20.1 数据的代表
数学：20.1数据的代表(第3课时)课件(人教新课标八年级下)
3
2
这 种 情 况 没 有 众 数
1
0 1
6000
4000
1700
1300
1200
1100
500
运用新知，解决问题
工资太低了！找别 家吧！
有一家电视台在招天气 预报员，我去试试
阿Q 又到一家电视台应聘天气预报员，电视台让他把 2001 年8月23日的天气预报 说一遍，于是阿Q集中精力把我国各大城市的天气预报说了一遍，最后又补说了一句： 我国34大城市当日的最高气温（0c）平均数为29度，中位数为30度，众数为31度， 你认为阿Q说得对吗？
人教版初中数学八年级下
创设情境，建立模型
大学生阿Q毕业后想找一份月薪在1700以上 的工作，一天他看见三毛公司门口的招聘广告， 上面写着：现因业务需要招员工一名，有意者欢 迎前来应聘。于是阿Q走了进去……
阿Q应聘
我们好几人工资都 是1100元.
我的工资是1200元，在公 司中算中等收入.
职 员 D
什么是中位数？
500 1100 1100 1100 1200 1300 1700 4000 6000
它就是中位数
可要动脑筋哟
如三毛公司只有8个员工，用上面那种方法 你能求出它们工资的中位数是多少吗？独立思 考后与同伴交流。
初中数学 第20章数据的分析 全章教案
第二十章数据的分析20.1数据的代表20.1.1平均数（第一课时）一、教学目标：1、使学生理解数据的权和加权平均数的概念2、使学生掌握加权平均数的计算方法3、通过本节课的学习，还应使学生理解平均数在数据统计中的意义和作用：描述一组数据集中趋势的特征数字，是反映一组数据平均水平的特征数。
二、重点、难点和难点突破的方法：1、重点：会求加权平均数2、难点：对“权”的理解1、加深对加权平均数的理解2、会根据频数分布表求加权平均数，从而解决一些实际问题3、会用计算器求加权平均数的值第二十章数据的分析课题20.1 数据的代表课时：六课时第一课时20.1.1 平均数【学习目标】1、使学生理解数据的权和加权平均数的概念2、使学生掌握加权平均数的计算方法3、通过本节课的学习，还应使学生理解平均数在数据统计中的意义和作用：描述一组数据集中趋势的特征数字，是反映一组数据平均水平的特征数。
【重点难点】重点：会求加权平均数难点：对“权”的理解【导学指导】学习教材P124－P127相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题：1．你认为P124“思考”中小明的做法有道理吗？为什么?2．正确的解法应是怎样的？请谈谈你的看法。
3．什么是加权平均数？4．P125“例1”中，所求的结果已不再是各人听说读写成绩的简单平均，而是听说读写成绩的加权平均数，它们的权分别是多少？5．P126“例2”中，两名选手的单项成绩都是两个95分与一个85分，为什么他们的最后得分不同呢？谈谈你对权的作用的体会。
【课堂练习】1．教材P127练习第1,2题。
2、在一个样本中，2出现了x1次，3出现了x2次，4出现了x3次，5出现了x4次，则这个样本的平均数为.3、某人打靶，有a次打中x环，b次打中y环，则这个人平均每次中靶环。
4、一家公司打算招聘一名部门经理，现对甲、乙两名应聘者从笔试、面试、实习成绩三个方面表现进行评分，笔试占总成绩20%、面试占30%、实习成绩占50%，各项成绩如表所示：试判断谁会被公司录取，为什么？5、在一次英语口试中，已知50分1人、60分2人、70分5人、90分5人、100分1人，其余为84分。
(完整版)人教版初中数学第二十章数据的分析知识点
第二十章 数据的分析20.1 数据的集中趋势20.1.1 平均数1、算术平均数：把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商. 公式：nx x x n +⋅⋅⋅++21 使用：当所给数据1x ，2x ，…，n x 中各个数据的重要程度相同时，一般使用该公式计算平均数.2、加权平均数：若n 个数1x ，2x ，…，n x 的权分别是1w ，2w ，…，n w ，则112212n n nx w x w x w w w w ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+，叫做这n 个数的加权平均数. 使用：当所给数据1x ，2x ，…，n x 中各个数据的重要程度（权）不同时，一般选用加权平均数计算平均数.权的意义：权就是权重即数据的重要程度.常见的权：1）数值、2）百分数、3）比值、4）频数等.20.1.2 中位数和众数1、中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数. 意义：在一组互不相等的数据中，小于和大于它们的中位数的数据各占一半.2、众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数.特点：可以是一个也可以是多个.用途：当一组数据中有较多的重复数据时，众数往往是人们所关心的一个量.3、平均数、中位数、众数的区别：平均数能充分利用所有数据，但容易受极端值的影响；中位数计算简单，它不易受极端值的影响，但不能充分利用所有数据；当数据中某些数据重复出现时，人们往往关心众数，但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有意义.20.2 数据的波动程度1、极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差.2、方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数，记作2s .用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公式是：()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦ 意义：方差（2s ）越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小.结论：①当一组数据同时加上一个数a 时，其平均数、中位数、众数也增加a ，而其方差不变； ②当一组数据扩大k 倍时，其平均数、中位数和众数也扩大k 倍，其方差扩大2k 倍.3、标准差：标准差是方差的算术平方根.s =。
八年级数学下册 20.1数据的代表 评标中的去尾平均数素材 新人教版
评标中的数学概念：去尾平均数
为什么许多评标办法中规定，计算投标人的某项得分时,首先要去掉一个最高分和最低分，再用其余评委打分的平均数作为该项的得分呢？
这里面涉及到一个数学概念：去尾平均数.在给出的一组数据中，首先去掉一个最大数和最小数，最后计算去掉后的其余数据的平均数叫做去尾平均数，也是根据数字特征，综合描述一组数据的聚集形态的代表数，在招标投标领域的评标中有着广泛的应用.
它的优点是保留了平均数与一组数据中的每个数据均有关系，任何数据的变动都会相应引起平均数变动的集中趋势代表性显著的特性，同时吸取了中位数，众数能够排除个别数据变动较大所带来的影响的处理极端数据的思想，防止个别评委因技术或判断偏差打分失真,也可以防止个别思想品质不高的评委给人情分、金钱分，使绝大多数的评委打分值更加真实可靠.
特别是对于只凭短时间审阅标书、凭评委个人理解、结合评分细则给分的评分项目采用了上述增加集中趋势的因素的计算平均分的办法——去尾平均数，理论上能使评标更加客观公正和公平.。
人教版数学八年级下册-20.1.1平均数-教案(2)
20.1.1平均数——人教版版八年级上册第二十章第一节教学设计一、学生状况分析本节课是人教版版数学教材八年级下册第二十章《数据的代表》的第1节——“平均数”的第1课时.学生在小学阶段已经初步学习过算术平均数的概念，会简单地求一组数据的算术平均数，并会单一地用算术平均数理解一组数据的平均水平.进入初中阶段后，在七年级相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些统计活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析本节课的教学任务是：让学生理解算术平均数、加权平均数的概念；会求一组数据的算术平均数和加权平均数；能解决有关平均数的实际问题，发展学生的数学应用能力, 达成有关的情感态度目标.根据以上分析，制定本节课的教学任务入下：1.知识与技能（1）认识权、会求加权平均数，并体会权的差异对结果的影响.（2）理解简单平均数和加权平均数的区别和联系，并能利用其解决一些实际问题.2. 过程与方法（1）通过小组活动，初步经历数据的处理过程，发展学生数据处理能力.（2）经历从特殊到到一般的数学探究方法，认识加权平均数的意义和价值，解决简单的实际问题.3. 情感态度与价值观（1）通过小组合作的活动，进一步增强与他人交流的意识与能力，培养学生的合作意识和能力．（2）通过权对结果的影响，使学生体会数学与人类社会的密切联系，通过解决身边的实际问题，体会到从不同角度考虑问题的必要性，认识事物要经历从一般到特殊的过程.了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心.在探索过程中形成实事求是的态度和勇于探索的精神.4、教学重难点 教学重点：（1）加权平均数的概念，会求加权平均数. （2）简单平均数与加权平均数的区别和联系. 教学难点：体会权的差异对结果的影响，认识到权的重要性. 三、教学过程设计本节课由五个教学环节组成，它们是“温旧孕新——探新知权——新知升华—学以致用——小结平均数”.其具体内容与分析如下：按照学生的认知规律，遵循以“学生为主体，教师为主导，数学活动为主线”的指导思教 学 内 容教师活动 学生活动 教学目的一、 温旧孕新问题1 2017年2月28日由《重庆晚报》打造的“重庆六一班”小记者培训课，在德普外国语学校开班，并授予德普为小记者培训基地. 经过激烈的比赛，学校现在要在甲、乙两名同学中选拔出一名“德普小记者”，他们的各项成绩（百分制）如下表：现在请计算两名候选者的平均成绩（百分制），如果你是评委，从他们的成绩看，应该选谁呢？展示视频图片以什么样的标准来比较他们的成绩？肯定分配中突出某项的方案具有合理性，并通过计算得出方案的可行性.在总分、平均分相等的情况下，具体该如何比较选拔？学生给出方案计算总分、平均分无法解决问题，让学生感受不同成绩在同一个问题上的重要程度不同，体会数据赋予“权”的必要性.形式变化，实质仍然反映了数据的不同重要程度.二、探新知权 1、加权平均数的概念 由小记者在四个测试中的重要程度不同，在老师的追问中，由学生自己探索出权的呈现形式，引入“权”的概念，导入课题. 权的定义： 权表示：数据的重要程度 数据的权反映数据的相对重要程度. 权形式：比例、百分比 根据不同的权重，所求的平均数就是加权平均数. 归纳： 一般地，若n 个数1x ，2x ，…，n x 的权分别提炼出权的定义：反映数据的重要程度.体会“权”的差异对“加权平均数”结果的影响.“简单平均数”可以看作是权相等的“加权平均数”.给学生一个反思自悟的过程.是 1w ，2w ，…，n w ，则 112212n nnx w x w x w x w w w ++=++叫做这n 个数的加权平均数（weighted average ） ．书本171－172页“加权平均数”的相关内容.三、新知升华简单平均数与加权平均数统称为算术平均数. 当数据的权都相等时，所求的加权平均数就是简单平均数，简单平均数是加权平均数地特殊情况， 四、学以致用 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分. 其中一位选手的单项成绩（百分制）如下表：（1）按演讲内容占60%、演讲能力占30%、演讲效果占10%，计算选手的平均成绩；（2）演讲内容、演讲能力、演讲效果按 3：2: 1的比确定，计算选手的平均成绩.五、学以致用 小组编题1. 选择你感兴趣的生活中加权平均数的例子为背景；2. 可以采用不同形式给出相应考察项目的权；3. 小组合作探究，要分工明确，设计出科学合理的求加权平均数的题目；4. 小组活动时间共18分钟；5. 活动结束后 ，每个小组派两个代表上台展示成果.六、小结—平均数 我最大的收获是…我对同学和同伴的表现感到… 我从同学身上学到了…本节课在对你今后的生活中对待一些事情进行分析时，会有什么帮助？七、布置作业.必做题：教科书第113页练习第2题；归纳概括公式（权的百分数的形式与比的形式）从加权平均数的多种形式计算巩固所学知识，并为下面生活中的加权平均例子提供素材.归纳概括公式利用刚才总结的公式列出式子.学生举例巩固所学体会“权”的对结果的影响，进一步理解“权”.感受加权平均数在生活中应用的广泛，体会数学的价值.巩固演练、反馈矫正（备用）1.（★）如果一组数据5, x, 3, 4的平均数是5, 那么x=____;2.（★★）某小区月底统计用电情况：其中有4户用电45度,有5户用电42度, 有6户用电50度, 则平均每户用电_____度；3. （★★）某校规定学生的体育成绩由三部分组成：体育课外活动占成绩的20%，体育理论测试占30%，体育技能测试占50%.小颖的上述三项成绩依次为92分、80 分、84 分，则小颖这学期的体育成绩是多少分？4. （★★★）小亮买甲种练习本a本，每本m元；买乙种练习本b本，每本n元，两种练习本平均每本多少元？你得了________颗★。
