排队论与泊松过程(加注解)

Pn (t t ) Pn (t )(1 t ) Pn1 (t )t o(t )
(n 1)
两边同除以 t ，并令 t 0 ，便得到
dPn (t ) Pn (t ) Pn1 (t ), n 1, dt Pn (0) 0
二．Poisson过程 一种常用的输入过程
Poisson过程的得出，本身就是 一个数学建模的过程。
用 N (t ) 表示在时间区间 (0, t ] 内到达的顾客数 (t 0) ，用 Pn (t1 , t 2 ) 表示在时间区间 [t1 , t2 ) (t2 t1 ) 内有 n 个顾客到达的概率。即
设顾客的到达规律服从参数为 的 Poisson 分布，而服 务时间服从参数为 的指数分布。这样，在时间区间
[t , t t ) 内，有一个顾客到达的概率为 t o(t ) ，没有顾
客到达的概率为 1 t o(t ) ；当顾客接受服务时，1 个顾 客被服务完了（离去）的概率为 t o(t ) ，而没有服务完 （没离去）的概率为 1 t o(t ) 。
【解】平均到达率 平均服务率
1 0.10 （人/分钟） 10 1 0.33 （人/分钟） 3
2 (0.10) 2 （1） Lq 0.13 （人） ( ) 0.33(0.33 0.10)
P (t , t t ) t o(t ) 1
其中 0 为常数，它表示单位时间内平均到达的顾客数；
（3）普通性：对充分小的 t ，在时间区间 [t , t t ) 内，有 两个和两个以上顾客到达的概率很小，以至于可以忽略不计。 即
P (t, t t ) o(t ) 。
（1）
其中 Pn (0) 0 为当然的初始条件。当 n 0 时，可以得到
dP (t ) 0 P0 (t ) dt P0 (0) 1
（2）
其中 P0 (0) 1 表示在 t 0 时没有人到达的概率是 1。
初值问题 （2） 很容易求解， 用分离变量法先求出 P0 (t ) ， 然后在通过递推法，便可得到
两边同除以 t ，并令 t 0 ，便得到关于 Pn (t ) 的微分差分方程
d Pn (t ) Pn1 (t ) Pn1 (t ) ( ) Pn (t ) dt （1）式是在 n 1 时得到的，当 n 0 时类似地可得到 d P0 (t ) P0 (t ) P1 (t ) dt
1 Ws E (W )
4． 一个顾客在系统中等待时间的期望值 Wq
1 Wq Ws ( )
【案例分析之一】
到共用电话间打电话的人可以认为是以 Poisson 流到达，且 两个人到达的平均时间间隔为 10 分钟，打一次电话的平均时 间为 3 分钟，试问： （1）这一电话的平均排队人数； （2）每一个人的平均等待时间； （3）1 个人到达后必须等待的概率； （4）若这一电话间每天只连续开放 8 小时， 那么可能有多少 时间它是空闲的； （5）若电话局确信 1 个人到电话间至少须等待 3 分钟时，就 会在此电话间在安装另一部电话，那么在平均到达率增加到多 少时，须安装另一部电话？
其中 表示单位时间能被服务完的顾客数（期望值） ，称为 平均服务率。
比值 有明确的含义，它表示在相同时间区间内，
顾客到达的平均数与被服务的平均数之比；或者是对相同 顾客数，服务时间之和的期望值与到达时间间隔之和的期 望值的比。这个比值是刻画服务效率和服务机构利用程度 的重要标志，我们称 为服务强度。显然， 越小，服务 质量越好；当 1 时，队列将无限长，服务质量太差。
主要内容
1
排队论的几个基本概念 Poisson过程
几个常见的排队论模型
2
3
一、排队论的几个基本概念
我们把要求服务的人或事物称为顾客， 把为顾客服务的人或事物叫做服务机构（服务 员或服务台），顾客排队要求服务的过程或现 象称为排队系统或服务系统。由于顾客到达的 时刻与进行服务的时间一般来说都是随机的， 所以服务系统又称随机服务系统。
FT (t ) P{T t} 1 P{T t}
1 P (t ) 1 e t ， 0
从而其密度函数为
(0 t )
d FT (t ) e t ， (0 t ) dt 1 所以 T 为具有数学期望 的指数分布。这在直观上也容易理解： f T (t )
（1）
（2）
现在我们要求（1）和（2）的稳态解，即令 d Pn (t ) 0 ， n 0,1,2,3, dt 得到关于 Pn (t ) 的差分方程为：
Pn1 (t ) Pn1 (t ) ( ) Pn (t ) 0, (n 1) 1 P0 (t ) P (t ) 0
多于 1 个顾客的到达或离去的概率为 o(t ) 。于是，运 用全概率公式，有
Pn (t t ) Pn (t )(1 t o(t )) (1 t o(t ))
Pn (t )(t o(t )) ( t o(t )) Pn1 (t )(1 t o(t )) ( t o(t )) Pn1 (t )(t o(t )) (1 t o(t ))
由此便可求得
Pn P0 n P0
n
（3）
（4）
1 （否则队列将排至无限） 这里我们假设 ，在注意
P
n 0

n
1 ，于是

P0 n P0
n 0
1 1 1
由此得
P0 1 , Pn (1 ) n ,
( t ) n t Pn (t ) e ， t 0, n 0,1,2,3, n!
因 此 这 种 计 数 过 程 N (t ) 被 成 为 强 度 为 的 Poisson 过程。
【时间间隔的分布】
当输入过程是 Poisson 过程是，我们考察两个顾客相继到达 的时间间隔 T （显然也是随机变量）的概率分布。 设 T 的分布函数为 FT (t ) ，则
o(t )
整理得
Pn (t t ) Pn (t )(1 t t ) Pn1 (t )t Pn1 (t )t o(t ) Pn (t t ) Pn (t ) Pn (t )( )t Pn1 (t )t Pn1 (t )t o(t )
( 1) (n 1)
（5）
这就是系统状态为 n 的概率。下面我们以此为基础计算系统 的几个主要指标。
1．系统中的平均顾客数（即队长的期望值 Ls ）
Ls nP n(1 ) n
n n 0 n 0



