《定积分的简单应用》课件PPT课件

0
1
＝(23x32＋16x2)|10＋(2x－12x2＋16x2)|31
＝23＋16＋(2x－13x2)|31
＝56＋6－13×9－2＋13＝163.
2020/3/24
20
• 解法2：若选积分变量为y，则三个函数分别为 • x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.
• 因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
成图形的面积． [思路点拨] 画出草图，求出直线与抛物线的交点，
转化为定积分的计算问题．
2020/3/24
7
[精解详析] 由yy＝＝x－2－x＋4，2，
得xy＝＝5－，3， 或xy＝＝02，， 所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3，5) 和(2,0)， 设所求图形面积为S，根据图形可得
2020/3/24
17
5、求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围成图形 的面积．
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①曲线 y＝ x，直线 y＝2－x，y＝－13x； ②曲线与直线相交． 解答本题可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积 分区间，然后分段利用公式求解．
2020/3/24
1 3
＝4－ln
3.
Байду номын сангаас
2020/3/24
15
[一点通] 分割型图形面积的求解： （1）通过解方程组求出曲线的交点坐标 （2）将积分区间进行分段 （3）对各个区间分别求面积进而求和（被积函数均 是由图像在上面的函数减去下面的函数）
2020/3/24
16
4．求由曲线y＝x2和直线y＝x及y＝2x所围成的平面图
（2）当f(x) ＜0时，y=f(x)与x=a, y=b和x轴所围
曲边梯形的面积为
b
b
| a f (x)dx | a f (x)dx
2、微积分基本定理内容
2020/3/24
3
二、新课引入
如图． 问题1：图中阴影部分是由哪些曲 线围成？
提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y ＝f(x)和y＝g(x)围成．
问题2：你能求得其面积吗？如何求？
2020/3/24
4
提示：能，先求由 x＝a，x＝b 和 y＝f(x)围成的 曲边梯形面积 S1＝∫baf(x)dx，再求由 x＝a，x＝b 和 y ＝g(x)围成的曲边梯形面积 S2＝∫abg(x)dx，则所求阴 影部分面积为 S1－S2.
2020/3/24
5
三、新课讲解
故A13，3；
2020/3/24
14
由
xy＝1， y＝x，
得
x＝1， y＝1，
或
x＝－1， y＝－1，
(舍去)，故
B(1,1)；
由yy＝＝x3，， 得xy＝＝33，， 故C(3,3)，
1
故所求面积S＝S1＋S2＝
1 3
3－1xdx＋∫13(3－x)dx＝
1
(3x－ln x)
1 3
＋3x－12x2
所以 S＝0－1[(2－y)－(－3y)]dy＋1[(2－y)－y2]dy 0
＝0－1(2＋2y)dy＋1(2－y－y2)dy 0
＝(2y＋y2)|0－1＋(2y－12y2－13y3)|01 ＝－(－2＋1)＋2－12－13＝163.
2020/3/24
21
定积分的简单应用
2020/3/24
1
教学目标：
应用定积分的思想方法，解决一 些简单的诸如求曲边梯形面积、变速 直线运动的路程、变力作功等实际问 题．
2020/3/24
2
一、复习回顾
1、定积分的几何意义
（1）当f(x) ≥0时，
b
a
f表(x示)dx的是y=f(x)与x=a,
x=b和x轴所围曲边梯形的面积。
（一）平面图形的面积
一般地，设由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)
以及直线 x＝a，x＝b 所围成的平面图
形的面积为 S，则
S＝∫baf(x)dx－∫bag(x)dx，f(x)≥g(x)．
解题关键是根据图形确定被积函数
2020/3以/24 及积分上、下限．
6
考点一：求平面图形的面积
[例1] 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围
形的面积．
解：由yy＝ ＝xx2，，得A(1，1)，
由
y＝x2， y＝2x，
得B(2，4)，如图所示所求面
积为S＝∫102xdx－∫10xdx＋∫212xdx－∫21x2dx
＝∫10(2x－x)dx＋∫21(2x－x2)dx
＝∫10xdx＋∫21(2x－x2)dx
＝12x2|10＋x2－13x3|21＝76.
18
[解析] 解法 1：画出草图，如图所示．
解方程组yx＝ ＋y＝x 2 ，
y＝ x
x＋y＝2
y＝－13x 及y＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，
(3，－1)．
2020/3/24
19
所以 S＝1[
x－(－13x)]dx＋3[(2－x)－(－13x)]dx
0
1
＝1(
x＋13x)dx＋3(2－x＋13x)dx
2020/3/24
10
1．(2011·湖南高考)由直线 x＝－π3，x＝π3，y＝0 与曲线
y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为
()
1 A.2
B．1
3
C解. 析2 ：结合函数图像可得所D.求3的面积是定积分
3 - 3
cos xdx＝sin x
3 -
3
＝ 23－－ 23＝
3.
答案：D
2020/3/24
2020/3/24
8
S＝2－3 (－x＋2)dx－2－3 (x2－4)dx ＝2x－12x2 |2－3－13x3－4x |－2 3 ＝225－－235＝1265.
2020/3/24
9
[一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②求交点，确定积分上、下限； ③确定被积函数； ④将面积用定积分表示； ⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．
的面积． [思路点拨] 作出直线和曲线的草图，可将所求图
形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积 分来求解，注意确定积分的上、下限．
2020/3/24
13
[精解详析] 作出曲线xy＝1，直线x ＝y，y＝3的草图，所求面积为图中阴影 部分的面积．
求交点坐标：由xy＝ y＝31，，
得x＝13， y＝3，
11
2．求y＝－x2与y＝x－2围成图形的面积S.
解：如图，由yy＝ ＝－ x－x22， 得交点A(－2，－4)，
B(1，－1)．
∴围成图形(阴影部分)面积为
S＝∫－1 2(－x2－x＋2)dx
＝－13x3－12x2＋2x|
1 －2
＝92.
2020/3/24
12
3、求由曲线xy＝1及直线x＝y，y＝3所围成平面图形