变换域数字水印算法研究现状及展望
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23~25. [4] 刘锋《. 数学建模》课程的建设与实践[J].江苏技术师范学院学报，
2004(2):45~46. [5] 刘中全.关于数学教育改革的一些思考[J].工科数学,2001(1):63~
64. [6] 焦曙光.以数学建模竞赛推动高等数学教学内容的改革[J],彭城
职业大学学报,2002(3):78~79. [7] 蒙丽艳.数学建模对高等数学教育的影响与意义[J].科学教育家,
培训班，经过一个月的集训，再度选拔参加全国大学生数学
高等数学的教学中处处闪烁着数学建模思想的火花， 建模竞赛的选手。在我们的努力下，不仅每年都有学生获得
从极限概念、函数连续性、导数、定积分等微积分中最基本、 建模竞赛名次，而且学生对数学科目的学习热情一年比一
最重要概念产生的历史来看，数学建模思想无一例外地渗 年高涨，数学科目的成绩也是逐年提升，每年都有大量学生
2 变换域数字水印算法研究现状
变换域数字水印算法中常用的变换包括离散傅里叶变 换(DFT)、离散余弦变换(DCT)、离散小波变换(DWT)、奇异值 分解 (SVD)、哈达马变换、傅里叶 - 梅林变换、小波包变换、 分数阶傅里叶变换（FRFT）以及近几年才发展起来的提升小 波（第二代小波）变换、多尺度几何分析变换等。以下介绍最 常用的几种变换。 2.1 离散余弦变换(DCT)域水印算法
那里学到应用数学解决实际问题的意识和能力，有利于学 生创新能力的培养。
我校是以生物学科为主体，兼顾其他学科的普通本科 院校。这些学科涉及园林植被规划、生态环境监测、生物繁 衍统计预测、基因序列比对、金融投资决策、企业管理运筹 等应用问题。如何使学生掌握解决这些应用问题的数学方 法，是值得深入思考的。庆幸的是这些问题也正是数学建模 竞赛常常所涉及的，也就使得它们构成了数学建模教学案 例的主要教学内容。
编辑 黄严磊
７４
参考文献 [1] 叶其孝.把数学建模、数学实验的思想和方法融入高等数学课的
教学中去[J].工程数学学报,2003(8):3~13. [2] 黄敬频.浅谈数学建模思想在数学分析教学中的渗透[J].广西大
学学报,2003(1O):10~11. [3] 乐励华.数学建模的教学模式的研究与实践[J].工科数学,2002(6):
另外，随着数字信号处理技术的发展，还会有新的变换 方法不断被提出，只要构成一种信号变换，就有可能在这种
参考文献 [1] 孙圣和,陆哲明,牛夏牧,等.数字水印技术及应用[M].北京:科学出
版社,2004. [2] Candes.E J，Demanet L，Donoho D L，et a1.Fast Discrete Curvelet
Contourlet 变换较之 DCT、DWT 等对自然图像尤其是纹 （下转第 74 页） ６７
理工
2 0 1 0. 1 1 （ 下 旬 刊）
心灵，促使他们更好地应用数学、品味数学、理解数学和热 模概论、运筹学、数值计算、最优化方法、统计学、“十大算
爱数学，在知识、能力及素质三方面迅速地成长。可以毫不 法”和数学软件等课程的教学。同时，通过积极筹建数学建
透于其中。这就是说，它能还数学知识源于生活的本来面 目。我们在教学中结合教学内容，譬如用类似于上述生动的 例子，介绍数学家当初是如何发现该问题，又是如何在前人 研究的基础上，采用什么数学模型去解决该问题的。这样能 够使学生从教学中接触数学的一些实际问题，从数学家们
