清华大学运筹学4整数规划
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-3
1 x1 0 1 0
1 x2 1 0 0
0 x3 3/4 -1/4 [-3]
0 x4 1/4 1/4 -1
0 x5 0 0 1
θi
z
-
-
-1/2/-3
-1/2/-1
-
σj/alj
26/68
最终单纯形表
cB 1 1 0 z
cj xB x2 x1
x3
B-1b 1 1 1 2
1 x1 0 1
0 0
1 x2 1 0
第五章 整数规划
第一节 第二节 第四节 第五节 整数规划数学模型及解的特点 割平面法 0-1型整数规划 指派问题
1/68
第一节 整数规划 模型及解的特点
一、整数规划模型一般形式
2/68
Max z=CX s.t. AX ≤或=或≥ b X≥0， b≥0 C=(c1, c2, … , cn ) X=(x1, x2, … , xn )T 有些或全部xj取整数 b=(b1, b2, … , bm )T a11 a12 … a1n A= a21 a22 … a2n . . . . . . . . . m<n am1 am2 … amn
19/68
x2
整数点C已经改成顶点，但还 拦不住目标函数。
2
D -x1+x2=1 1 R’
A
C(1, 1)
3x1+x2 =4
o
x1
20/68
1
4/3
x2
再切一次，整数顶点C拦住了 目标函数。
2
D -x1+x2=1 1 R’’
A
B
C(1, 1)
3x1+x2 =4
o
x1
21/68
1
4/3
如何构造用来切割平面的直线呢？ 在松弛问题约束条件中添加松弛变量： -x1 +x2 +x3 =1 3x1+x2 +x4 = 4 x1，x2≥0， 然后，列出初始单纯形表：
14/68
第二节 解整数规划的割平面法
就是在解松驰问题过程中逐一去掉非整数 解域，寻找整数解的方法，也就是“切割”可 行域平面。切割的办法是增加约束条件。
15/68
He (born 7 May 1929 in Brooklyn) is an applied mathematician. He worked at IBM as a researcher and later as an executive and his research led to the creation of new areas of applied mathematics. After his career in the corporate world, he became the president of the Alfred P. Sloan Foundation, where he oversaw programs dedicated to broadening public understanding in three key areas: Ralph Edward Gomory the economic importance of science and research; the effects of globalization on the United States; and the role of technology in education. 16/68
σj
23/68
cB 1 1
z
cj xB x2 x1
B-1b 7/4 3/4
10/4
1 x1 0 1 0
1 x2 1 0 0
0 x3 3/4 -1/4 -1/2
0 x4 1/4 1/4 -1/2
θi
σj
从中可得到 x1 -x3/4+x4/4 =3/4 x2+3x3/4 +x4/4 =7/4 将其中的系数和常数项均分解成整数和非整数两 部分：
9/68
A2 8 3 5 7 A3 7 6 1 2 A4 4 5 2 5 需求量（千吨/年） 350 400 300 150
10/68
三、解的特点 整数线性规划的解一定是松弛问题的解， 可行域是松弛问题可行域的子集。 目标函数值不会超过松弛问题目标函数值。 反过来，不一定成立。 不能将松弛问题的解四舍五入当作整数线性 规划的解。
A
z=20x1+10x2=96
z=10
o
4
13/68
最优解是(x1, x2)=(4.8, 0) Max z=96 再看整数规划问题， 若取x1=5，x2=0，破坏了约束条件5x1 +4x2≤24 若取x1=4，x2=0 ， z=20x1+10x2=80， 实际上，(x1, x2)=(4, 1)也是可行解，z=90 可见，将松弛问题的解四舍五入不能求得整数线 性规划的解。
0 0
0 x3 0 0
1 0
0 x4 0 1/3
1/3 -1/3