加权平均数(1)
2 + 4 + 3 + 2 +1
自学检测一
本题中“ 本题中“权”的表现形式是
中
2. 有3个数据的平均数是 有7个数据的平均数是 ，则 个数据的平均数是6,有 个数据的平均数是 个数据的平均数是9， 个数据的平均数是 个数据的平均数是_____ 这10个数据的平均数是 个数据的平均数是 3. 已知数据 已知数据20,30,40,18。 。 (1)若取它们的份数比为 若取它们的份数比为2:3:2:3则这时它们的平均数是 则这时它们的平均数是 若取它们的份数比为 ________ ，本题中“权”的表现形式是： 本题中“ 的表现形式是： 5 (2)若它们的百分比分别为 若它们的百分比分别为:10%,20%,40%,30%则这时它们 则 若它们的百分比分别为 的平均数是______。 本题中权的表现形式是： 的平均数是 。 本题中权的表现形式是： 产
1. 在数据 在数据1,2,2,3,4,2,3,3,6,4,1,2中,数据 的权是 2 中 数据 的权是_____, 2的权是 数据1的权是 的权是 4 的权是 _____,3的权是 3 的权是_____,4的权是 2 的权是_____,6的权是 1 则这个数据的 的权是_____,则这个数据的 的权是 的权是 1 平均数是_______。（算法是？） 。（算法是 平均数是 2.75 。（算法是？） × 2 + 2 × 4 + 3 × 3 + 4 × 2 + 6 ×1 = 2.75
平均数是一组数据的数值的代表值， 平均数是一组数据的数值的代表值，它刻 画了这组数据整体的平均状态。 画了这组数据整体的平均状态。
权的常见形式： 权的常见形式：
1、数据出现的次数形式.如 1、4、3、2、1. 数据出现的次数形式. 2、比的形式.如 3:3:2:2. 比的形式. 50%、 3、百分比形式.如 50%、40% 、10%. 百分比形式.
20.1.1数据的代表—平均数(1)教学设计
太和县桑营镇中心学校刘琦
基本信息
学科
数学
年级
八
教学形式
教师
刘琦
单位
太和县桑营中学
课题名称
数据的代表—平均数（1）
学情分析
认知分析：学生已初步了解统计的意义，理解平均数的含义及会计算平均数，这两者形成了学生思维的“最近发展区”。
能力分析：学生已初步具备一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养。
学生活动：以小组为单位解决上述问题，能独立完成的独立完成，有困难的可以合作完成，完成后由组内学困生发言，小组整体提升。
四、整体感知、互相评价（5分钟左右）
教师活动：请部分同学对当堂练习题进行点评、更正；如有学生解决不了的问题，教师可适当引导点拔。
学生活动：以口答、板演等形式对自己所完成的练习进行点评。
情感分析：多数学生对数学学习有一定的兴趣能够积极参与研究，但在合作交流意识方面，发展不够均衡，有待加强；少数学生的学习主动性不够强，尚需通过营造一定的学习氛围，来加以带动。
教学目标
分析要点：
1.知识目标；
通过自学，理解“加权平均数”的概念，并能运用加权平均数公式解决实际问题。
2.能力目标；
经历探索加权平均数对数据处理的过程，体验对统计基本思想的理解过程，能运用数据信息的分析解决一些简单的实际问题。
2、情境问题解决：
该公司员工的月薪如下：
员工
总经理
部门经理
技术工
杂工
人数
1
4
15
10
月薪（元）
40000
2500
2000
1000
问题1：请大家仔细观察表格中的数据，计算该公司的月平均工资是多少？经理是否欺骗了阿冲?
人教版八年级数学20.1 数据的代表
1、已知下列命题：①若|a|=﹣a，则a＜0；②若a＞|b|，则a2＞b2；③两个位似图形一定是相似图形；④平行四边形的对边相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个A根据绝对值的性质以及不等式的性质即可判断出①②的原命题与真命题的正确性，以及利用位似图形的性质得出③的逆命题与原命题是否正确，再利用平行四边形的性质与判定得出答案．解：①若|a|=﹣a，则a＜0；当a=0时，原命题也成立，显然原命题错误，但其逆命题正确，如a=﹣1，|﹣1|=﹣（﹣1）=1；故此选项错误；②若a＞|b|，则a2＞b2；显然原命题正确；但其逆命题错误，例如a2＞b2；a=﹣4，b=3时，a＜|b|，故此选项错误；③两个位似图形一定是相似图形；显然原命题正确；但其逆命题错误，相似的图形不一定就位似，故此选项错误；④原命题和逆命题是平行四边形的性质和判定，故此选项正确．∴其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个．故选：A．2、已知y=kx+b，且当x=1时，y=-2；当x=-1时，y=-4．则k，b的值是（）A．k=-1，b=-3B．k=1，b=-3C．k=-1，b=3D．k=1，b=3B根据待定系数法列出二元一次方程，然后利用加减法解二元一次方程组．3、如图，数轴上A、B两点对应的实数分别是1和，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为（）A．2﹣1B．1+C．2+D．2+1A设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解．数轴上两点间的距离等于数轴上表示两个点的数的差的绝对值，即较大的数减去较小的数．解：设点C所对应的实数是x．则有x﹣=﹣1，x=2﹣1．故选A．4、某校七年级共320名学生参加数学测试，随机抽取50名学生的成绩进行统计，其中15名学生成绩达到优秀，估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有（）A．50人B．64人C．90人D．96人D随机抽取的50名学生的成绩是一个样本，可以用这个样本的优秀率去估计总体的优秀率，从而求得该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数．解：随机抽取了50名学生的成绩进行统计，共有15名学生成绩达到优秀，∴样本优秀率为：15÷50=30%，又∵某校七年级共320名学生参加数学测试，∴该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数为：320×30%=96人．故选D．5、某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）：99.60，99.45，99.60，99.70，98.80，99.60，99.83，则这位选手得分的众数和中位数分别是（）A．99.60，99.70B．99.60，99.60C．99.60，98.80D．99.70，99.60B根据众数和中位数的定义求解即可．解：数据99.60出现3次，次数最多，所以众数是99.60；数据按从小到大排列：99.45，99.60，99.60，99.60，99.70，99.80，99.83，中位数是99.60．故选B．6、某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱支持地震灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（）A．50元，20元B．50元，40元C．50元，50元D．55元，50元C根据中位数的定义将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，找出最中间的那个数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可．解：50出现了3次，出现的次数最多，则众数是50；把这组数据从小到大排列为：20，25，30，50，50，50，55，最中间的数是50，则中位数是50．故选C．7、在某次体育测试中，九（1）班6位同学的立定跳远成绩（单位：m）分别为：1.71，1.85，1.85，1.95，2.10，2.31，则这组数据的众数是（）A．1.71B．1.85C．1.90D．2.31B根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数求解即可．解：数据1.85出现2次，次数最多，所以众数是1.85．故选B．8、孔明同学参加暑假军事训练的射击成绩如下表：射击次序第一次第二次第三次第四次第五次成绩（环）98796则孔明射击成绩的中位数是（）A．6B．7C．8D．9C将数据从小到大排列，根据中位数的定义即可得出答案．解：将数据从小到大排列为：6，7，8，9，9，中位数为8．故选C．9、一组数据：3，2，1，2，2的众数，中位数，方差分别是（）A．2，1，0.4B．2，2，0.4C．3，1，2D．2，1，0.2B找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均）数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．利用方差公式计算方差．解：从小到大排列此数据为：1，2，2，2，3；数据2出现了三次最多为众数，2处在第3位为中位数．平均数为（3+2+1+2+2）÷5=2，方差为[（3﹣2）2+3×（2﹣2）2+（1﹣2）2]=0.4，即中位数是2，众数是2，方差为0.4．故选B．10、某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是（）A．甲的成绩比乙的成绩稳定B．乙的成绩比甲的成绩稳定C．甲、乙两人成绩的稳定性相同D．无法确定谁的成绩更稳定B根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．解：∵甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，∴S甲2＞S乙2，∴乙的成绩比甲的成绩稳定；故选B．