通过研究生入学考试。2010 年更有一位非数学专业的学生 以 370 分的高分考入中山大学数学专业。虽然成绩喜人，但 与全国重点院校相比还有很大差距，还需要我们进一步努 力，对今后数学建模和数学教学改革认真思考，积极探索。
关键词 变换域 数字水印 现状 多尺度 曲波
1 引言
自 Tirkle 等人提出数字水印的概念以来，经过十几年的 发展，数字水印技术取得了很大的进步，每年都有大量新的 数字水印算法提出。现有的数字水印算法基本上可以分为 两大类，即空域数字水印算法和变换域数字水印算法。
空域数字水印算法复杂度较低，运算速度快，但是对于 各种常见图像处理的鲁棒性不好，因此只适于脆弱和半脆 弱水印。相对于空域水印，变换域数字水印具有以下突出的 优点：可以方便地把人类视觉系统 （Human Visual System- HVS）的某些特性结合到水印算法中；与现有的压缩算 法兼容，因而对压缩攻击的鲁棒性很好；水印信号可分布到 空域的所有像素上，易于保证水印的不可见性。另外像压缩 域、生理模型、NEC、神经网络等数字水印算法实际上不能离 开变换域算法而独立存在，因此也可以归入变换域数字水 印算法。目前变换域鲁棒数字水印的研究已经成为了数字 水印研究的主流，如维普资讯收录的国内核心刊物 2008- 2009 年发表的数字水印论文高达 300 余篇，CNKI 收 录的 2009 年数字水印相关硕士论文近 200 篇，其中绝大部 分采用了变换域算法。
将原始图像进行奇异值分解，然后将水印信息嵌入较 大的奇异值中。 2.5 多尺度几何分析变换域水印算法
小波主要适合表示一维奇异性的对象，为了更好地处理 高维奇异性，多尺度几何分析应运而生。它的产生符合人类 视觉对图像有效表示的要求，即局部性、方向性和多尺度性。 目前，已有的多尺度几何分析方法有 Candes 等人提出的脊波 变换、单尺度脊波变换、Curvelet 变换，E. Le Pennec 等人提出 的 Bandelet 变换，以及 M.N.Do 等人提出的 Contourlet 变换， David Donoho 提出的 Wedgelet、Beamlet 变换等。以下介绍已 应用于数字水印领域的几种多尺度几何分析变换。 2.5.1 脊波变换（Ridgelet transform）
我校开展数学建模活动始于 2003 年，几年来在校领导 的支持和关心下，数学教研室一直很重视这项活动的开展。 2007 年我们成立了“武汉生物工程学院数学建模指导小组”， 由系主任亲自担任组长。我们深知教师是教学工作的主导， 一个基本功扎实、富有开拓精神、年富力强的教师团队是教 学改革的基本保障，所以鼓励教学名师和优秀青年教师加
Transforms[R]．Applied and Computational Mathematic California Institute of Technology,2005:1~43． [3] 张西宁.抗几何攻击的数字水印算法研究[D].西安:西北大学, 2009. [4] 段贵多,李建平，黄添喜.图像的多尺度几何分析概述[J].计算机 应用研究,2007,24(10)：9~14. [5] 王晨毅,王建军.第二代 Curvelet 变换域的信息隐藏方法[J].信息 与电子工程，2008，6（2）：105~110.