0 x5 1/4 -1/12
-1/3
θi
-1/6 σj/alj
已经得到整数线性规划最优解。 (x1, x2, x3, x4)=(1, 1, 1, 0)，Max z=2。
27/68
28/68
29/68
[例2]用Gomory切割法求解如下问题。 Max z=3x1-x2 s.t. 3x1 -2x2 ≤3 5x1+4x2 ≥10 2x1+ x2 ≤5，x1，x2为非负整数。 先解松驰问题 Max z=3x1-x2+0x3+0x4-Mx5+0x6 s.t. 3x1 -2x2+x3 =3 5x1+4x2 -x4 +x5 =10 2x1+ x2 +x6 =5 x1，x2≥0
0 x4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 x6 2/7 3/7 22/7 [-2/7] 3/2 0 0 0 1 0
0 x7 0 0 0 1 1 3/2 11 -7/2 34/68
θi
cB 3 -1 0 0 z
cj xB B-1b x1 x2 x3 x6 1 5/4 5/2 7/4 7/4
30/68
初始单纯形表
cB 0 -M 0 z 3 -M 0 z x1 x5 x6 1 5 3 cj xB x3 x5 x6 B-1b 3 10 5 3 x1 [3] 5 2 1 0 0 0 -1 x2 -2 4 1 0 x3 1 0 0 0 0 x4 0 -1 0 -M -M x5 0 1 0 0 0 1 0 0 0 x6 0 0 1 0 0 0 1 0 θi 3/3 10/5 5/2 15/22 9/7
5M+3 4M-1
-2/3 1/3 0 [22/3] -5/3 -1 7/3 -2/3 0 22M/3 -5M/3 -M
31/68
cB 3 -1 0 z 3
cj xB B-1b x1 16/11 x2 15/22 x6 31/22 x1 13/7
3 x1 1 0 0 0 1
-1 x2 0 1 0 0 0
3/68
若对决策变量不提整数要求，则上述规划问题称 为该整数规划问题的松弛问题。若松弛问题是线 性规划问题，则该整数规划问题叫做整数线性规 划。 整数线性规划有如下几种类型： 1. 纯整数线性规划——全部决策变量须取整数， 亦称全整数规划。 2. 混合整数线性规划——部分决策变量须取整 数。 3. 0-1型整数线性规划——决策变量只取0或1的 整数线性规划。
7/68
8/68
[例3]现有A1和A2生产某产品，在B1、B2 、B3和 B4销售。因供不应求，计划再建一厂。新厂有方 案A3和A4，建成后年生产费用分别为1200和 1500万元。从产地到销地运费见下表。问哪一方 案使新厂建成后年运费与生产费用总和最少？
B1 A1 2 B2 9 B3 3 B4 产能（千吨/年） 4 400 600 200 200
4/68
二、 整数规划之例 [例1]某商场拟用集装箱托运两种货物，每箱体 积、重量、可获利润以及所受限制如下表。
货物 体积 立方米/箱 重量 百斤/箱 利润 千元/箱
服装 玩具 托运限制
5 4 24
2 5 13
20 10
问：两种货物各托运多少，利润最大？
5/68
用x1和x2将表示服装和玩具的托运箱数，则该问 题可表示如下： Max z=20x1+10x2 (1) s.t. 5x1 +4x2 ≤24 (2) 2x1+5x2 ≤13 (3) x1，x2≥0， (4) x1，x2取整数 (5)
32/68
构造切割方程，13/7、9/7和31/7中真分数最大的 是13/7，对应最终单纯形表中第一行，所以，选 取 x1 + x3/7 + 2x6/7=13/7 x1 -1 =6/7- x3/7 - 2x6/7 -x3/7-2x6/7 ≤-6/7 添入松弛变量x7 得 -x3/7-2x6/7 +x7 = -6/7 将其添入上面的最终单纯形表，得
而 (3x3/4 +x4/4)是正数，一定要比3/4大，两者之 差才可能是整数，即，必须有 3x3/4 +x4/4≥3/4，-3x3 -x4≤-3， 添加松弛变量x5后得到： -3x3 -x4+x5= -3，叫做 切割方程，将其添加到最终单纯形表中，得
cB 1 1
0 cj xB x2 x1 x5
B-1b 7/4 3/4
0 x3 2/11 -5/22 -3/22 -17/22 1/7
0 x4 -1/11 -3/22 [7/22] 2/11 0
-M x5 -
0 x6 0 0 1 0 2/7
θi 31/7
-1 0
z
x2 x4
9/7 31/7 30/7
0 0 0
1 0 0
-Fra Baidu bibliotek/7 -3/7 -5/7
0 1 0
-
3/7 22/7 -3/7