11、某校有500名八年级学生，要知道他们在期末质量检测中成绩为A等、B等、C等、D等的人数是多少，则需要做的工作是（）A．求平均成绩B．进行频数分布C．求极差D．计算方差B根据频数的概念知，把学生分成四等，进行的工作是计算频数的分布．解：由提题意可知：成绩为A等、B等、C等、D等的人数各是多少，则是计算它们的频数．故选B．12、如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF∥BC，交AB于E，交AC于F，图中等腰三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个C先由已知运用角平分线及平行线的性质找出相等的角，再根据等角对等边找出等腰三角形．解：∵AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，∴∠ABD=∠DBC=∠BCD=∠DCF，∴△EBD、△DBC、△FDC是等腰三角形，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且△ABC是等腰三角形，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠AFE=∠ABC，∴△AEF是等腰三角形．所以共有△EBD、△DBC、△FDC、△ABC、△AEF5个等腰三角形．故选C．13、如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个C根据题意，结合图形，分情况讨论：①BP为底边；②BP为等腰三角形一腰长．解：①BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；②BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C 为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点．故选C．14、如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（）A．△AOM和△AON都是等边三角形B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形C．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形D．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形D在Rt△ABO中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，OM=AM=BM，但AO与OM和AM的大小却无法判断，所以无法判断△AMO和△AON是等边三角形．同样，我们也无法判断BM是否等于OB和BM是否等于OC，所以也无法判断平行四边形MBON和MODN是菱形，也无法判断四边形MBCO和NDCO是等腰梯形．根据位似图形的定义可知四边形MBCO和四边形NDCO是位似图形．解：根据位似图形的定义可知A、OA与OM和AM的大小却无法判断，所以无法判断△AMO和△AON是等边三角形，故错误；B、无法判断BM是否等于OB和BM是否等于OC，所以也无法判断平行四边形MBON和MODN是菱形，故错误；C、无法判断四边形MBCO和NDCO是等腰梯形，故此选项错误；D、四边形MBCO和四边形NDCO是位似图形，故此选项正确；故选D．15、若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（）A．菱形B．对角线互相垂直的四边形C．矩形D．对角线相等的四边形D根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，∴EH∥FG，EF=FG，∴四边形EFGH是平行四边形，假设AC=BD，∵EH=AC，EF=BD，则EF=EH，∴平行四边形EFGH是菱形，即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，故选D．16、如图，在数轴上有O、A、B、C、D五点，根据图中各点所表示的数，判断表示的点会落在数轴上OA、AB、BC、CD四条线段中线段上．BC先求出的范围，再判断即可．解：∵4＜＜5，4.72=22.09，3.62=12.96，3.6＜＜4.7而BC长表示3.6到4.7之间的数，∴表示的点在线段BC上，故答案为：BC．17、如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片______张．3拼成的大长方形的面积是（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2，即需要一个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形和3个C类卡片的面积是3ab．18、已知一次函数y=（m+1）x﹣2，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____．m＜﹣1由一次函数y随x的增大而减小，得到该一次函数为减函数，得到m+1小于0，求出不等式的解集即可得到m的范围．解：∵一次函数y=（m+1）x﹣2，y随x的增大而减小，∴一次函数为减函数，即m+1＜0，解得：m＜﹣1，则m的取值范围是m＜﹣1．故答案为：m＜﹣1．19、对于一次函数y=kx﹣2，如果y随x增大而增大，那么k需要满足的条件是_____．k＞0当一次函数y=kx﹣2的系数k＞0时，函数值y随x的增大而增大．解：∵一次函数y=kx﹣2的函数值y随x的增大而增大，∴k＞0．故答案是：k＞0．20、在正比例函数y=（m﹣3）x中，如果y的值随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围是_____．m＜3当正比例函数y=（m﹣3）x中的系数m﹣3＜0时，y随x的增大而减小．解：∵在正比例函数y=（m﹣3）x中，y的值随自变量x的增大而减小，∴m﹣3＜0，解得，m＜3；故答案是：m＜3．21、某中学规定：学生的学期体育综合成绩满分为100分，其中，期中考试成绩占40%，期末考试成绩占60%，小海这个学期的期中、期末成绩（百分制）分别是80分、90分，则小海这个学期的体育综合成绩是分．86利用加权平均数的公式直接计算．用80分，90分分别乘以它们的百分比，再求和即可．解：小海这学期的体育综合成绩=（80×40%+90×60%）=86（分）．故答案为86．22、某次数学测验中，某班六位同学的成绩分别是：86，79，81，86，90，84，这组数据的众数是，中位数是．86，85根据众数的定义是一组数据中出现次数最多的数找出众数，再把这组数据从小到大排列，求出最中间的两个数的平均数就是中位数．解：86出现了2次，出现的次数最多，则众数是86；把这组数据从小到大排列为79，81，84，86，86，90，共有6个数，中位数是第3和4个数的平均数，则中位数是（84+86）÷2=85；故答案为：86，85．23、在综合实践课上．五名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5，7，3，6，4，则这组数据的中位数是件．5根据中位数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．解：按从小到大的顺序排列是：3，4，5，6，7．中间的是5，故中位数是5．故答案是：5．24、某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是分．88根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可．解：∵笔试按60%、面试按40%，∴总成绩是（90×60%+85×40%）=88分，故答案为：88．25、为筹备班级里的新年晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，最终买什么水果，该由调查数据的决定（在横线上填写：平均数或中位数或众数）．众数班长最值得关注的应该是哪种水果爱吃的人数最多，即众数．解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；既然是为筹备班级的初中毕业联欢会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数．故答案为：众数．26、学校要从小明等13名同学出选出6名学生参加数学竞赛．经过选拔赛后，小明想提前知道自己能否被选上，他除了要知道自己的成绩以外，还要知道这13名同学成绩的．中位数13人成绩的中位数是第7名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．解：由于总共有13个人，且他们的分数互不相同，第7名的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故小明应知道自已的成绩和中位数．故答案为：中位数．27、（1）如图，在△ABC中，AB=AC=6，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE=cm．（2）若梯形的面积为12cm2，高为3cm，则此梯形的中位线长为cm．3；4（1）首先由高得到△ADC是直角三角形，又由E为斜边AC的中点，易得DE=AC；（2）根据梯形的面积求解公式与梯形中位线的性质，可得梯形的面积等于梯形的中位线乘以梯形的高，代入数值即可求得．解：（1）∵AB=AC=6，AD是底边上的高，∴∠ADC=90°，∵E为AC中点，∴DE=AC=3cm；（2）∵梯形的面积为12cm2，高为3cm，=•（AD+BC）•AM，∴S梯形ABCD∵EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=（AD+BC），∴S=EF•AM，梯形ABCD∴EF=4cm．故答案为：3；4．28、读书决定一个人的休养和品位，在“文明湖北．美丽宜昌”读书活动中，某学习小组开展综合实践活动，随机调查了该校部分学生的课外阅读情况，绘制了平均每人每天课外阅读时间统计图．（1）补全扇形统计图中横线上缺失的数据；（2）被调查学生中，每天课外阅读时间为60分钟左右的有20人，求被调查的学生总人数；（3）请你通过计算估计该校学生平均每人每天课外阅读的时间．解：（1）没有阅读习惯或基本不阅读的占：1﹣10%﹣30%﹣55%=5%；（2）∵每天课外阅读时间为60分钟左右的有20人，占总数的10%，∴被调查的总人数有20÷10%=200人；（3）该校学生平均每人每天课外阅读的时间为：60×10%+40×30%+20×55%=6+12+11=29分∴估计该校学生平均每人每天课外阅读的时间为29分钟；（1）将总体看作单位1，减去其他所占的百分比即可；（2）用每天课外阅读时间为60分钟左右的除以其所占的百分比即可；（3）用加权平均数计算即可．29、如图，反比例函数的图象和一次函数的图象交于点A（﹣2，1）和点B（，m）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式．（2）O为坐标原点，求△AOB的面积．（3）当取何值时，y1＞y2．解：（1）设：反比例函数的解析式是：y=，一次函数的解析式是：y=kx+b，把（A（﹣2，1）代入反比例函数的解析式得：a=﹣2，∴y=﹣，把B（，m）代入得：m=﹣4，∴B（，﹣4），把A、B的坐标代入一次函数的解析式得：，解得：k=﹣2，b=﹣3，∴y=﹣2x﹣3，答：反比例函数的解析式是y 1=﹣，一次函数的解析式是y 2=﹣2x﹣3．