第1讲 数学建模简介

两个引例 问题一 ： 任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用
于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和 900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用两种 不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如 下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的 要求，又使加工费用最低？
x ( t ) = 3 . 06 × 10 9 ⋅ e 0 .02 ( t −1961 ) .
( 22) 1.
根据 1700- 1961 年间世界人口统计数据, 我们发现这些数据与( 22) 1. 式的计算结果相当符 合. 因为在这期间地球上人口大约每 35 年增加 1 倍, 1. 式算出每 34. 年增加 1 倍. 而( 22) 6
●
数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中， 数学建模 是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问 题的能力的必备手段之一.
二、数学建模的一般方法和步骤
建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模 型应能反映系统的全部重要特征 特征： 模型的可靠性 可靠性和模型的使用性 特征 可靠性 使用性 建模的一般方法： ◆ 机理分析 ◆ 测试分析方法 机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出 机理分析 反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义． 测试分析方法： 测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无 法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统 计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟 合得最好的模型． 测试分析方法也叫做系统辩识 系统辩识． 系统辩识 将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结 构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法．
min z = 13 x1 + 9 x 2 + 10 x3 + 11x 4 + 12 x5 + 8 x 6
x 1 + x 4 = 400 x + x = 600 5 2 x3 + x6 = 500 s.t. 0.4 x1 + 1.1x 2 + x3 ≤ 800 0.5 x 4 + 1.2 x5 + 1.3x6 ≤ 900 xi ≥ 0, i = 1,2, L,6
4. 培养和发展同学们的创造力、想象力、联想 培养和发展同学们的创造力、想象力、 力和洞察力. 力和洞察力 刻苦、勤奋、毅力是培养创造力的必要条件； 刻苦、勤奋、毅力是培养创造力的必要条件； 5. 培养交流、表达和写作能力; 培养交流、表达和写作能力
数学建模简介
1.关于数学建模 关于数学建模 2.数学建模实例 数学建模实例
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实际问题 在实际过程中用 那一种方法建模主要是 根据我们对研究对象的 了解程度和建模目的来 决定．机理分析法建模 的具体步骤大致可见右 图．
不符合实际 符合实际
抽象、简化、假设 确定变量、参数
建立数学模型并数学、数值地 求解、确定参数
用实际问题的实测数据等 来检验该数学模型
交付使用，从而可产生 经济、社会效益
2. 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 椅子能在不平的地面上放稳吗？
把四只脚的椅子往不平的地面上一放，通常只 有三只脚着地，放不稳，然而有人认为只要稍挪动几 次，就可以四脚着地，放稳了，对吗？
3. 双层玻璃的功效
北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两 层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气，如左图所示，据 说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失． 我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即 流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻 璃窗（如右图，玻璃厚度为2d）的热量传导进行对比，对双 层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果． 返回
2. 什么是数学建模 什么是数学建模? 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种 数学建模 实践．即通过抽象、简化、假设、引进变量等处 理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起 数学模型，然后运用的数学方法及计算机技术进 行求解．
观点： 所谓高科技就是一种数学技术” 观点：“所谓高科技就是一种数学技术” 高科技就是一种数学技术
建模过程示意图
三、数学模型及其分类
直观模型 具体模型 物理模型 模型 思维模型 抽象模型 符号模型 数学模型 数式模型 图形模型
数学模型的分类： 数学模型的分类： ◆ 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优 化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、 扩散模型等． ◆ 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通 模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资 源模型、污染模型、经济模型、社会模型等．
一、模型假设 模型假设 1. 热量的传播过程只有传导，没有对流.即假定窗户的密封性能 热量的传播过程只有传导，没有对流 即假定窗户的密封性能 很好，两层玻璃之间的空气是不流动的； 很好，两层玻璃之间的空气是不流动的； 2. 室内温度 T 和室外温度T2保持不变，热传导过程已处于稳定 保持不变， 1 状态，即沿热传导方向， 状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常 数； 3. 玻璃材料均匀，热传导系数是常数. 玻璃材料均匀，热传导系数是常数
撰写数学建 模的论文格 式？
0. 题目 1. 摘要 问题、模型、方法、结果、检验或推广 摘要: 问题、模型、方法、结果、 2. 关键词： 关键词： 3. 问题重述 4. 模型假设 5. 分析与建立模型 6. 模型求解 7. 模型检验 8. 模型推广 9. 参考文献 10. 附录
数学建模实例
1. 如何预报人口 如何预报人口？ 要预报未来若干年的人口数，最重要的影 响因素是今年的人口数和今后这些年的增长 率（即人口出生率减死亡率），根据这两个 数据进行人口预报是很容易的． 记今年人口为 x ，k 年后人口为 xk ，年增长 0 率为r，则预报公式为：
例
人口模型
首先我们来看一下这个问题的提出. 据考古学家论证, 地球上出现生命距今已有 20 亿年, 而人类的出现距今却不足 200 万年. 纵观人类人口总数的增长情况, 我们发现 1000 年前人口总数为 2. 亿. 经过漫长的过程到 75 1830 年，人口总数达 10 亿，又经过 100 年，在 1930 年, 人口总数达 20 亿; 30 年之后, 在 1960 年，人口总数为 30 亿; 又经过 15 年,1975 年的人口总数是 40 亿,12 年之后即 1987 年, 人口已达 50 亿. 我们自然会产生这样一个问题: 人类人口增长的规律是什么? 如何在数学上描述这一规律. 1789 年， 英国神父 M al thus在分析了一百多年人口统计资料之后, 提出了 M al thus模型. 模 型假设 () 设 x( 表示 t 时刻的人口数, 且 x( 连续可微. i t) t) (i 人口的增长率 r 是常数( i) 增长率= 出生率-死亡率) .