1


2．队列中的平均顾客数（即队列长的期望值 Lq ）
三、几个常见的排队论模型
模型一. 顾客源无限，系统容量不限的M/M/1模型
这一模型的具体条件是：在输入过程中，顾客有无限 多个，而且彼此相互独立地单独到来，到达过程是平稳的， 到达的顾客流服从 Poisson 分布。服务规则要求单队，且队 长没有限制，先到先服务。服务机构为单服务台，对各个 顾客的服务时间是相互独立的，且服从相同的指数分布。
我们用 Pn (t ) 表示在时刻 t ，系统的状态为 n （即系统中的顾 客数为 n ）的概率。 计算 Pn (t ) 的方法可以通过输入过程，排队规则，和服务机 构的具体情况建立关于 Pn (t ) 的微分差分方程。因此研究排队问 题的关键在于如何建立关于 Pn (t ) 的微分差分方程。
怎样由 Pn (t ) 的微分差分方程求解 Pn (t ) 关系到排队问题能 否最终解决。 一般来说，方程的瞬态解（即通常解）是不容易求得的， 即使求得也很难利用。为了使问题简化，可以令 Pn/ (t ) 0 的办 法求解。这样一来就把微分差分方程变成差分方程，而不再 含微分了。因为这样做意味着把 Pn (t ) 当作与 t 无关，因此称为 稳态解。尽管不稳态的情况确实存在，但对大多数的应用问 题系统会趋于稳态的。
Pn (t1 , t 2 ) P{N (t2 ) N (t1 ) n}
我们来探求 Pn (t ) 的概率分布。
【基本假设】
（1）无后效性（或独立增量性） ：在不相重叠的时间区间内，到达系统 的顾客数是相互独立的；
（2） 平稳性： 对充分小的 t ，在时间区间 [t , t t ) 内， 有一个顾客到达的概率与 t 无关，而约与 t 成正比，即
2 2 Lq (n 1) Pn Ls 1 ( ) n 0
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3．一个顾客在系统中逗留时间的期望值 Ws
在排队论中有结论：当输入流是参数为 的 Poisson 流，服 务时间服从参数为 的指数分布时，1 个顾客在系统中的逗留时 间 W 服从参数为 的指数分布。从而
【逗留时间】 指一个顾客在系统中的停留时间，它的期望值记作 Ws 。 【等待时间】 指一个顾客在系统中排队等待的时间，它的期望值记作 Wq 。 [逗留时间] = [等待时间] + [服务时间]
【忙期】 指从一个顾客到达空闲服务机构起，到服务机构再次空闲时止这段时间的长 度，即服务机构连续工作的时间长度。它关系到服务员的工作强度和服务质量。 分析和研究服务系统的服务状况需要以上一些指标，而计算这些指标的基础是表达系统 状态的概率。
各种随机服务系统都有3个共同的组成部分
（1）输入系统: 即各种类型的顾客按照怎 样的规律到达服务系统要求服务； （2）排队规则: 次序接受服务； 指到达系统的顾客按什么
（3）服务机构: 指同一时刻有多少服务设 备可以接纳顾客，每个顾客须服务多少时间。
Ls
判别一个服务系统优劣的主要指标有
【队长】 指在系统中的顾客数，它的期望值记作 Ls 。 【排队长】 指在系统中排对等待服务的顾客数，它的期 望值记作 Lq 。 一般说来， Ls 或 Lq 越大，说明服务质量越低，排队成龙， 顾客最讨厌。
n 2 n

【模型求解】
由条件（1） ，我们总可以取时间由 0 算起，并记 Pn (t ) Pn (0, t ) 。在 由条件（2） （3）易知，在时间区间 [t , t t ) 内没有顾客达到的概率为
P0 (t , t t ) 1 t o(t )
注意到 [0, t t ) 可以分为 [0, t ) 和 [t , t t ) 两部分，利用全概率公式得

若平均到达率为 ，那么平均到达时间间隔必为
1

。
【服务时间的分布】
对一个顾客的服务时间 v （随机变量） ，就是忙期两个 顾客相继离开系统的时间间隔，一般也服从指数分布。这 可以通过和前面类似的办法说明，只需把前面的输入流换 成同样分布的输出流即可。 v 的分布函数和密度函数分别 设 是
Fv (t ) 1 et ， f v (t ) e t ， (0 t )
Poisson过程与排队论模型
三峡大学理学院 于林
排队是日常生活中经常遇到的现象，如顾客到 商店购物，病人到医院看病等等，常要遇到排队。
排队的目的是要求另外的人或事物为其服务， 而一旦不能立即被服务就必然形成排队。
这种现象不仅在个人日常生活中出现，电信局 的占线问题，车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和 疏导，故障机器待修等都是有形无形的排队现象。 研究这些排队现象的规律的学科就是排队论， 也叫随机服务系统。