夸张地说，数学建模的教学及数学建模竞赛活动是这些年 模基地和数学建模网站，扩大数学建模的影响面，为教师和
来规模最大也最成功的一项数学教学改革实践，是对素质 学生提供一个学习互动的平台，吸引更多学生参加每年春
教育的重要贡献。
季全校性的高等数学竞赛，选拔苗子参加暑期的数学建模
4 加强数学建模建设是促进数学教学改革的手段
正”捕捉二维信号中几何结构的信号表示工具。Contourlet 变 还会不断地发展。
பைடு நூலகம்
换通过采用不可分离的滤波器组对图像进行多尺度、多方
向展开。
3 总结及展望
以上所介绍的各种变换域数字水印算法以离散小波算 法最为有名，它的出现被视为数字水印技术的里程碑。对于 离散小波算法的研究也是最充分的，但在多年的研究以后 离散小波算法也暴露出了它的局限性，较新的研究已经逐 步转向多尺度几何分析变换域水印算法。在几种多尺度几 何分析变换域水印算法中，脊波变换和轮廓波变换方面的 研究相对多一些，而曲波变换方面的研究相对较少。随着第 二代 Curvelet 变换以及两种快速离散算法的提出，相信以后 这方面的研究会逐步增多。
2 0 1 0. 1 1 （ 下 旬 刊）
理工
变换域数字水印算法研究现状及展望
黄昌军
（延安大学西安创新学院 陕西·西安 ７１０１００）
中图分类号：TP309.7
文献标识码：A
文章编号：1672- 7894（2010）33- 067- 02
摘 要 相对于空域算法，变换域数字水印算法有很 多突出的优点，对变换域鲁棒数字水印算法的研究已经成 为了当前数字水印研究的主流。本文对现有的变换域数字 水印算法进行了总结回顾，指出多尺度几何分析变换域水 印算法有望成为未来的研究热点，其中曲波变换域方面的 研究最令人期待。
小波分析是一种时频局部化分析方法，被称为“数学显 微镜”。基于小波变换的数字水印可以抵抗低通滤波和压缩 攻击等常见的攻击手段。小波变换域内的图像处理可以充 分利用人眼的视觉系统特性。
第二代小波继承了第一代小波的优点，但不会引入量 化误差，可无失真地重构图像。另外还可以整数变换，更利 于硬件实现，占用内存少，运算速度更快。 2.4 奇异值分解(S VD)域水印算法
该算法是数字水印的典型代表，多采用分块的方式嵌 入水印。该方法计算量较小且与国际数据压缩标准 JPEG、 MPEG 等兼容，便于在压缩域中实现。
2.2 离散傅里叶变换(DFT)域水印算法 Ruanaidh 等人最先将水印嵌入在 DFT 域中并指出相位
调制可能更适合于鲁棒水印。首先，改变 DFT 后的图像相位 比改变振幅对人的心理视觉影响更大，如果在相位中嵌入 高冗余度的水印，受攻击的图像质量会急剧下降。 2.3 离散小波变换(DWT) 和第二代小波变换域水印算法
脊波变换是 1999 年提出的一种新的稀疏表示方法，可 以有效地处理图像中直线状和超平面状的奇异性。脊波变 换等价于 Radon 变换域的小波分析，可以通过有限 Radon 变换（FRAT）和一维小波变换来数字实现。 2.5.2 曲波变换（Curvelet Transform）
曲波变换是在单尺度脊波变换的基础上发展起来的， 是对曲线奇异的物体的一种非自适应稀疏表示。Curvelet 基 函数可被看做是小波基函数的局部分组到线性结构，因此 它能更有效地捕捉图像的曲线奇异。第一代 Curvelet 变换离 散化困难并且算法冗余度过高。2005 年，Candes 又提出了第 二代 Curvelet 变换以及两种快速离散算法，它完全脱离了 Ridgelet 变换而直接在频域定义，算法更容易理解和实现。 2.5.3 轮廓波变换（Contourlet Transform）
2008(8):233~234.