车床 类型 甲 乙
单位工件所需加工台时数 工件 1 0.4 0.5 工件 2 1.1 1.2 工件 3 1.0 1.3
单位工件的加工费用 工件 1 13 11 工件 2 9 12 工件 3 10 8
可用台 时数 800 900
解
设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3， 在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。可建立 以下线性规划模型：
双层玻璃的功效
北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的， 北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度 的空气，如左图所示， 为 d 的玻璃夹着一层厚度为 l 的空气，如左图所示，据说这样做是为 了保暖，即减少室内向室外的热量流失 了保暖，即减少室内向室外的热量流失. 我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失） 我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失） 过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图， 过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图， 的热量传导进行对比， 玻璃厚度为 2 d ）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少 热量损失给出定量分析结果. 热量损失给出定量分析结果
建模与求解 由假设,t 时刻到 t + ∆ t 时刻人口的增量为
x ( t + ∆ t ) − x ( t ) = rx ( t ) ∆ t
于是得
dx = rx , x ( t 0 ) = x 0 , dt
x ( t ) = x 0 e rt .
( 20) 1.
解得
( 21) 1.
9
模型评价: 考虑二百多年来人口增长的实际情况, 1961 年世界人口总数为 3 .0 6 × 10 , 在 1961-1970, 年这段时间内, 每年平均的人口自然增长率为 2% ，则( 21) 1. 式可写为
A.人口预报问题 人口预报问题 B. 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 椅子能在不平的地面上放稳吗？ C.双层玻璃的功效 双层玻璃的功效
3.数学建模论文的撰写方法 数学建模论文的撰写方法
一、名词解释
1. 什么是数学模型？ 什么是数学模型？
数学模型是对于现实世界的一个特定对象 特定对象，一个 数学模型 特定对象 特定目的，根据特有的内在规律 内在规律，做出一些必要的假 特定目的 内在规律 必要的假 数学工具，得到一个数学结构 数学结构． 设，运用适当的数学工具 数学工具 数学结构 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表 达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即 用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、 积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研 究的客观对象或系统在某一方面的存在规律．
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数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了 数学建模 数学并需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学 的语言、方法去近似地刻画该实际问题，这种刻划的 数学表述就是一个数学模型，其过程就是数学建模的 过程．数学模型一经提出，就要用一定的技术手段 （计算、证明等）来求解并验证，其中大量的计算往 往是必不可少的，高性能的计算机的出现使数学建模 这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展，掀起一个 高潮．
xk = x0 (1 + r )
k
预报正确的条件： 年增长率r保持不变．
人口模型
1. 指数增长模型 Байду номын сангаас数增长模型（马尔萨斯人口模型）： 英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于 1798年提出． 2. 阻滞增长模型 阻滞增长模型（logistic模型）
3. 更复杂的人口模型 随机性模型、考虑人口年龄分布的模型等 ● 可见数学模型总是在不断的修改、完善，使之能符 合实际情况的变化．
人口模型
1. 指数增长模型 指数增长模型（马尔萨斯人口模型）： 英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于 1798年提出． 2. 阻滞增长模型 阻滞增长模型（logistic模型）
3. 更复杂的人口模型 随机性模型、考虑人口年龄分布的模型等 ● 可见数学模型总是在不断的修改、完善，使之能符 合实际情况的变化．
拟 合 问 题 引 例
º 已知热敏电阻数据： 温度t( 已知热敏电阻数据： 温度 C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7
电阻R(Ω 电阻 Ω) 765 826 时的电阻R． 求60ºC时的电阻 ． 时的电阻
1100 1000 900 800 700 20
873 942 1032
设 R=at+b a,b为待定系数 为待定系数
数学建模与数学实验
数学建模简介
通过竞赛要培养学生什么样的能力 通过竞赛要培养学生什么样的能力 1. 应用数学进行分析、推理、计算的能力 特别 应用数学进行分析、推理、计算的能力, 双向”翻译的能力 是“双向 翻译的能力 能手算推理的一定先 手 双向 翻译的能力. 能手算推理的一定先, 算推理. 例如, 数码相机定位， 算推理 例如 2008 A 题 数码相机定位，2010 C 题 输油管的布置 等 . 输油管的布置, 2. 应 用 计 算 机 、 相 应 数 学 软 件 以 及 因 特 网 (Internet) 的能力 的能力. 3. 应 变能力 （ 独立查 找文献 、 在短 时间内 阅 消化、应用的能力）的培养; 读、消化、应用的能力）的培养 平时的锻炼和 积累极为重要. 积累极为重要