数学中考专题《存在性问题》

2017年数学中考专题《存在性问题》

题型概述

【题型特征】存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高.存在性问题按定性可分为:肯定型和否定型.存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能要求较高，并具备较强的探索性.正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验.

【解题策略】不同的存在性问题解法不同.下面按照解法及设问方式的不同将存在性问题分为代数方面的存在性问题(如方程根是否存在、最值是否存在等)、点的存在性问题(如构成特殊图形的点是否存在)并举例分析.

(1)代数方面的存在性问题的解法思路是:将问题看成求解题，进行求解，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决此类问题的主要方法.

(2)点的存在性问题的解法思路是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断;若导出矛盾，就做出不存在的判断.

真题精讲

类型一 代数方面的存在性问题

典例1 (2016·广东梅州)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++过,,A B C 三点，点A 的坐标是(3,0)，点C 的坐标是(0，－3)，动点P 在抛物线上.

(1)b = ，c = ，点B 的坐标为 ;(直接填写结果)

(2)是否存在点P ，使得ACP ∆是以AC 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在，说明理由;

(3)过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ,过点D 作x 轴的垂线.垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标.

【解析】二次函数的图象及其性质，三角形中位线定理，应用数学知识综合解决问题的能力.

【全解】(1)－2 －3 (－1,0)

(2)存在.

第一种情况，当以C 为直角顶点时，过点C 作1CP AC ⊥,交抛物线于点1P .过点1P 作y 轴的垂线，垂足是M .如图(1)，

,90OA OC AOC =∠=︒，

45OCA OAC ∴∠=∠=︒.

190ACP ∠=︒,

11

904545MCP CPM ∴∠=︒-︒=︒=∠. 1MC MP ∴=.

由(1)可得抛物线为2

23y x x =--.

设21(,23)P m m m --，则23(23)m m m =----， 解得10m =(舍去)，21m =.

2234m m ∴--=-.

则1P 的坐标是(1，－4).

第二种情况，当以A 为直角顶点时，过点A 作2AP AC ⊥,交抛物线于点2P ，过点2P 作y 轴的垂线，垂足是2,N AP 交y 轴于点F .如图(2)

2//P N x ∴轴.

由45CAO ∠=︒,

245OAP ∴∠=︒.

245,3FP N AO OF ∴∠=︒==.

2P N NF ∴=.

设21

(,23)P n n n --，则2(23)3n n n -=---. 解得13n =(舍去),22n =-.

2235n n ∴--=,

则2P 的坐标是(－2,5).

综上所述，P 的坐标是(1,－4)或(－2,5).

(3)连接OD ，由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD EF =.

根据垂线段最短，可得当OD AC ⊥时，OD 最短，即EF 最短.由(1)可知，在Rt AOC ∆中，

3,OC OA OD AC ==⊥，

D ∴是AC 的中点.

又//DF OC ,

1322

DF OC ∴==. ∴点P 的纵坐标是32-

. 则23232

x x --=-， 解得2102

x ±=. ∴当EF 最短时，点P 的坐标是2103(

,)22+-或2103(,)22--.

1. (2015·山东烟台)如图，点(,6),(,1)A m B n 在反比例函数图象上，AD x ⊥轴于点,D BC x ⊥轴于点,5C DC =.

(1)求,m n 的值并写出反比例函数的解析式;

(2)连接AB ，在线段DC 上是否存在一点E ，

使ABE ∆的面积等于5?若存在，求出点E

的坐标;若不存在，请说明理由.

2. (2016·湖南张家界)已知抛物线2

(1)3(0)y a x a =--≠的图象与y 轴交于点(0,2)A -，顶点为B .

(1)试确定a 的值，并写出B 点的坐标;

(2)若一次函数的图象经过,A B 两点，试写出一次函数的解析式;

(3)试在x 轴上求一点P ，使得PAB ∆的周长取最小值;

(4)若将抛物线平移(0)m m ≠个单位，所得新抛物线的顶点记作C ，与原抛物线的交点记

作D ，问:点,,O C D 能否在同一条直线上?若能，请求出m 的值;若不能，请说明理由.

【考情小结】考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换(平移，对称)、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称—最短路线问题等知识点，还考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，难度较大.

类型二 点的存在性问题

典例2 (2016·黑龙江大庆)若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，

抛物线211:242C y x x =-++与222:C u x mx n =-++为“友好抛物线”

(1)求抛物线2C 的解析式.

(2)点A 是抛物线2C 上在第一象限的动点，过A 作AQ x ⊥轴，Q 为垂足，求AQ OQ +的最大值.

(3)设抛物线2C 的顶点为C ，点B 的坐标为(－1,4)，问在2C 的对称轴上是否存在点M ，使线段MB 绕点M 逆时针旋转90︒得到线段MB '，且点B '恰好落在抛物线2C 上?若存在求出点M 的坐标，不存在说明理由.