三种经典的车桥耦合动力模型

y x, t i x i t
i 1

简支梁的第 n 阶振型可表示为：
n x sin
解n n t n n t
2P t n vt sin mL L
x vt
d 2 y x, t Kv yv t y x, t dt 2
x vt


P x, t 作用下简支桥梁的动力平衡方程为：
EI 4 y x, t 2 y x, t y x, t m c x vt P x, t 4 2 x t t
i 1
i t Cv i cos iti t 0 Cv sin it
i 1 i 1


移动质量弹簧系统作用在简支梁上的荷载 P x, t 为：
P x, t M w g M v g M w dy x, t v t Cv y dt

w v g sin nt 其中 w
i 1
2M w 2M v 2Kv 2C ， v ， k ， c v 。 mL mL mL mL
M v yv t K v yv t y x , t
x vt
dy x, t v t Cv y dt
x vt
0
由振型分解法上式可改写为：
v t K v yv t K v sin iti t M v yv t Cv y
n t sin nt sin it i t 2 nn n t 2 sin nt i cos it i t
i 1 i 1 2 n n t 2 sin nt i 2 sin iti t g sin nt i 1
vt 距离。由小变形假设，简支桥梁在荷载 P(t) 的作用下的动力平衡方程为：
EI 4 y x, t 2 y x, t y x, t m c x vt P t 4 2 x t t
其中， y x, t 表示梁的振动挠度， c 为阻尼系数， 为 Dirac 函数。其中边界条 件和初始条件分别如下两式：
则简支梁所受作用力 P x, t 为：
2 y x, t 2 y x , t 2 2 y x, t v P x, t Mg M 2 v 2 t x t x 2
其中三项微分项分别表示质量块移动到达位置梁结构振动的竖向加速度、 质 量块移动引起的使得梁结构竖向加速度变化的竖向加速度、 梁结构振动过程中产 生曲率使得质量块在曲线上运动的离心加速度。 简支梁在集中质量作用下的动力平衡方程为：
n 1, 2,3,..., N
其中 n 为第 n 阶模态阻尼比， 由静止初始条件， 则不考虑阻尼影响时上式的解为：
n t
n 其中， n L
2
2P 1 sin nt n sin n t 2 2 mL n n n
y 0, t 0 y L, t 0 2 EI y 0, t 0 2 x 2 y EI 2 L, t 0 x
y x, 0 0 dy x, 0 0 dt
根据振型分解法，梁强迫振动的动位移 y x, t 可表示为：
EI n v 为简支梁的第 n 阶自振圆频率， n 可认为是移动 m L
力的激励频率。 取 N 阶振型，则梁在移动力作用下的动力反应可用下式表示：
y x, t 2P N 1 n x sin nt n sin n t sin 2 2 mL n 1 n n L n
w 2 sin nt i 2 sin iti t k sin nt sin iti t
i 1 i 1


v t c sin nt i cos iti t k sin nt yv t c sin nt y
将上式乘以 n x 后沿梁长积分，利用振型的正交性特性并整理后，则可得 到第 n 阶振型的振动方程如下：
2 n t 2nn n t n n t
2 L x vt P x, t n x dx mL 0
积分后可得：
2. 移动质量模型下的桥梁振动响应
移动质量 M 在简支梁上匀速通过的某一时刻 t ， 移动质量对梁的作用力等于 移动质量重力减去其惯性力。一般假定移动质量与梁体在运动过程中不分离。假 定质量块的竖向位移为 yM t ，则简支梁所受到的作用力可表示为：
d 2 yM t P x, t Mg M dt 2
三种经典的车桥耦合动力模型
1. 移动力模型下的桥梁振动响应 当车辆质量远小于桥梁结构质量时， 常忽略车辆的质量把车辆模型简化为移 动荷载。当主要关注桥梁的振动响应时，采用移动力假定一般可求得振动反应的 解析解。一般假设简支梁为等截面即 EI 为常量，质量分布均匀单位长度梁的质 量 m 为不变量，阻尼假设为粘滞阻尼。如上图中，力 P(t) 以速度 v 在梁上移动， 时间 t 0 时的初始时刻，力 P(t) 位于左支座处，在时间 t 时刻， P(t) 向右移动了
4 y x, t 2 y x, t y x, t EI m c x vt P x, t x 4 x 2 x
采用振型分解法求解，有：
d 4i x i t x vt P x, t EI i t m i x i t c i x dx 4 i 1 i 1 i 1
由振型分解法可得 n 阶振型方程：
n t w sin nt sin it i t 2 nn n t
i 1 2 i t c sin nt sin it i t n 2 w sin nt i cos it n t i 1 i 1
3. 移动弹簧质量模型下的桥梁振动响应 实际车辆都配备有弹簧减振装置， 这不仅有助于降低移动车辆对桥梁的冲击， 也有助于改善车辆自身动力性能。移动车辆可以简化成移动质量弹簧系统，由移 动车轮质量 M w 、车体质量即簧上质量 M v 、弹簧 K v 和阻尼器 Cv 组成。 设簧上质量 M v 竖向位移为 yv t ，则其动力平衡方程为：
设简支梁竖向位移为 y x, t 有：
y M t y x, t
x vt
y vt , t
则：
y x, t dyM t y x, t v t x dt
d 2 y M t 2 y x, t 2 y x, t 2 2 y x, t 2v v dt 2 t 2 xt x 2