含有一个量词的命题的否定 专题训练

含有一个量词的命题的否定专题训练

[A基础达标]

1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()

A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0

C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0

解析：选C.∀x∈R，|x|＋x2≥0的否定是∃x0∈R，|x0|＋x20<0.故选C.

2．命题“存在x0∈R，使得e x0≤0”的否定是()

A．不存在x0∈R，使得e x0>0

B．对任意x∈R，e x>0

C．对任意x∈R，e x≤0

D．存在x0∈R，使得e x0>0

解析：选 B.命题“存在x0∈R，使得e x0≤0”的否定是对任意x∈R，e x>0.

3．对下列命题的否定说法错误的是()

A．p：所有质数都是奇数；綈p：存在一个质数不是奇数

B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形

C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形

D．p：∃x0∈R，x20＋x0＋2≤0；綈p：∀x∈R，x2＋x＋2＞0

解析：选 C.“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：所有的三角形都不是正三角形，故选项C错误．4．若存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是()

A．a＜1 B．a≤1

C．－1＜a＜1 D．－1＜a≤1

解析：选A.当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a＜0.当a＞0时，需满足Δ＝4－4a2＞0，得－1＜a＜1，故0＜a＜1，综上所述，实数a的取值范围是a＜1.

5．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“∃x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，使得f(x1)＞f(x2)”为真命题，则下列结论一定正确的是() A．a≥0 B．a＜0

C．b≤0 D．b＞1

解析：选B.函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示．

由图可知f(x)在(－∞，0]上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，所以要满足∃x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，

使得f(x1)＞f(x2)为真命题，则必有a＜0，故选B.

6．命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定是________．

解析：全称命题的否定是特称命题，命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定应为“有些长方体不是四棱柱”．

答案：有些长方体不是四棱柱

7．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________．

解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．

答案：所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0

8．若∃x∈R，x2－ax＋1≤0为假命题，则a的取值范围为________．

解析：∃x∈R，x2－ax＋1≤0为假命题，即对∀x∈R，x2－ax ＋1>0为真命题．

需Δ＝(－a)2－4<0，即a2－4<0，解得－2

答案：(－2，2)

9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定．

(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；

(2)∃x0，y0∈Z，3x0－4y0＝20；

(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；

(4)正数的绝对值是它本身．

解：(1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为∃α0，β0∈R，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.

(2)真命题．命题的否定为∀x，y∈Z，3x－4y≠20.

(3)真命题．命题的否定为在实数范围内，所有的一元二次方程

都有解．

(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为有的正数的绝对值不是它本身．

10．命题p 是“对某些实数x ，有x －a ＞0或x －b ≤0”，其中a 、b 是常数．

(1)写出命题p 的否定；

(2)当a 、b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？

解：(1)命题p 的否定：对任意实数x ，有x －a ≤0且x －b ＞0.

(2)要使命题p 的否定为真，需要使不等式组⎩⎨⎧x －a ≤0，x －b ＞0

的解集不为空集，

通过画数轴可看出，a 、b 应满足的条件是b ＜a .

[B 能力提升]

1．已知命题p ：∀b ∈[0，＋∞)，f (x )＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上为增函数，命题q ：∃x 0∈Z ，使log 2x 0>0，则下列命题为真命题的是( )

A ．(綈p )∨(綈q )

B ．(綈p )∧(綈q )

C ．p ∧(綈q )

D ．p ∨(綈q )

解析：选D.f (x )＝x 2＋bx ＋c ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋b 22＋c －b 24， 对称轴为x ＝－b 2≤0，

所以f (x )在[0，＋∞)上为增函数，命题p 为真命题．

令x 0＝4∈Z ，则log 2 x 0＝2>0，所以命题q 是真命题，綈q 为假命题，p ∨(綈q )为真命题．

2．已知命题p ：“a ＝1”是“∀x >0，x ＋a x ≥2”的充要条件，

命题q ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋3>0.则下列结论中正确的是________．

①命题“p ∧q ”是真命题；

②命题“p ∧(綈q )”是真命题；

③命题“(綈p )∧q ”是真命题；

④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题．

解析：a ＝1⇒x ＋a x ＝x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，