3 x1 1 0 0 0 0
-1 x2 0 1 0 0 0
0 x3 0 0 1 0 0
0 x4 0 -1/4 -1/2 1/4 -1/4
0 x6 0 0 0 1 0
0 x7 1 -5/4 -11/2 -3/4 -17/4
θi
构造切割方程：5/4、5/2和7/4真分数最大的是7/4 ，对应最终单纯形表第四行，所以，选取 x4/4+x5-3x7/4=7/4，即x5 -x7-1= 3/4 -x4/4-x7/4， 3/4 -x4/4-x7/4≤0，添入松弛变量x8 得 35/68 -x4/4-x7/4 +x8 = -3/4，添入上面最终单纯形表，得
6/68
[例2]某地区要建水电站，有15处可行，可用资 金总额为B。各处所需投资和预期收益分别为aj 和cj (j=1, 3, …, 15)。 要求是： 若在第一处建，第二处也要建；但是，第二处建 ；第一处不一定建； 第三和第四处至少有一处必须建； 第五、六和第七处建两个。 问：如何在这15处布置水电站，才能预期最大收 益？
[例1] Max z=x1+x2 s.t. -x1 +x2 ≤1 3x1+x2 ≤4 x1，x2≥0， x1，x2取整数 先用图解法解松驰问题，得
17/68
x2 z=x1+x2=2.5
2
-x1+x2=1 1 R
A(3/4, 7/4)
C(1, 1)
3x1+x2 =4
o
x1
18/68
1
4/3
最优解是(x1, x2)=(3/4, 7/4) Max z=10/4 整数点C不是顶点，所以目标函数就向非整数点 A呼啸而去，若将C改成顶点，就可能拦截目标 函数。
24/68
可得到 x1 -x3 = 3/4-(3x3/4+x4/4) x2 – 1 =3/4- (3x3/4 +x4/4)
从
-x1 +x2 +x3 =1 3x1+x2 +x4 = 4 可知，x1和x2若是非负整数， x3和x4也是非负整 数。所以，根据 x1 -x3 = 3/4-(3x3/4+x4/4) x2 – 1 =3/4- (3x3/4 +x4/4) 左边判断，3/4- (3x3/4 +x4/4)应当是整数， 25/68
33/68
cB 3 -1 0 0 z 3 -1 0 0
cj xB x1 x2 x4 x7 x1 x2 x4 x6
B-1b 13/7 9/7 31/7 -6/7 1 0 -5 3
3 x1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
-1 x2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 x3 1/7 -2/7 -3/7 -1/7 5 0 -1/2 [-2] 1/2 1/4
22/68
cj cB 0 0 z 0 1 z x3 x1 7/3 4/3 xB x3 x4 B-1b 1 4
1 x1 -1 [3] 1 0 1 0
1 x2 1 1 1 [4/3] 1/3 2/3
0 x3 1 0 0 1 0 0
0 x4 0 1 0 1/3 1/3 -1/3 θi 4/3
σj
7/4 4
11/68
现在看托运问题： Max z=20x1+10x2 s.t. 5x1 +4x2 ≤24 2x1+5x2 ≤13 x1，x2≥0， x1，x2取整数 先用图解法解松驰问题，得
12/68
x2
5x1+4x2=24
z=90
z=15 3
2 (4, 1) 2 2x1+5x2 =13 x1 (4.8, 0) 6
1 x1 0 1 0
1 x2 1 0 0
0 x3 3/4 -1/4 [-3]
0 x4 1/4 1/4 -1
0 x5 0 0 1
θi
z
-
-
-1/2/-3
-1/2/-1
-
σj/alj
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最终单纯形表
cB 1 1 0 z
cj xB x2 x1
x3
B-1b 1 1 1 2
1 x1 0 1
0 0
1 x2 1 0
第五章 整数规划
第一节 第二节 第四节 第五节 整数规划数学模型及解的特点 割平面法 0-1型整数规划 指派问题
1/68
第一节 整数规划 模型及解的特点
一、整数规划模型一般形式
2/68
Max z=CX s.t. AX ≤或=或≥ b X≥0， b≥0 C=(c1, c2, … , cn ) X=(x1, x2, … , xn )T 有些或全部xj取整数 b=(b1, b2, … , bm )T a11 a12 … a1n A= a21 a22 … a2n . . . . . . . . . m<n am1 am2 … amn
19/68
x2
整数点C已经改成顶点，但还 拦不住目标函数。