（2）把y=0代入y 2=﹣2x﹣3得：x=﹣，∴OC=，∴△AOB 的面积是：S △AOC +S △BOC =××1+××4=，答：△AOB 的面积是．（3）根据图象可知：当﹣2＜x＜0或x＞时，y 1＞y 2．（1）设：反比例函数的解析式是：y=，一次函数的解析式是：y=kx+b，把（A（﹣2，1）代入反比例函数的解析式求出反比例函数的解析式，求出B 的坐标，代入一次函数的解析式得到方程组，求出方程组的解即可；（2）求出直线AB 与X 轴的交点坐标，根据三角形的面积求出即可；（3）根据图象即可求出答案．30、已知y=y 1+y 2，y 1与（x﹣1）成正比例，y 2与（x+1）成反比例，当x=0时，y=﹣3，当x=1时，y=﹣1．（1）求y 的表达式；（2）求当x=时y 的值．解：（1）∵y 1与（x﹣1）成正比例，y 2与（x+1）成反比例，∴y 1=k 1（x﹣1），y 2=，∵y=y 1+y 2，当x=0时，y=﹣3，当x=1时，y=﹣1．∴，∴k 2=﹣2，k 1=1，∴y=x﹣1﹣；（2）把x=代入（1）中函数关系式得，y=﹣．（1）先根据题意得出y 1=k 1（x﹣1），y 2=，根据y=y 1+y 2，当x=0时，y=﹣3，当x=1时，y=﹣1得出x、y 的函数关系式即可；（2）把x=代入（1）中的函数关系式，求出y 的值即可．31、如图，已知正比例函数y=kx（k≠0）经过点P（2，4），（1）求这个正比例函数的解析式；（2）该直线向上平移4个单位，求平移后所得直线的解析式．解：（1）把P（2，4）代入y=kx得：4=2k，∴k=2，∴y=2x．答：这个正比例函数的解析式是y=2x．（2）设平移后所得直线的解析式是y=2x+b，把（0，4）代入得：4=b，∴y=2x+4．答：平移后所得直线的解析式是y=2x+4．（1）把P（2，4）代入y=kx得到方程，求出方程的解即可；（2）设平移后所得直线的解析式是y=2x+b，把（0，4）代入求出b即可．32、已知一次函数y=kx+b的图象经过点P（4，1）和Q（﹣2，4），求k•b的值．解：把（4，1）（﹣2，4）代入y=kx+b得：，解得：k=﹣，b=3，∴k•b=﹣×3=﹣．把（4，1）（﹣2，4）代入y=kx+b得到方程组，求出方程组的解，代入即可．33、已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，﹣3）及点B（1，6）．（1）求此一次函数解析式；（2）画出此一次函数图象草图；（3）求此函数图象与坐标围成的三角形的面积．解：（1）将点A（﹣2，﹣3）及点B（1，6）的坐标代入一次函数y=kx+b 得，解得，∴一次函数的解析式为y=3x+3；（2）当x=0时，y=3×0+3=3，当y=0时，3x+3=0解得：x=﹣1，所以函数图象经过（0，3），（﹣1，0）．（3）根据（2）中的图象知，此函数图象与坐标围成的三角形的面积是：×1×3=．（1）利用待定系数法求一次函数的解析式；（2）利用两点法作出该一次函数的图象；（3）根据该一次函数的图象，利用三角形的面积公式求得此函数图象与坐标围成的三角形的面积．34、已知一次函数图象经过点（1，2）和点（﹣1，4），求这一次函数的解析式．解：设一次函数解析式为y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）（1分）将点（1，2），点（﹣1，4）代入上式得：（3分）解得：k=﹣1，b=3（5分）即一次函数表达式为y=﹣x+3（6分）将点（1，2）和点（﹣1，4）分别代入一次函数的解析式y=kx+b（k、b是常数，且k≠0），列出关于k、b的二元一次方程组；然后通过解方程组求得k、b的值．即利用待定系数法求一次函数的解析式．35、在对全市初中生进行的体质健康测试中，青少年体质研究中心随机抽取的10名学生的坐位体前屈的成绩（单位：厘米）如下：11.2，10.5，11.4，10.2，11.4，11.4，11.2，9.5，12.0，10.2（1）通过计算，样本数据（10名学生的成绩）的平均数是10.9，中位数是，众数是；（2）一个学生的成绩是11.3厘米，你认为他的成绩如何？说明理由；（3）研究中心确定了一个标准成绩，等于或大于这个成绩的学生该项素质被评定为“优秀”等级，如果全市有一半左右的学生能够达到“优秀”等级，你认为标准成绩定为多少？说明理由．解：（1）中位数是11.2，众数是11.4．（2）方法1：根据（1）中得到的样本数据的结论，可以估计，在这次坐位体前屈的成绩测试中，全市大约有一半学生的成绩大于11.2厘米，有一半学生的成绩小于11.2厘米，这位学生的成绩是11.3厘米，大于中位数11.2厘米，可以推测他的成绩比一半以上学生的成绩好．方法2：根据（1）中得到的样本数据的结论，可以估计，在这次坐位体前屈的成绩测试中，全市学生的平均成绩是10.9厘米，这位学生的成绩是11.3厘米，大于平均成绩10.9厘米，可以推测他的成绩比全市学生的平均成绩好．（3）如果全市有一半左右的学生评定为“优秀”等级，标准成绩应定为11.2厘米（中位数）．因为从样本情况看，成绩在11.2厘米以上（含11.2厘米）的学生占总人数的一半左右．可以估计，如果标准成绩定为11.2厘米，全市将有一半左右的学生能够评定为“优秀”等级．（1）利用中位数、众数的定义进行解答即可；（2）将其成绩与中位数比较即可得到答案；（3）用中位数作为一个标准即可衡量是否有一半学生达到优秀等级．36、某销售公司员工的工资如下表：（1）分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数；（2）你认为用上题中计算出的哪个数据来代表该公司员工的月工资水平更为合适？请简要说明理由．解：（1）在这一组数据中1500元是出现次数最多的，故众数是1500元；处于这组数据中间位置的数是1500元、1500元，所以这组数据的中位数是（1500+1500）÷2=1500（元）；这组数据的平均数为（5000+4200+20×1500+800×8）÷（1+1+20+8）≈1333（元）．故该公司员工月工资的平均数、中位数和众数分别是1500元，1500元，1333元．（2）众数代表该公司员工的月工资水平更为合适．因为1500出现的次数最多，能代表大部分人的工资水平．（1）根据平均数、中位数和众数的定义求解．（2）众数，因为它出现的次数最多，能代表大部分人的工资水平．37、如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE分别交BC、BD于点F、G．（1）求证：△AFB≌△EFC；（2）若BD=12cm，求DG的长．（1）证明：在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF，∵AB=CD，CE=CD，∴AB=CE，在△AFB和△EFC中，∴△AFB≌△EFC．（2）解：∵ED=2CD=2AB，∴，∵AB∥CD，∴，又∵BD=12，∴DG=BD=8cm，答：DG的长是8cm．（1）根据平行四边形性质推出AB=CD=CE，AB∥CD，推出∠ABF=FCE，∠BAF=∠FEC，根据全等三角形的判定证出即可；（2）求出==，把BD的长代入求出即可．38、如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0）B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点PQ 运动时间为t（单位：秒）．（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．解：（1）如图，过B作BG⊥OA于G，则AB==13．过Q作QH⊥OA于H，则QP=．要使四边形PABQ是等腰梯形，则AB=QP，即．∴t=，或t=5（此时PABQ是平行四边形，不合题意，舍去）；∴t=．（2）当t=2时，OP=4，CQ=10﹣2=8，QB=2．∵CB∥DE∥OF，∴．∴AF=2QB=2×2=4．∴OF=15+4=19．∴S=（10+19）×12=174．梯形OFBC（3）①当QP=PF时，则=15+2t﹣2t，∴t=或t=．②当QP=QF时，则=，即，∴t=．③当QF=PF时，则=15，∴t=或t=﹣，综上，当t=，t=，t=，t=时，△PQF是等腰三角形．（1）可通过构建直角三角形来求解．过B作BG⊥OA于G，过Q作QH⊥OA于H．可根据勾股定理，求出AB的值，用t表示出QP，让QP=AB，求出t的值；（2）有了t的值，即可求出OP，CQ，QB的值，根据平行线段成比例，可以得出AF，进而求出OF的值，这样就可以求出梯形的面积；（3）分三种情况进行讨论，让△PQF的三边两两相等，求出t的值．39、如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么．（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？（3）在（2）的条件下，若EF=2，求四边形ABCD的面积．解：（1）连接四边形的对角线，∵E是AB的中点，H是AD的中点，∴EH∥BD，EH=BD∵F是BC的中点，G是CD的中点∴GF∥BD，GF=BD∴GF平行且等于EH，∴四边形EFGH是平行四边形．（2）若加AC=BD且AC⊥BD，则四边形EFGH会是正方形在（1）的条件下，∵AC=BD∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形．又∵AC⊥BD，EH∥BD，EF∥AC∴∠HEF=90°∴四边形EFGH是正方形（3）在（2）的条件下若EF=2，则AC=BD=4且BD⊥AC，若四边形对角线垂直的话，四边形的面积可以是对角线乘积的一半．则×4×4=8．故四边形ABCD的面积为8．（1）连接四边形的对角线，根据题目所给四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，可得四边形对边平行且相等，从而判断平行四边形；（2）只要加对角线相等且互相垂直就可证明是正方形；（3）在（2）的条件下可知四边形ABCD的对角线互相垂直，对角线的乘积就是四边形ABCD的面积．40、已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点M、N分别在边AO和边OD上，且AM=AO，ON=OD，设=，=，试用、的线性组合表示向量和向量．解：根据平行四边形法则，=+=+，∵平行四边形ABCD，∴AO=AC，∴==（+），∵AM=AO，∴OM=AO，∴=﹣，∴=﹣×（+）=﹣﹣；∵AM=AO，ON=OD，∴==，∴MN∥AD，∴==，∴=，又∵平行四边形ABCD，∴==，∴=．根据平行四边形法则求出，再根据平行四边形的对角线互相平分表示，然后根据OM=AO，再表示出即可；根据平行线分线段成比例定理求出MN∥AD，并求出=，然后根据向量的表示=即可得解．教师出题相关试题库：/teacher/paper/new?source=fromwk学生查看相关知识点：/teacher/lesson/prepare?source=fromwk寻找同班同学，自己的老师：/home/class?source=fromwk。
20.1数据的代表[1]
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≈73（人）.
平均数统计意义 在统计学上，常用样本的数据特征估计 总体的数据特征，如用样本平均数估计总体 的平均数.
