理论力学拉格朗日方程

在理想约束的条件下，质点系的各质点在任一瞬时受到的 主动力与惯性力在任意虚位移上所作的虚功之和为零。
例1 三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于光
滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为 。试求三
棱柱A的加速度。
解：研究两三棱柱组 成的系统。该系统受理想 约束，具有两个自由度。
QA Ma QB QBe QBr QBe ma,QBr mar
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系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为 重力势能零点）
U1 2k2 xm 2gclo s
拉格朗日函数：
L T U
1 2(m 1 m 2)x 21 2m 2l22 m 2x lco s 1 2k2 x m 2gclos L x (m 1 m 2)x m 2l co ,s L x kx
q L r q r(T U ) q T r P r C(常 ) 数
Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。 保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。
能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一 次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。
一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止 一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分。
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L T U
1 2(m 1 m 2)x 21 2m 2l22 m 2x lco s 1 2k2 x m 2gclos L x (m 1 m 2)x m 2l co ,s L x kx
d d tL x (m 1m2)xm2lco sm2l2sin
L m2l2m2x lcos, Lm2x lsinm2gslin
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[例 3] 楔形体重P，斜面倾角，置于光滑水平面上。均
质圆柱体重Q，半径为 r ，在楔形体的斜面上只滚不滑。初始 系统静止，且圆柱体位于斜面最高点。试求：(1)系统的运动 微分方程；(2)楔形体的加速度；(3)系统的能量积分与循环积 分解。：研究楔形体与圆柱体组成 的系统。系统受理想、完整、 定常约束，具有两个自由度。 取广义坐标为x, s ；各坐标原 点均在初始位置。
3
§17-1 动力学普遍方程
设质点系有n个质点，第i个质点 M i:m i,F i,N i,a i;Q i m ia i
FiNiQi0
若质点系受有理想约束，将 Q i 作为主动力处理，则：
(F i Q i)ri 0
解析式： [ X i m i ( x i ) x i ( Y i m i y i ) y i ( Z i m i z i ) z i ] 0 动力学普遍方程。 4
二、循环积分
如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标 qr , 则该坐标 称为保守系统的循环坐标或可遗坐标。
当 qr (rk) 为系统的循环坐标时，必有
L qr
0
于是拉氏方程成为
d d(t q L r) q L r0
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积分得：
q L r C(常 )数 (r k) 循环积分
因L = T - U，而U中不显含 qr ，故上式可写成
ddt[qj ( in112mivi2)]qj ( in112mivi2)
ddtqTj
T qj
代入 (f )式, 得:
d d q T tj q T j Q j (j 1 ,,2 k ),
拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。
11
如果作用于质点系的力是有势力，则广义力Q j 可用质点系的势
保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循 环积分。 一、能量积分
设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数L = T - U 中不显含t ，则
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ddL t jk1qLjqj jk1qLjq j d d(t jk1qLjqj) jk1(d d tqLj qLj )qj
0 d d(t jk 1 q Ljq jL)0
故： (2P93 Q M )R (r)2g2t
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[例2] 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光 滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为 m2 ，试列出该系统的运动微分方程。
解：将弹簧力计入主 动力，则系统成为具 有完整、理想约束的 二自由度系统。保守
系统。取x , 为广义
解：图示机构只有一个自由度 所受约束皆为完整、理想、定常的，
可取OA杆转角 为广义坐标。
vA(Rr)
A
vA r
Rrr
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T1 2IO21 2Q gvA 21 2IAA 2 1 21 3P g(Rr)221 2Q g(Rr)221 21 2Q gr2(Rr2r)22 12P9Q(Rr)22
12 g
W() M
1
本章在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，进一步导 出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日 方程）。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问 题的有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显 得十分简捷、规范。
2
第十七章 拉格朗日方程 §17–1 动力学普遍方程 §17–2 拉格朗日第二类方程 §17–3 拉格朗日第二类方程的积分
( e )
n
则 (F im iai)
i 1
ri jk 1 Q j qj i n1m iai( jk 1 q rij
ห้องสมุดไป่ตู้qj)
jk 1 (Q j i n1m id d vit q rij)qj0
Q j i n 1 m id d v i q tr ij 0(j 1 ,2 ,k ) (f)
jk1qLjqj LC(常数 ) 广义能量积分。
保守系统的拉格朗日函数不显含时间t 时，保守系统的广 义能量守恒。可以证明，当系统约束为定常时，上式为
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jk 1 q L jq j L 2 T (T U ) T U C(常 ) 数 系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式。
d d(t L )m2l2m2xlco sm2x lsin
代入：
