分成n个小区间：
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1, i ],,[n 1, n ],
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
（2） 以直代曲
y
y=x2
O
1
x
以直代曲
逼近
特例分析
直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边三 角形）面积S是多少？
为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即 在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代 曲” y。
方案1 方案2 方案3
O
1
(n
1)2 ]
1 n3
1 (n 6
1)n(2n 1)
1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n 3
所以S 1，即所求曲边三角形的面积为1。
3
3
分割
以曲代直
作和
逼近
当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x) 在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从 而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi) 作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示 小曲边梯形的面积
O a x1 x1 x2 x2
•把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形．
f(xi)xi
xi-1 xi xi
xn-1 b x
•任取xi [xi1，xi ] ，以f (x i) xi近似代替第i个窄曲边梯形的面
积．
n
•曲边梯形的面积近似为：A f (xi )xi ． i1
•在 [a, b]中任意插
入 n 1个分点．
x
y = f(x) y
Oa
A1
b
x
用一个矩形的面积 A1近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1.
y = f(x) y
A1 Oa
A2
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为
A A1+ A2 + + An
分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程
f (x1)x f(x 2 )x f(x n )x
表示了曲边梯形面积的近似值
演示
•在 [a, b]中任意插
入 n 1个分点．
y
y = f(x) f(xi)
•得n个小区间：
[xi1 , xi ] (i=1, 2 , ···, n)．
f(x2) f(x1)
•区间[xi1 , xi ]的长
度xi xi xi1 ．