例 题 例3 某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从 中抽取了100只灯泡，它们的使用寿命如下表所示：. 使用寿 600---- 1000--- 1400--- 1800--- 2200-x/时 命x/时 --1000 --1400 --1800 --2200 -- 2600 19 25 34 12 灯泡数/ 灯泡数 10 个 这批灯泡的平均使用寿命是什么？
应试者 甲 乙
听
85 73
说
83 80
读
78 85
写
75 82
（1）如果这家公司想招一名口语能力较强的翻 译，听、说、读、写成绩按照3：3：2：2的比确 定，计算两名应试者的平均成绩（百分制），从 他们的成绩看，应该录取谁？ 解： （1）听、说、读、写的成绩按照3：3： 2：2的比确定，则
85 × 3 + 83 × 3 + 78 × 2 + 75 × 2 = 81 3+3+ 2 + 2
分析：抽出的100只灯泡的使用寿命组成一 个样本，可以利用样本的平均使用寿命来估计 这批灯泡的平均使用寿命. 解：根据表，可以得出各小组的组中值，于 是
800 ×10 + 1200 × 19 + 1600 × 25 + 2000 × 34 + 2400 ×12 x= 100
八年级数学下册 20.1数据的代表 数学家欧拉素材 新人教版
欧拉莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年）也有翻译为欧勒，18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一，被称为“分析的化身”．引述评价“读欧拉原著：在任何意义上，他都是我们的大师．” —拉普拉斯生平1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，小时候他就特别喜欢数学，不满10岁就开始自学《代数学》．这本书连他的几位老师都没读过，可小欧拉却读得津津有味，遇到不懂的地方，就用笔作个记号，事后再向别人请教．13岁就进巴塞尔大学读书，这在当时是个奇迹，曾轰动了数学界．小欧拉是这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生．在大学里得到当时最有名的数学家微积分权威约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导，并逐渐与其建立了深厚的友谊．约翰·伯努利后来曾这样称赞青出于蓝而胜于蓝的学生：“我介绍高等分析时，他还是个孩子，而你将他带大成人．”两年后的夏天，欧拉获得巴塞尔大学的学士学位，次年，欧拉又获得巴塞尔大学的哲学硕士学位．1725年，欧拉开始了他的数学生涯．欧拉的父亲保罗·欧拉（Paul Euler）也是一个数学家，原希望小欧拉学神学，同时教他一点数学．由于小欧拉的才人和异常勤奋的精神，又受到约翰·伯努利的赏识和特殊指导，当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了．1725年约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉，这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡．1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算彗星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁．1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明．不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了．沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来．欧拉完全失明以后，虽然生活在黑暗中，但仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久．1783年9月18日，在不久前才刚计算完气球上升定律的欧拉，在兴奋中突然停止了呼吸，享年76岁．欧拉生活、工作过的三个国家：瑞士、俄国、德国，都把欧拉作为自己的数学家，为有他而感到骄傲．欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成．有一个例子足以说明他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来．欧拉在失明的17年中；还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题．欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，从19岁起和欧拉通信，讨论等周问题的一般解法，这引起变分法的诞生．等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就，并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传，并赢得巨大的声誉．他晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，著名数学家拉普拉斯（Laplace）曾说过："读读欧拉、读读欧拉，它是我们大家的老师！" 当欧拉64岁高龄之时，一场突如其来的大火烧掉了他几乎全部的著述，而神奇的欧拉用了一年的时间口述了所有这些论文并作了修订．一年以后，1783年9月18日的下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉写出了计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说："我要死了"，欧拉终于"停止了生命和计算"．欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文．可以说欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文（七十余卷，牛顿全集八卷，高斯全集十二卷），其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清．他对数学分析的贡献更独具匠心，《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为"分析学的化身"．欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗．他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在双目失明以后，也没有停止对数学的研究，在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文．19世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855年）曾说："研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法．"欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的．欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面都取得了辉煌的成就．在数学的各个领域，常常见到以欧来命名的公式、定理、和重要常数．课本上常见的如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos （1748年），tg（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等，都是他创立并推广的．歌德巴赫猜想也是在他与歌德巴赫的通信中提出来的．欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论，创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化了望远镜、显微镜的设计计算理论．欧拉一生能取得伟大的成就原因在于：惊人的记忆力；聚精会神，从不受嘈杂和喧闹的干扰；镇静自若，孜孜不倦．欧拉（L.Euler,1707.4.15-1783.9.18）是瑞士数学家．生于瑞士的巴塞尔（Basel），卒于彼得堡（Petepbypt）．父亲保罗·欧拉是位牧师，喜欢数学，所以欧拉从小就受到这方面的熏陶．但父亲却执意让他攻读神学，以便将来接他的班．幸运的是，欧拉并没有走父亲为他安排的路．父亲曾在巴塞尔大学上过学，与当时著名数学家约翰·伯努利（JohannBernoulli,1667.8.6-1748.1.1）及雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli,1654.12.27-1705.8.16）有几分情谊．由于这种关系，欧拉结识了约翰的两个儿子：擅长数学的尼古拉（Nicolaus Bernoulli,1695-1726）及丹尼尔（Daniel Bernoulli,1700.2.9-1782.3.17）兄弟二人，（这二人后来都成为数学家）．他俩经常给小欧拉讲生动的数学故事和有趣的数学知识．这些都使欧拉受益匪浅．1720年，由约翰保举，才13岁的欧拉成了巴塞尔大学的学生，而且约翰精心培育着聪明伶俐的欧拉．当约翰发现课堂上的知识已满足不了欧拉的求知欲望时，就决定每周六下午单独给他辅导、答题和授课．约翰的心血没有白费，在他的严格训练下，欧拉终于成长起来．他17岁的时候，成为巴塞尔有史以来的第一个年轻的硕士，并成为约翰的助手．在约翰的指导下，欧拉从一开始就选择通过解决实际问题进行数学研究的道路．1726年，19岁的欧拉由于撰写了《论桅杆配置的船舶问题》而荣获巴黎科学院的资金．这标志着欧拉的羽毛已丰满，从此可以展翅飞翔．欧拉的成长与他这段历史是分不开的．当然，欧拉的成才还有另一个重要的因素，就是他那惊人的记忆力！，他能背诵前一百个质数的前十次幂，能背诵罗马诗人维吉尔（Virgil）的史诗Aeneil，能背诵全部的数学公式．直至晚年，他还能复述年轻时的笔记的全部内容．高等数学的计算他可以用心算来完成．尽管他的天赋很高，但如果没有约翰的教育，结果也很难想象．由于约翰·伯努利以其丰富的阅历和对数学发展状况的深刻的了解，能给欧拉以重要的指点，使欧拉一开始就学习那些虽然难学却十分必要的书，少走了不少弯路．这段历史对欧拉的影响极大，以至于欧拉成为大科学家之后仍不忘记育新人，这主要体现在编写教科书和直接培养有才化的数学工作者，其中包括后来成为大数学家的拉格朗日（grange,1736.1.25-1813.4.10）．欧拉本人虽不是教师，但他对教学的影响超过任何人．他身为世界上第一流的学者、教授，肩负着解决高深课题的重担，但却能无视"名流"的非议，热心于数学的普及工作．他编写的《无穷小分析引论》、《微分法》和《积分法》产生了深远的影响．有的学者认为，自从1784年以后，初等微积分和高等微积分教科书基本上都抄袭欧拉的书，或者抄袭那些抄袭欧拉的书．欧拉在这方面与其它数学家如高斯（C.F.Gauss,1777.4.30-1855.2.23）、牛顿（I.Newton,1643.1.4-1727.3.31）等都不同，他们所写的书一是数量少，二是艰涩难明，别人很难读懂．而欧拉的文字既轻松易懂，堪称这方面的典范．他从来不压缩字句，总是津津有味地把他那丰富的思想和广泛的兴趣写得有声有色．他用德、俄、英文发表过大量的通俗文章，还编写过大量中小学教科书．他编写的初等代数和算术的教科书考虑细致，叙述有条有理．他用许多新的思想的叙述方法，使得这些书既严密又易于理解．欧拉最先把对数定义为乘方的逆运算，并且最先发现了对数是无穷多值的．他证明了任一非零实数Ｒ有无穷多个对数．欧拉使三角学成为一门系统的科学，他首先用比值来给出三角函数的定义，而在他以前是一直以线段的长作为定义的．欧拉的定义使三角学跳出只研究三角表这个圈子．欧拉对整个三角学作了分析性的研究．在这以前，每个公式仅从图中推出，大部分以叙述表达．欧拉却从最初几个公式解析地推导出了全部三角公式，还获得了许多新的公式．欧拉用a 、b 、c 表示三角形的三条边，用Ａ、Ｂ、Ｃ表示第个边所对的角，从而使叙述大大地简化．欧拉得到的著名的公式,又把三角函数与指数函联结起来．在普及教育和科研中，欧拉意识到符号的简化和规则化既有有助于学生的学习，又有助于数学的发展，所以欧拉创立了许多新的符号．如用sin 、cos 等表示三角函数，用 e 表示自然对数的底，用f(x) 表示函数，用∑表示求和，用 i表示虚数等．圆周率π虽然不是欧拉首创，但却是经过欧拉的倡导才得以广泛流行．而且，欧拉还把e 、π 、i 统一在一个令人叫绝的关系式中．欧拉不但重视教育，而且重视人才．当时法国的拉格朗日只有19岁，而欧拉已48岁．