d d(t q Lj) q Lj0 (j1, 2,k,) 并适当化简得：
(m 1m2)xm2lco sm 2l2sinkx 0 xcoslgsin0
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( m 1 m 2 ) x m 2 l c o m 2 l s 2 si k n 0 x x co l s g si 0 n
系统的运动微分方程。
若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 <<1o,
cos 1, sin ，略去二阶以上无穷小量，则
(m 1m 2)x m 2 l k x0 x l g 0
上式为系统在平衡位置(x =0, =0)附近微幅运动的微分方程。
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§17-3 拉格朗日第二类方程的积分
对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式 的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一 步简化。
1 P Q x 2 3 Q s 2 Q x s co 1 P s Q h s s (h i r n co ) ( s c ) 2g 4 g g 3 27
代入保守系统拉氏方程，并适当化简，得到系统的运动微分 方程。
(P Q )x Q sc o 0 s 3 s 2x c o 2 sgsin （d）
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系统的动能：
T1Px 21Q (x 2s22x sco ) s11Q r2(s)2
2g 2g
22g r
1PQ x 23Qs2Q x sco s(a)
2 g 4g g
系统的势能：
取水平面为重力势能零点。
U 1 3 P Q h (h s si n r co )(b s )
拉格朗日函数：
L T U
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由动力学普遍方程： ( Q A Q B e Q B r c ) x A o ( Q B e c s Q s o Q B r i ) s s B n 0 系统为二自由度，取互不相关的 xA,sB为独立虚位移， 且 Qmg ，所以
M a ma mrcao s0 mcao smsgin mr a0
广义惯性力
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广义惯性力可改变为用质点系的动能表示 , 因此
i n 1 m id d v i q r t i j i n 1 m id d ( v i t q r i j) i n 1 m iv id d ( q r i t j)
为简化计算 , 需要用到以下两个关系式：
q rij q v ij ;
能来表达。
n
Qj (Xi
i1
xi qj
Yi qyij
Zi
zi qj
)
(j1,2 ,,k)
in1(U xi qxij
Uyi yi qj
Uzi zi qj
)
Qj qUj (j1,2 ,,k) 而拉氏方程为： d d q T tj q T j q U j (j 1 ,,k 2 ),
引入拉格朗日函数：L=T-U 则：
Q W () M
T
1 6
2P9Q(Rr)2
g
;
d T
dt
16
2P9Q(Rr)2
g
;
T
0
15
代入拉氏方程：
12P9Q(Rr)2 0M
6g
6M (2P9Q)(Rr)2
g
积分，得：
(2 P 9 3 Q M )R ( r )2g2 tC 1 t C 2
代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 1 C C 2 0
d d( tq L j) q L j 0 (j 1 ,,2 k ),
保守系统的拉格朗日方程。 12
应用拉氏方程解题的步骤：
1. 判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
2. 计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。 3. 计算广义力 Q j (j 1 ,,2 k)，,计算公式为：
解得：
a2(M msm is2ni2n)g
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§17-2 拉格朗日第二类方程
下面推导以广义坐标表示的动力学普遍方程的形式。
设质点系有n个质点，受s个完整约束且系统所受的约束是 理想约束，自由度 k=3n- s 。
质点 Mi:mi ,ri 。若取系统的一组广义坐标为 q1,q2, qk，则
riri(q1,q2, qk,t) (i1,2, n)
坐标，x 轴 原点位于 弹簧自然长度位置，
逆时针转向为正。
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vB2 (xlcos )2 (lsin )2 x 2 l 2 2 2xlcos
系统动能：
T 1 2 m 1 x 2 1 2 m 2 v B 2 1 2 m 1 x 2 1 2 m 2 (x 2 l22 2 x lco ) 1 2 (m 1 m 2 )x 2 1 2 m 2 l22 m 2 x lcos
( a)
vid dri t jk 1 q rijq j rti (i1,2 n) (b)
称
q j
dqj dt
为广义速度。
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ri jk 1 q rijqj (i 1 ,2, n)
代入质点系动力学普遍方程，得：
( c)
n
n
n
( F i m ia i)r i F ir i m ia ir i 0( d )
解得楔形体的加速度为
d ri vi d q tj qj
下面来推导这两个关系式：
第一式只须将(b)式两边对 q j 求偏导数即可得到。
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第二式可比较(a)式先对ql求偏导数 再对t求导数与(b)式对 ql求偏导数的结论得出。
in1mi ddvitqrij
in1mi ddt(vi
qrij
n
)mivi
i1
vi qj
Q j i n 1 (X i q x ij Y i q y ij Z i q zij) 或 Qj Wq(jj)
若主动力为有势力，须将势能U表示为广义坐标的函数。 4. 建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。 5. 求出上述一组微分方程的积分。
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[例1] 水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA：重P， 可绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径 r ，沿半径为R的固 定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。 系杆OA受大小不变力偶M作用后，求系杆OA的运动方程。
i 1
i 1
i 1
in1Firi in1Fi( jk1qrij
qj
kn
)(Fi
j1 i1
ri qj
)qj
kn
[(Xi
j1 i1
xi qj
Yi qyij
Zi
zi qj
)]qj
k
Qjqj
j1
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称 Q j i n 1 (X i q x ij Y i q y ij Z i q z ij)为广义力