2
D -x1+x2=1 1 R’
A
C(1, 1)
3x1+x2 =4
o
x1
20/68
1
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x2
再切一次，整数顶点C拦住了 目标函数。
2
D -x1+x2=1 1 R’’
A
B
C(1, 1)
3x1+x2 =4
o
x1
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如何构造用来切割平面的直线呢？ 在松弛问题约束条件中添加松弛变量： -x1 +x2 +x3 =1 3x1+x2 +x4 = 4 x1，x2≥0， 然后，列出初始单纯形表：
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第二节 解整数规划的割平面法
就是在解松驰问题过程中逐一去掉非整数 解域，寻找整数解的方法，也就是“切割”可 行域平面。切割的办法是增加约束条件。
15/68
He (born 7 May 1929 in Brooklyn) is an applied mathematician. He worked at IBM as a researcher and later as an executive and his research led to the creation of new areas of applied mathematics. After his career in the corporate world, he became the president of the Alfred P. Sloan Foundation, where he oversaw programs dedicated to broadening public understanding in three key areas: Ralph Edward Gomory the economic importance of science and research; the effects of globalization on the United States; and the role of technology in education. 16/68
σj
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cB 1 1
z
cj xB x2 x1
B-1b 7/4 3/4
10/4
1 x1 0 1 0
1 x2 1 0 0
0 x3 3/4 -1/4 -1/2
0 x4 1/4 1/4 -1/2
θi
σj
从中可得到 x1 -x3/4+x4/4 =3/4 x2+3x3/4 +x4/4 =7/4 将其中的系数和常数项均分解成整数和非整数两 部分：
9/68
A2 8 3 5 7 A3 7 6 1 2 A4 4 5 2 5 需求量（千吨/年） 350 400 300 150
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三、解的特点 整数线性规划的解一定是松弛问题的解， 可行域是松弛问题可行域的子集。 目标函数值不会超过松弛问题目标函数值。 反过来，不一定成立。 不能将松弛问题的解四舍五入当作整数线性 规划的解。
A
z=20x1+10x2=96
z=10
o
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最优解是(x1, x2)=(4.8, 0) Max z=96 再看整数规划问题， 若取x1=5，x2=0，破坏了约束条件5x1 +4x2≤24 若取x1=4，x2=0 ， z=20x1+10x2=80， 实际上，(x1, x2)=(4, 1)也是可行解，z=90 可见，将松弛问题的解四舍五入不能求得整数线 性规划的解。
0 0
0 x3 0 0
1 0
0 x4 0 1/3
1/3 -1/3
0 x5 1/4 -1/12
-1/3
θi
-1/6 σj/alj
已经得到整数线性规划最优解。 (x1, x2, x3, x4)=(1, 1, 1, 0)，Max z=2。
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[例2]用Gomory切割法求解如下问题。 Max z=3x1-x2 s.t. 3x1 -2x2 ≤3 5x1+4x2 ≥10 2x1+ x2 ≤5，x1，x2为非负整数。 先解松驰问题 Max z=3x1-x2+0x3+0x4-Mx5+0x6 s.t. 3x1 -2x2+x3 =3 5x1+4x2 -x4 +x5 =10 2x1+ x2 +x6 =5 x1，x2≥0