拉格朗日与欧拉通信讨论"等周问题"，欧拉也在研究这个问题．后来拉格朗日获得成果，欧拉就压下自己的论文，让拉格朗日首先发表，使他一举成名．欧拉19岁大学毕业时，在瑞士没有找到合适的工作．1727年春，在巴塞尔他试图担任空缺的教研室主任职务，但没有成功．这时候，俄国的圣彼得堡科院刚建立不久，正在全国各地招聘科学家，广泛地搜罗人才．已经应聘在彼得堡工作的丹尔·伯努利深知欧拉的才能，因此，他竭力聘请欧拉去俄罗斯．在这种情况下，欧拉离开了自己的祖国．由于丹尼尔的推荐，1727年，欧拉应邀到圣彼得堡做丹尼尔的助手．在圣彼得堡科学院，他顺利地获得了高等数学副教授的职位．1731年，又被委任领导理论物理和实验物理教研室的工作．1733年，年仅26岁的欧拉接替回瑞士的丹尼尔，成为数学教授及彼得堡科学院数学部的领导人．在这期间，欧拉勤奋地工作，发表了大量优秀的数学论文，以及其它方面的论文、著作．古典力学的基础是牛顿奠定的，而欧拉则是其主要建筑师．1736年，欧拉出版了《力学，或解析地叙述运动的理论》，在这里他最早明确地提出质点或粒子的概念，最早研究质点沿任意一曲线运动时的速度，并在有关速度与加速度问题上应用矢量的概念．同时，他创立了分析力学、刚体力学，研究和发展了弹性理论、振动理论以及材料力学．并且他把振动理论应用到音乐的理论中去，1739年，出版了一部音乐理论的著作．1738年，法国科学院设立了回答热本质问题征文的奖金，欧拉的《论火》一文获奖．在这篇文章中，欧拉把热本质看成是分子的振动．欧拉研究问题最鲜明的特点是：他把数学研究之手深入到自然与社会的深层．他不仅是位杰出的数学家，而且也是位理论联系实际的巨匠，应用数学大师．他喜欢搞特定的具体问题，而不象现代某些数学家那样，热衰于搞一般理论．正因为欧拉所研究的问题都是与当时的生产实际、社会需要和军事需要等紧密相连，所以欧拉的创造才能才得到了充分发挥，取得了惊人的成就．欧拉在搞科学研究的同时，还把数学应用到实际之中，为俄国政府解决了很多科学难题，为社会作出了重要的贡献．如菲诺运河的改造方案，宫延排水设施的设计审定，为学校编写教材，帮助政府测绘地图；在度量衡委员会工作时，参加研究了各种衡器的准确度．另外，他还为科学院机关刊物写评论并长期主持委员会工作．他不但为科学院做大量工作，而且挤出时间在大学里讲课，作公开演讲，编写科普文章，为气象部门提供天文数据，协助建筑单位进行设计结构的力学分析．1735年，欧拉着手解决一个天文学难题──计算彗星的轨迹（这个问题需经几个著名的数学家几个月的努力才能完成）．由于欧拉使用了自己发明的新方法，只用了三天的时间．但三天持续不断的劳累也使欧拉积劳成疾，疾病使年仅28岁的欧拉右眼失明．这样的灾难并没有使欧拉屈服，他仍然醉心于科学事业，忘我地工作．但由于俄国的统治集团长期的权力之争，日益影响到了欧拉的工作，使欧拉很苦闷．事也凑巧，普鲁士国王腓特烈大帝（Frederick the Great，1740-1786在位）得知欧拉的处境后，便邀请欧拉去柏林．尽管欧拉十分热爱自己的第二故乡（在这里他普工作生活了１４年），但为了科学事业，他还是在1741年暂时离开了圣彼得堡科学院，到柏林科学院任职，任数学物理所所长．1759年成为柏林科学院的领导人．在柏林工作期间，他并没有忘记俄罗斯，他通过书信来指导他在俄罗斯的学生，并把自己的科学著作寄到俄罗斯，对俄罗斯科学事业的发展起了很大作用．他在柏林工作期间，将数学成功地应用于其它科学技术领域，写出了几百篇论文，他一生中许多重大的成果都是这期间得到的．如：有巨大影响的《无穷小分析引论》、《微分学原理》，既是这期间出版的．此外，他研究了天文学，并与达朗贝尔（I.L.R.D'Alembert,1717.11.16-1783.10.29）、拉格朗日一起成为天体力学的创立者，发表了《行星和彗星的运动理论》、《月球运动理论》、《日蚀的计算》等著作．在欧拉时代还不分什么纯粹数学和应用数学，对他来说，整个物理世界正是他数学方法的用武之地．他研究了流体的运动性质，建立了理想流体运动的基本微分方程，发表了《流体运动原理》和《流体运动的一般原理》等论文，成为流体力学的创始人．他不但把数学应用于自然科学，而且还把某一学科所得到的成果应用于另一学科．比如，他把自己所建立的理想流体运动的基本方程用于人体血液的流动，从而在生物学上添上了他的贡献，又以流体力学、潮汐理论为基础，丰富和发展了船舶设计制造及航海理论，出版了《航海科学》一书，并以一篇《论船舶的左右及前后摇晃》的论文，荣获巴黎科学院奖金．不仅如此，他还为普鲁士王国解决了大量社会实际问题．1760年到1762年间，欧拉应亲王的邀请为夏洛特公主函授哲学、物理学、宇宙学、神学、化理学、音乐等，这些通信充分体现了欧拉渊博的知识、极高的文学修养、哲学修养．后来这些通信整理成《致一位德国公主的信》，1768年分三卷出版，世界各国译本风靡，一时传为佳话．自从1741年欧拉离开彼得堡以后，俄国的政局一直不好，政权几次更迭，最后落入叶卡捷林娜二世的手中，她吸取了以往的教训，开始致力于文治武功．她一面与伏尔泰、狄德罗等法国启蒙学者通信，一面又四方招聘有影响的科学家去彼得堡科学院任职．欧拉自然成了她主要聘请的对象．1766年，年已花甲的欧拉应邀回到彼得堡，这次俄国为他准备了优越的工作条件．这时欧拉的科学研究工作已经是硕果累累，思想也已经成熟．除了一些专题还需继续研究外，他希望能在晚年对过去的成就作系统的总结，出版几部高质量的著作．然而，厄运再次向他袭来．由于俄罗斯气候严寒，以及他工作的劳累，欧拉的左眼又失明了，从此欧拉陷入伸手不见五指的黑暗之中．但欧拉是坚强的，他用口授、别人记录的方法坚持写作．他先集中精力撰写了《微积分原理》一书，在这部三卷本巨著中，欧拉系统地阐述了微积分发明以来的所有积分学的成就，其中充满了欧拉精辟的见解．1768年，《积分学原理》第一卷在圣彼得堡出版．1770年第三卷出版．同年，他又口述写成《代数学完整引论》，有俄文、德文、法文版，成为欧洲几代人的教科书，正当欧拉在黑暗中搏斗时，厄运又一次向他袭来．1771年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，把欧拉包围在大火中．在这危急的时刻，是一位仆人冒着生命危险把欧拉从大火中背出来．欧拉虽然幸免于难，可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬．种种磨难，并没有把欧拉搞垮．大火以后他立即投入到新的创作之中．资料被焚，他又双目失明，在这种情况下，他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究．欧拉的记忆力也确实罕见，他能够完整地背诵出几十年前的笔记内容，数学公式当然更能背诵如流．欧拉总是把推理过程想得很细，然后口授，由他的长子记录．他用这种方法又发表了论文４００多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上．1774年，他把自己多年来研究变分问题所取得的成果集中发表一本书《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》中．从而创立了一个新的分支──变分法．另外，欧拉对天文学中的"三体问题"月球运动及摄运问题进行了研究．后来，他解决了牛顿没有解决的月球运动问题，首创了月球绕地球运动地精确理论．为了更好地进行天文观测，他曾研究了光学，天文望远镜和显微镜．研究了光通过各种介质的现象和有关的分色效应，提出了复杂的物镜原理，发表过有关光学仪器的专著，对望远镜和显微镜的设计计算理论做出过开创性的贡献，在1771年他又发表了总结性著作《屈光学》．欧拉从19岁开始写作，直到逝世，留下了浩如烟海的论文、著作，甚至在他死后，他留下的许多手稿还丰富了后47年的圣彼得堡科学院学报．就科研成果方面来说，欧拉是数学史上或者说是自然科学史上首屈一指的．作为这样一位科学巨人，在生活中他并不是一个呆板的人．他性情温和，性格开朗，也喜欢交际．欧拉结过两次婚，有13个孩子．他热爱家庭的生活，常常和孩子们一起做科学游戏，讲故事．欧拉旺盛的精力和钻研精神一直坚持到生命的最后一刻．1783年9月18日下午，欧拉一边和小孙女逗着玩，一边思考着计算天王星的轨迹，突然，他从椅子上滑下来，嘴里轻声说："我死了"．一位科学巨匠就这样停止了生命．历史上，能跟欧拉相比的人的确不多，也有的历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯列为有史以来贡献最大的四位数学家，依据是他们都有一个共同点，就是在创建纯粹理论的同时，还应用这些数学工具去解决大量天文、物理和力学等方面的实际问题，他们的工作是跨学科的，他们不断地从实践中吸取丰富的营养，但又不满足于具体问题的解决，而是把宇宙看作是一个有机的整体，力图揭示它的奥秘和内在规律．由于欧拉出色的工作，后世的著名数学家都极度推崇欧拉．大数学家拉普拉斯（P.S.M.de Laplace,1749.3.23-1827.3.5）普说过："读读欧拉，这是我们一切人的老师．"被誉为数学王子地高斯也普说过："对于欧拉工作的研究，将仍旧是对于数学的不同范围的最好的学校，并且没有别的可以替代它"．欧拉的对数学各个领域的贡献欧拉的结果分散在数学的各个领域里，几乎在数学每个领域都可以看见欧拉的名字，以欧拉命名的定理、公式、函数等不计其数，其中有：Euler公式Euler常数Euler函数Euler定理2、乔治·安德鲁·欧拉（George Andrew Olah）欧拉教授于1927年5月22日生于匈牙利首都布达佩斯的一个律师家庭，1949年在布达佩斯工业大学获博士学位;1957年移居美国进入道氏化学公司工作，1967年在凯斯西部大学任教，1977年进入南加州大学洛克尔碳氢化合物研究所工作，1991年出任该所主任．碳正离子是一种带正电的极不稳定的碳氢化合物．分析这种物质对发现能廉价制造几十种当代必需的化工产品是至关重要的．欧拉教授发现了利用超强酸使碳正离子保持稳定的方法，能够配制高浓度的碳正离子和仔细研究它．他的发现已用于提高炼油的效率、生产无铅汽油和研制新药物．欧拉教授的主要的研究方向有：亲电反应;反应机理；锌的合成方法；有机金属化学；反应中间体；稳定的碳正离子；付瑞迪尔-克拉（Friedel-Crafts Chemistry）佛兹烷基化反应；超强酸化学的等等．他独自或以第一作者发表论文707篇．其中，稳定的碳正离子系列文章有282篇．奖项：诺贝尔化学奖获奖时间：1994年获奖理由：他发现了使碳阳离子保持稳定的方法，在碳正离子化学方面的研究．1994年10月12日，瑞典皇家科学院宣布授予美国南加利福尼亚大学有机化学家乔治·安德鲁·欧拉（George Andrew Olah）教授1994年度诺贝尔化学奖，表彰他在碳正离子化学研究方面所作的贡献．他从小就接受非常严格的中小学训练，有扎实的基础知识．欧拉曾对匈牙利的历史如痴如迷，后来把兴趣转向自然科学．在高中毕业后，他进入Techni-cal University of Budapest，在Geza Zemplén教授的指导下从事有机化学方面的学习及研究，于1949年获理学博士学位，当时年仅22岁．大学几年的学习与研究，把欧拉与有机化学紧紧地连在一起，从此他正式步入了他的有机化学生涯．由于Zemplén是Emil Fischer的学生，欧拉自称他自己是Fischer的“徒孙”．1956年，欧拉移居加拿大，在Dow Chemical公司任资深化学研究员．1957年迁居美国后，继续在该公司任职至1964年．欧拉对碳正离子的早期工作正是在这期间完成的．1965至1977年间，欧拉在Case Western大学任教授．从1977年至今，在南加利福尼亚大学（Universi-ty of Southern California）任讲座教授，并为该大学的Locker碳氢化合物。
20.1_数据的代表_(第1课时)20.1.1平均数(1)
解：选手A的最后得分是
选手B的最后得分是
85 50% 95 40% 95 10% 50% 40% 10%
＝90，
95 50% 85 40% 95 10% 50% 40% 10%
第二十章数据的分析 20.1数据的代表（第1课时）
例1 一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲乙两名应试者进行 了听、说、读、写的英语水平测试，他们各项的成绩（百分制） 如下：
应试者 甲 乙 听 85 73 说 78 80 读 85 82力比较强的翻译，计 算两名应试者的平均成绩（百分制）.从他们的成绩看，应 该录取谁？ （2）如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、 说、读、写成绩按照2：1：3：4的比确定，计算两名应 试者的平均成绩（百分制），从他们的成绩看，应该录 取谁？
1主要知识内容：
若n个数
x1， x 2 ， ，xn
则：
的权分别是
加 权 平 均 数
w1， w2 ， ，wn
x1w1 x2 w2 xn wn w1 w2 w3 wn
叫做这n个数的加权平均数。 数据的权能够反映的数据的相对“重要程度”。
2 运用加权平均数的计算样本数据的平均数 3 认真体会加权平均数 权 的意义?
