2 换底公式

4.2 换底公式
积、商、幂对数的运算法则 如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则：
(1) log a (MN) log a M log a N;
(2) log a Mn n log a M(n R)；
(3)
loga
M N
=
log a M -
log a N.
底数都 相同
问题1: 使用对数的运算法则 运算的前提条件是“同底”， 如果底不同怎么办？ 问题2: 科学计算器通常只能 对常用对数或自然对数进行 计算，怎么计算log215？
解：
(1)
log927
=
log3 27 log3 9
=
3 2
;
(2)
log8
9×log2732
=
lg9×lg32 lg8 lg27
= 2lg3g5lg2 = 10 . 3lg2 3lg3 9
【提升总结】 换底公式的应用： 1.化简：把对数式的底数改变，化为同底数问题， 利用运算法则进行化简与求值； 2.求值：在实际问题中，把底数换成10或e,可利用 计算器或对数表得到结果.
知识应用 例3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过 一年剩留的质量约是原来的84%,估计约经过多少年， 该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个 有效数字）.
解：设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y,则 经过1年，剩留量是y=0.84; 经过2年，剩留量是y=0.842; …… 经过x年，剩留量是y=0.84x;
互为倒数
思考2: logan N 与 loga N 有什么关系？
logan N
=
lgN lgan
=
lgN nlga
=
1 n
logaN
logan
N
1 n
loga
N
知识深化 两个推论:
设a,b>0且均不为1,则
(1) loga b logb a 1
(2)
logam
bn
n m loga
b
真数中的指数放于 分子中,底数中的 指数放于分母中
探究一: 设 x log2 15, 写成指数式，得 2x =15 两边 取对数,得 lg 2x lg15
所以 x lg15 lg 2
探究二:
假设 lg15 x ,则
lg 2
lg15 x lg 2 lg 2x ，从而有 2x 15 .
进一步可得到什么结论？
x
log
2
15,即
lg15 lg 2
1. 对数的换底公式
logb
N
loga loga
N b
(a, b
0,
a,
b
1,
N
0)
2. 两个重要推论
(1) loga b logb a 1
(2)
logam
bn
n m
loga
b
为你的终极目标而努力，你内在的意念是 外在事物成功的关键，专注在目标上，全神贯 注，你才会所向披靡。
2.计算 log5 2 log49 81的值.
log25
1 3
log7
3
4
解：原式
=
-
1 2
log52×log7
9
1 2
log53×31
log7
4
=
-
lg2×2lg3 lg5 lg7 lg3×1×2lg2 lg5 3 lg7
=
-3.
3.根据建设有中国特色的社会主义的战略方针，我国工农业总 产值从 2010 年到 2030 年经过 20 年将要翻两番，问平均增长 率至少应为多少？(lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg1.072＝0.0301)
【变式练习】
计算：
log2
1 125
log3
1 32
log5
1 3
解:
log
2
1 125
log3
1 32
log5
1 3
3log2 5 (5log3 2) ( log5 3)
3 lg 5 (5) lg 2 (1) lg 3 15 lg 2 lg 3 lg 5
例2：用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）： log248；log310；log8π；log550；log1.0822. 解：log248≈5.585； log310≈2.096； log8π≈0.550； log550≈2.431； log1.0822≈8.795.
解：设 2010 年总产值为 a，平均增长率为 x，由题意，得 a(1＋x)20＝4a，即(1＋x)20＝4，
将上式化为对数式得 lg(1＋x)20＝lg4， 即 20lg(1＋x)＝2lg2＝0.6020. 所以 lg(1＋x)＝0.0301＝lg1.072. 所以 1＋x＝1.072，即 x＝0.072. 故平均增长率至少应为 7.2%.
log2 15
探究三:
一般地，如果a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0，
那么 logc b 与哪个对数相等？并给出证明.
logc a
解析：logc logc
b a
loga
b
证明:
令
logc logc
b a
x
logc
b
x logc
a
logc b logc ax b ax x loga b
依题意得 0.84x=0.5,
ln 0.5
x=
log0.84 0.5 =
? ln 0.84
3.98
即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半.
1. 求值
(1) log2 25 log3 4 log5 9 ___8____
5
(2)(log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2) __4_
利用换底公式证明：
loga b logb c logc a 1(a 0, b 0,c 0,a 1, b 1,c 1)
证明：
loga
b logb c logc a
lg b lg c lg a lg a lg b lg c
1
例题讲解 例1.计算：
(1) log9 27
(2) log8 9 log27 32
logc logc
b a
loga
b
换底公式
logb
N
Baidu Nhomakorabea
loga loga
N b
(a,
b
0,
a,
b
1,
N
0)
换底公式不难记，
一数等于两数比.
相对位置不改变，
新的底数可随意. （非1的正数）
知识探究
思考1: loga b 与 logb a有什么关系？
loga
b=
lg lg
b a
log b
a
lg a lg b