0 x4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 x6 2/7 3/7 22/7 [-2/7] 3/2 0 0 0 1 0
0 x7 0 0 0 1 1 3/2 11 -7/2 34/68
θi
cB 3 -1 0 0 z
cj xB B-1b x1 x2 x3 x6 1 5/4 5/2 7/4 7/4
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初始单纯形表
cB 0 -M 0 z 3 -M 0 z x1 x5 x6 1 5 3 cj xB x3 x5 x6 B-1b 3 10 5 3 x1 [3] 5 2 1 0 0 0 -1 x2 -2 4 1 0 x3 1 0 0 0 0 x4 0 -1 0 -M -M x5 0 1 0 0 0 1 0 0 0 x6 0 0 1 0 0 0 1 0 θi 3/3 10/5 5/2 15/22 9/7
5M+3 4M-1
-2/3 1/3 0 [22/3] -5/3 -1 7/3 -2/3 0 22M/3 -5M/3 -M
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cB 3 -1 0 z 3
cj xB B-1b x1 16/11 x2 15/22 x6 31/22 x1 13/7
3 x1 1 0 0 0 1
-1 x2 0 1 0 0 0
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若对决策变量不提整数要求，则上述规划问题称 为该整数规划问题的松弛问题。若松弛问题是线 性规划问题，则该整数规划问题叫做整数线性规 划。 整数线性规划有如下几种类型： 1. 纯整数线性规划——全部决策变量须取整数， 亦称全整数规划。 2. 混合整数线性规划——部分决策变量须取整 数。 3. 0-1型整数线性规划——决策变量只取0或1的 整数线性规划。
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8/68
[例3]现有A1和A2生产某产品，在B1、B2 、B3和 B4销售。因供不应求，计划再建一厂。新厂有方 案A3和A4，建成后年生产费用分别为1200和 1500万元。从产地到销地运费见下表。问哪一方 案使新厂建成后年运费与生产费用总和最少？
B1 A1 2 B2 9 B3 3 B4 产能（千吨/年） 4 400 600 200 200
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二、 整数规划之例 [例1]某商场拟用集装箱托运两种货物，每箱体 积、重量、可获利润以及所受限制如下表。
货物 体积 立方米/箱 重量 百斤/箱 利润 千元/箱
服装 玩具 托运限制
5 4 24
2 5 13
20 10
问：两种货物各托运多少，利润最大？
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用x1和x2将表示服装和玩具的托运箱数，则该问 题可表示如下： Max z=20x1+10x2 (1) s.t. 5x1 +4x2 ≤24 (2) 2x1+5x2 ≤13 (3) x1，x2≥0， (4) x1，x2取整数 (5)
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构造切割方程，13/7、9/7和31/7中真分数最大的 是13/7，对应最终单纯形表中第一行，所以，选 取 x1 + x3/7 + 2x6/7=13/7 x1 -1 =6/7- x3/7 - 2x6/7 -x3/7-2x6/7 ≤-6/7 添入松弛变量x7 得 -x3/7-2x6/7 +x7 = -6/7 将其添入上面的最终单纯形表，得
而 (3x3/4 +x4/4)是正数，一定要比3/4大，两者之 差才可能是整数，即，必须有 3x3/4 +x4/4≥3/4，-3x3 -x4≤-3， 添加松弛变量x5后得到： -3x3 -x4+x5= -3，叫做 切割方程，将其添加到最终单纯形表中，得
cB 1 1
0 cj xB x2 x1 x5
B-1b 7/4 3/4
0 x3 2/11 -5/22 -3/22 -17/22 1/7
0 x4 -1/11 -3/22 [7/22] 2/11 0
-M x5 -
0 x6 0 0 1 0 2/7