解：（1）甲的平均成绩为
85 78 85 73 80 .25 4
乙的平均成绩为
73 80 82 83 79.5 4
甲的成绩比乙高，所以应该录取甲. （2）听、说、读、写的成绩按照2：1：3：4的比确定，则 甲的平均成绩为
85 2 78 1 85 3 73 4 79.5 2 1 3 4
初中数学人教版八年级下册20.1.1 平均数第1课时 平均数(1)教案
初中数学人教版八年级下册实用资料第二十章 数据的分析20．1 数据的集中趋势20．1.1 平均数第1课时 平均数(1)1．使学生理解并掌握数据的权和加权平均数的概念．2．使学生掌握加权平均数的计算方法．重点会求加权平均数．难点对“权”的理解．一、复习导入某校八年级共有班级 1班 2班 3班 4班参考人数 40 42 45 32平均成绩 80 81 82 79x ＝14×(79＋80＋81＋82)＝80.5 平均数的概念及计算公式：一般地，如果有n 个数x 1，x 2，x 3，…，x n ，则有x ＝x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n n，其中x 叫做这n 个数的平均数，读作“x 拔”．二、讲授新课问题： 一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩(应试者 听 说 读 写甲 85 78 85 73乙 73 80 82 83(1)(百分制)．从他们的成绩看，应该录取谁？(2)如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比确定计算两名应试者的平均成绩(百分制)．从他们的成绩看，应该录取谁？对于问题(1)，根据平均数公式，甲的平均成绩为：85＋78＋85＋734＝80.25， 乙的平均成绩为73＋80＋82＋834＝79.5. 因为甲的平均成绩比乙高，所以应该录取甲．对于问题(2)，听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比确定，这说明各项成绩的“重要程度”有所不同，读、写的成绩比听、说的成绩更加“重要”．因此，甲的平均成绩为85×2＋78×1＋85×3＋73×42＋1＋3＋4＝79.5， 乙的平均成绩为73×2＋80×1＋82×3＋83×42＋1＋3＋4＝80.4. 因为乙的平均成绩比甲高，所以应该录取乙．上述问题(1)是利用平均数的公式计算平均成绩，其中的每个数据被认为同等重要．而问题(2)是根据实际需要对不同类型的数据赋予与其重要程度相应的比重，其中的2，1，3，4分别称为听、说、读、写四项成绩的权，相应的平均数79.5，80.4分别称为甲和乙的听、说、读、写四项成绩的加权平均数．一般地，若n 个数x 1，x 2，…，x n 的权分别是w 1，w 2，…，w n ，则x 1w 1＋x 2w 2＋…＋x n w n w 1＋w 2＋…＋w n叫做这n 个数的加权平均数．三、例题讲解【例1】教材第112页例1【例2】为了鉴定某种灯泡的质量，对其中100只灯泡的使用寿命进行了测量，结果如下表：(单位：小时寿命 450 550 600 650 700只数 20 10 30 15 25解：这些灯泡的平均使用寿命为：x ＝450×20＋550×10＋600×30＋650×15＋700×2520＋10＋30＋15＋25＝597.5(小时) 四、巩固练习1．在一个样本中，2出现了x 1次，3出现了x 2次，4出现了x 3次，5出现了x 4次，则这个样本的平均数为________．【答案】2x 1＋3x 2＋4x 3＋5x 4x 1＋x 2＋x 3＋x 42．某人打靶，有a 次打中x 环，b 次打中y 环，则这个人平均每次中靶________环．【答案】ax ＋by a ＋b五、课堂小结师：这节课你学到了什么新知识？生1：数据的权和加权平均数的概念．生2：掌握加权平均数的计算方法．……平均数是统计中的一个重要概念，新教材注重学生在经历统计活动的过程中体会平均数的本质内涵，理解平均数的意义，发展学生的统计观念，基于以上认识，我在设计中突出了让学生在具体情境中体会为什么要学习平均数，注重引导学生在统计的背景中理解平均数的含义，在比较、观察中把握平均数的特征，进而运用平均数解决实际问题，了解它的价值．第2课时 平均数(2)1．加深对加权平均数的理解．2．会根据频数分布表求加权平均数，解决一些实际问题．3．会用计算器求加权平均数的值．重点根据频数分布表求加权平均数．难点根据频数分布表求加权平均数．一、复习导入采用教材原有的引入问题，设计的几个问题如下：(1)请同学们阅读教材中的探究问题，依据统计表可以读出哪些信息？(2)这里的组中值指什么，它是怎样确定的？(3)第二组数据的频数5指什么呢？(4)如果每组数据在本组中分布较为均匀，每组数据的平均值和组中值有什么关系？ 设计意图(1)主要是想引出根据频数分布表求加权平均数近似值的计算方法；(2)加深了对“权”的意义的理解：当利用组中值近似取代一组数据中的平均值时，频数恰好反映这组数据的轻重程度，即权；二、例题精讲【例2】某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如下：13岁8人，14岁16人，15岁24人，16岁2人．求这个跳水队运动员的平均年龄(结果取整数)．解：这个跳水队运动员的平均年龄为x ＝13×8＋14×16＋15×24＋16×28＋16＋24＋2≈14(岁)． 【例3】某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了50只灯泡．它们的使用使用寿命/x/h 600≤x＜1000 1000≤x＜1400 1400≤x＜1800 1800≤x＜2200 2200≤x＜2600灯泡只数 5 10 12 17 6分析：估计这批灯泡的平均使用寿命．解：根据表格，可以得出各小组的组中值，于是x ＝800×5＋1200×10＋1600×12＋2000×17＋2400×650＝1672， 即样本平均数为1672.因此，可以估计这批灯泡的平均使用寿命大约是1672 h .三、巩固练习某校为了了解学生做课外作业所用时间的情况，对学生做课外作业所用时间进行调查，下表是该校八年级某班.所用时间t(分钟) 人 数0＜t≤10 410＜t≤20 620＜t≤30 1430＜t≤40 1340＜t≤50 950＜t≤60 4求：(1)(2)该班学生平均每天做数学作业所用的时间．【答案】解：(1)15(2)该班学生平均每天做数学作业所用时间为x ＝5×4＋15×6＋25×14＋35×13＋45×9＋55×44＋6＋14＋13＋9＋4＝30.8(分钟) 四、课堂小结1．加权平均数的应用．2．根据频数分布表求加权平均数．3．学会用计算器求加权平均数的值．在统计中算术平均数常用于表示对象的一般水平，它是描述数据集中程度的一个统计量，它可以反映一组数据的一般情况，也可以用它进行不同组数据的比较，以看出组与组之间的差别，可见平均数是统计中的一个重要概念．基于这一认识，这节课注重了以下几个方面：一、在现实生活情境中引入，注重数学与生活的联系．二、创造有效的数学学习方式，理解平均数的意义，学会平均数的算法．20.1.2 中位数和众数第1课时 中位数和众数(1)认识中位数和众数，并会求出一组数据的众数和中位数．重点认识中位数、众数这两种数据代表．难点利用中位数、众数分析数据信息，做出决策．一、复习导入前面已经和同学们研究了平均数这个数据代表．它在分析数据的过程中担当了重要的角色，今天我们来共同研究和认识数据代表中的新成员——中位数和众数，看看它们在分析数据的过程中又起到怎样的作用．二、讲授新课 月收 入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 1000 人数 1 1 1 3 6 1 11 1(2)若用(1)算得的平均数反映公司全体员工月收入水平，你认为合适吗？师：同学们知道如何计算这个公司员工月收入的平均数吗？生：根据加权平均数，可以求出这个公司员工月收入的平均数为：45000＋18000＋10000＋5500×3＋5000×6＋3400＋3000×11＋10001＋1＋1＋3＋6＋1＋11＋1＝6276.师：很好！那么用第(1)问中算得的平均数来反映该公司全体员工的月收入水平，你认为合理吗？生：不合理．因为在这25名员工中，仅有3名员工的收入在6276元以上，而另外22名员工的收入都在6276元以下．因此，用月收入的平均数反映所有员工的月收入水平不合理．师：这位同学分析得很好！那么应该选择什么数据来反映该公司员工月收入的水平呢？这就要用到本节课要学习的中位数，利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势．将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称位于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数．利用中位数分析数据可以获得一些信息．例如，上述问题中将公司25名员工月收入数据由小到大排列，得到的中位数为3400，这说明除去月收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工收入低于3400元．【例1】教材第117页例4师：刚才我们学习中位数，下面我们再来学习一个反映数据集中趋势的另一众数，一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数．当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好地反映该组数据的集中趋势．【例2】一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示．你尺码/cm22 22.5 23 23.5 24 24.5 25销售量/双 1 2 5 11 7 3 1码组成的一组数据的众数．一段时间内卖出的300双女鞋的尺码组成一个样本数据，通过分析样本数据可以找出样本数据的众数，进而估计这家鞋店销售哪种尺码的鞋最多．解：由表可以看出，在鞋的尺码组成的数据中，23.5是这组数据的众数，即23.5 cm的鞋销售量最大，因此可以建议鞋店多进23.5 cm的鞋．三、巩固练习1．数据8，9，9，8，10，8，9，9，8，10，7，9，9，8的中位数是________，众数是________．【答案】9 92．一组各不相同的数据23，27，20，18，x，12，它的中位数是21，则x的值是________．【答案】223．数据92，96，98，100，x的众数是96，则其中位数和平均数分别是( )A．97，96 B．96，96.4C．96，97 D．98，97【答案】B4．如果在一组数据中，23，25，28，22出现的次数依次为3，5，3，1，并且没有其他的数据，则这组数据的众数和中位数分别是( )A．24，25 B．23，24C．25，25 D．23，25【答案】C四、课堂小结1．认识了中位数和众数．2．理解了中位数和众数的意义和作用，并能利用它们分析数据信息，做出决策．本次教学中，我通过引导学生在了解中位数和众数的意义之后，让学生利用中位数和众数的知识解决实际问题，沟通了知识与实际生活的联系，让学生体会到中位数与众数知识的实用性．第2课时中位数和众数(2)1．进一步认识到平均数、众数、中位数都是数据的代表．2．了解平均数、中位数、众数在描述数据时的差异．重点了解平均数、中位数、众数之间的差异．难点灵活运用这三个数据代表解决问题．一、复习导入平均数、中位数和众数都可以作为一组数据的代表，是描述一组数据集中趋势的量．它们各有自己的特点，能够从不同的角度提供信息，在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的量反映数据的集中趋势．另外要注意：(1)平均数计算要用到所有的数据，它能够充分利用所有的数据信息，但它受极端值的影响较大；(2)众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时，人们往往关心的一个量，众数不受极端值的影响，这是它的一个优势，中位数的计算也不受极端值的影响；(3)平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会相应地引起平均数的变动；(4)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势；(5)实际问题中求得的平均数、众数、中位数应带上单位．二、例题讲解【例1得分50 60 70 80 90 100 110 120人数 2 3 6 14 15 5 4 1解：众数90分中位数85分平均数84.6分【例2】公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下：(单位：岁) 甲群：13，13，14，15，15，15，16，17，17.乙群：3，4，5，5，6，6，36，55.(1)甲群游客的平均年龄是________岁，中位数是________岁，众数是________岁，其中能较好地反映甲群游客年龄特征的是________；(2)乙群游客的平均年龄是________岁，中位数是________岁，众数是________岁，其中能较好地反映乙群游客年龄特征的是________．解：(1)15 15 15 众数(2)15 5.5 5，6 中位数【例3】教材第119页例6三、巩固练习职员董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数 1 1 2 1 5 3 20工资5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)(3)你认为应该使用平均数和中位数中的哪一个来描述该公司职工的工资水平？【答案】(1)2091 1500 1500 (2)3288 1500 1500 (3)中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．四、课堂小结1．了解平均数、中位数、众数之间的差异．2．灵活运用这三个数据代表解决问题．本节课首先从复习平均数、中位数和众数的定义开始，接着列出这三种统计量各自的特点和适用条件，为避免太过抽象，在后面设计的例题中都有这些统计量的应用，培养学生应用数学的意识．20.2 数据的波动程度1．了解方差的定义和计算公式．2．理解方差概念的产生和形成过程．3．会用方差比较两组数据的波动大小．重点方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题．难点理解方差的概念并会运用方差的公式解决实际问题．一、情境导入1．请同学们看下面的问题：(幻灯片出示)农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10块自然条甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 上面两组数据的平均数分别是x 甲≈7.54，x 乙≈7.52，说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大．由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大．为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的分布情况，我们把这两组数据画成下面的图1和图2.师：比较上面的两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，乙种甜玉米在各试验田的产量较集中地分布在平均量附近，从图中看出的结果能否用一个量来刻画呢？这就是我们本节课所要学习的内容——方差．教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小)．2．方差的概念教师讲解：为了描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法，例如，可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小，通常，采用的是下面的做法：设在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的和的平均数是s 2，那么我们用s 2＝1n[(x 1－x)2＋(x 2－x)2＋…＋(x n －x)2] 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大；数据的方差越小，说明这组数据的波动越小，教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握．在学生理解了方差的概念之后，再回到了引例中，通过计算甲、乙两种甜玉米的方差，根据理论说明哪种甜玉米的产量更好．教师示范：两组数据的方差分别是s 甲2＝（7.65－7.54）2＋（7.50－7.54）2＋…＋（7.41－7.54）210≈0.01， s 乙2＝（7.55－7.52）2＋（7.56－7.52）2＋…＋（7.49－7.52）210≈0.002. 显然s 甲2＞s 乙2，即甲种甜玉米的波动较大，这与我们从图1和图2看到的结果一致．由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定．正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差．因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比甲种的稳定．综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米．这样做使学生深刻地体会到数学来源于实践，又反过来作用于实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识．二、例题讲解【例1】教材第125页例1【例2】教材第127页例2【例3】(幻灯片出示)已知两组数据：甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1分别计算这两组数据的方差．让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简化公式计算，找一名学生到黑板计算． 解：根据公式可得x 甲＝10＋18(－0.1＋0.3－0.2＋0.1＋0.4＋0－0.2－0.3) ＝10＋18×0＝10 x 乙＝10＋18(0.2＋0－0.5＋0.3＋0.5－0.4－0.2＋0.1) ＝10＋18×0＝10 s 甲2＝18[(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋…＋(9.7－10)2] ＝18(0.01＋0.09＋…＋0.09) ＝18×0.44＝0.055 s 乙2＝18[(10.2－10)2＋(10－10)2＋…＋(10.1－10)2] ＝18(0.04＋0＋…＋0.01) ＝18×0.84＝0.105 从s 甲2＜s 乙2知道，乙组数据比甲组数据波动大．三、巩固练习1．已知一组数据为2，0，－1，3，－4，则这组数据的方差为________．【答案】62．甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7经过计算，两人射击环数的平均数相同，但s甲2________s乙2，所以确定________去参加比赛．【答案】＞乙四、课堂小结1．知识小结：通过这节课的学习，我们知道了对于一组数据，有时只知道它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小，而描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常用的是方差．2．方法小结：求一组数据方差的方法：先求平均数，再利用平均数求方差．本次教学在解决引例问题时，通过对数据的分析，发现以前学过的统计知识不能解决新问题，引出矛盾，这里设计了小组讨论的环节，让学生在交流中得到启发，进而使学生的思维发生碰撞，产生创新的火花，真正体现“不同的人，在数学上得到不同的发展”．。
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20.1 数据的代表
一、基础题：
1．求n 个数的算术平均数时，如果x 出现f 1次，x 出现f 2次，…，x k 出现
f k 次（这里f 1+f 2+…+f k =k ），那么这n 个数的算术平均数x =_____
_______也叫做x 1，x 2；…，x k 这个k 个数的加数平均数． 2．将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的_________；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的________． 3．一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的_________． 4．摩托车生产是我市的支柱产业之一，不少品牌的摩托车畅销国内外，下表是摩托车厂今年1至5月份摩托车销售量的统计表：（单位：辆）
则这5个月销售量的中位数是______辆．
5．一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩是（单位：环）：•7，8，9，8，6，8，10，7，这组数据的众数是__________．
6某公司对应聘者进行面试，按专业知识，工作经验，仪表形象给应聘者
打分，这三个方面的重要性之比为6：3：1，对应聘的王丽、•张瑛两人
打分如下：
如果两人中只录取一人，若你是人事主管，你会录用_______．
二、能力题： 7．某班七个合作学习小组人数如下：5，5，6，x ，7，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ）． A ．7 B ．6 C ．5．5 D ．5 8．某公司销售部有营销人员25人，销售部为了制定某种商品的销售定额，统计了这25人某月的销售量如下表：
A ．
400件 B ．350件 C ．300件 D ．360件
9．某超市购进了一批不同价格的皮鞋，下表是该超市在近几年统计的平均
数据．要使该超市销售皮鞋收入最大，该超市应多购（ ）的皮鞋
A ．160元
B ．140元
C ．120元
D ．100 10．为了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班
根据上表中的数据，回答下列问题： （1）该班学生每周做家务劳动的平均时间应是多少小时？ （2）这组数据的中位数、众数分别是多少？ （3）请你根据（1）、（2）的结果，用一句话谈谈自己的感受．
11．下表是某校初三（1）班20名学生某次数学测验的成绩统计表． （1）若这20名学生成绩的平均分数为80分，求x 、y 的值．
（2）在（1）的条件下，设这20名学生本次测验成绩的众数为a ，中位数为b ，求a 、•b 的值．
三、创新题
12．阅读解答题．
甲、乙两同学是邻居，在某个季度里他们相约到一家商店去买若干次白糖，两个人买糖方式不同，甲每次总是买1千克的糖，乙每次总是买一元钱白糖，•而白糖的价格是变动的，若两人买2次白糖，试问这两位同学买白糖的方式谁比较合算？ 小明是这样解答的：
设两次买白糖的价格分别是x 1、x 2则甲的平均单价是
12
2
x x +，乙也是12
2
x x +，所以两人买的白方式一样合算，亲爱的同学，你认为小明的解答正确吗？如果不正确应如何改正．。