θi 31/7
-1 0
z
x2 x4
9/7 31/7 30/7
0 0 0
1 0 0
-Fra Baidu bibliotek/7 -3/7 -5/7
0 1 0
-
3/7 22/7 -3/7
3 x1 1 0 0 0 0
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0 x3 0 0 1 0 0
0 x4 0 -1/4 -1/2 1/4 -1/4
0 x6 0 0 0 1 0
0 x7 1 -5/4 -11/2 -3/4 -17/4
θi
构造切割方程：5/4、5/2和7/4真分数最大的是7/4 ，对应最终单纯形表第四行，所以，选取 x4/4+x5-3x7/4=7/4，即x5 -x7-1= 3/4 -x4/4-x7/4， 3/4 -x4/4-x7/4≤0，添入松弛变量x8 得 35/68 -x4/4-x7/4 +x8 = -3/4，添入上面最终单纯形表，得
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[例2]某地区要建水电站，有15处可行，可用资 金总额为B。各处所需投资和预期收益分别为aj 和cj (j=1, 3, …, 15)。 要求是： 若在第一处建，第二处也要建；但是，第二处建 ；第一处不一定建； 第三和第四处至少有一处必须建； 第五、六和第七处建两个。 问：如何在这15处布置水电站，才能预期最大收 益？
[例1] Max z=x1+x2 s.t. -x1 +x2 ≤1 3x1+x2 ≤4 x1，x2≥0， x1，x2取整数 先用图解法解松驰问题，得
17/68
x2 z=x1+x2=2.5
2
-x1+x2=1 1 R
A(3/4, 7/4)
C(1, 1)
3x1+x2 =4
o
x1
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1
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最优解是(x1, x2)=(3/4, 7/4) Max z=10/4 整数点C不是顶点，所以目标函数就向非整数点 A呼啸而去，若将C改成顶点，就可能拦截目标 函数。
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可得到 x1 -x3 = 3/4-(3x3/4+x4/4) x2 – 1 =3/4- (3x3/4 +x4/4)
从
-x1 +x2 +x3 =1 3x1+x2 +x4 = 4 可知，x1和x2若是非负整数， x3和x4也是非负整 数。所以，根据 x1 -x3 = 3/4-(3x3/4+x4/4) x2 – 1 =3/4- (3x3/4 +x4/4) 左边判断，3/4- (3x3/4 +x4/4)应当是整数， 25/68
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cB 3 -1 0 0 z 3 -1 0 0
cj xB x1 x2 x4 x7 x1 x2 x4 x6
B-1b 13/7 9/7 31/7 -6/7 1 0 -5 3
3 x1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
-1 x2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 x3 1/7 -2/7 -3/7 -1/7 5 0 -1/2 [-2] 1/2 1/4
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cj cB 0 0 z 0 1 z x3 x1 7/3 4/3 xB x3 x4 B-1b 1 4
1 x1 -1 [3] 1 0 1 0
1 x2 1 1 1 [4/3] 1/3 2/3
0 x3 1 0 0 1 0 0
0 x4 0 1 0 1/3 1/3 -1/3 θi 4/3
σj
7/4 4
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现在看托运问题： Max z=20x1+10x2 s.t. 5x1 +4x2 ≤24 2x1+5x2 ≤13 x1，x2≥0， x1，x2取整数 先用图解法解松驰问题，得
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x2
5x1+4x2=24
z=90
z=15 3
2 (4, 1) 2 2x1+5x2 =13 x1 (4.8, 0) 6