入指导小组。他们担负着数学建模选修课中的诸如数学建
编辑 黄严磊
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
（上接第 67 页）
理图像具有更优良的稀疏表示，已发展成为一种能够“真 变换域上隐藏水印信号，因此变换域数字水印算法的研究
2004(2):45~46. [5] 刘中全.关于数学教育改革的一些思考[J].工科数学,2001(1):63~
64. [6] 焦曙光.以数学建模竞赛推动高等数学教学内容的改革[J],彭城
职业大学学报,2002(3):78~79. [7] 蒙丽艳.数学建模对高等数学教育的影响与意义[J].科学教育家,
培训班，经过一个月的集训，再度选拔参加全国大学生数学
高等数学的教学中处处闪烁着数学建模思想的火花， 建模竞赛的选手。在我们的努力下，不仅每年都有学生获得
从极限概念、函数连续性、导数、定积分等微积分中最基本、 建模竞赛名次，而且学生对数学科目的学习热情一年比一
最重要概念产生的历史来看，数学建模思想无一例外地渗 年高涨，数学科目的成绩也是逐年提升，每年都有大量学生
2 变换域数字水印算法研究现状
变换域数字水印算法中常用的变换包括离散傅里叶变 换(DFT)、离散余弦变换(DCT)、离散小波变换(DWT)、奇异值 分解 (SVD)、哈达马变换、傅里叶 - 梅林变换、小波包变换、 分数阶傅里叶变换（FRFT）以及近几年才发展起来的提升小 波（第二代小波）变换、多尺度几何分析变换等。以下介绍最 常用的几种变换。 2.1 离散余弦变换(DCT)域水印算法
那里学到应用数学解决实际问题的意识和能力，有利于学 生创新能力的培养。
我校是以生物学科为主体，兼顾其他学科的普通本科 院校。这些学科涉及园林植被规划、生态环境监测、生物繁 衍统计预测、基因序列比对、金融投资决策、企业管理运筹 等应用问题。如何使学生掌握解决这些应用问题的数学方 法，是值得深入思考的。庆幸的是这些问题也正是数学建模 竞赛常常所涉及的，也就使得它们构成了数学建模教学案 例的主要教学内容。
编辑 黄严磊
７４
参考文献 [1] 叶其孝.把数学建模、数学实验的思想和方法融入高等数学课的
教学中去[J].工程数学学报,2003(8):3~13. [2] 黄敬频.浅谈数学建模思想在数学分析教学中的渗透[J].广西大
学学报,2003(1O):10~11. [3] 乐励华.数学建模的教学模式的研究与实践[J].工科数学,2002(6):
另外，随着数字信号处理技术的发展，还会有新的变换 方法不断被提出，只要构成一种信号变换，就有可能在这种
参考文献 [1] 孙圣和,陆哲明,牛夏牧,等.数字水印技术及应用[M].北京:科学出
版社,2004. [2] Candes.E J，Demanet L，Donoho D L，et a1.Fast Discrete Curvelet
Contourlet 变换较之 DCT、DWT 等对自然图像尤其是纹 （下转第 74 页） ６７
理工
2 0 1 0. 1 1 （ 下 旬 刊）
心灵，促使他们更好地应用数学、品味数学、理解数学和热 模概论、运筹学、数值计算、最优化方法、统计学、“十大算
爱数学，在知识、能力及素质三方面迅速地成长。可以毫不 法”和数学软件等课程的教学。同时，通过积极筹建数学建
透于其中。这就是说，它能还数学知识源于生活的本来面 目。我们在教学中结合教学内容，譬如用类似于上述生动的 例子，介绍数学家当初是如何发现该问题，又是如何在前人 研究的基础上，采用什么数学模型去解决该问题的。这样能 够使学生从教学中接触数学的一些实际问题，从数学家们
通过研究生入学考试。2010 年更有一位非数学专业的学生 以 370 分的高分考入中山大学数学专业。虽然成绩喜人，但 与全国重点院校相比还有很大差距，还需要我们进一步努 力，对今后数学建模和数学教学改革认真思考，积极探索。
关键词 变换域 数字水印 现状 多尺度 曲波
1 引言
自 Tirkle 等人提出数字水印的概念以来，经过十几年的 发展，数字水印技术取得了很大的进步，每年都有大量新的 数字水印算法提出。现有的数字水印算法基本上可以分为 两大类，即空域数字水印算法和变换域数字水印算法。
空域数字水印算法复杂度较低，运算速度快，但是对于 各种常见图像处理的鲁棒性不好，因此只适于脆弱和半脆 弱水印。相对于空域水印，变换域数字水印具有以下突出的 优点：可以方便地把人类视觉系统 （Human Visual System- HVS）的某些特性结合到水印算法中；与现有的压缩算 法兼容，因而对压缩攻击的鲁棒性很好；水印信号可分布到 空域的所有像素上，易于保证水印的不可见性。另外像压缩 域、生理模型、NEC、神经网络等数字水印算法实际上不能离 开变换域算法而独立存在，因此也可以归入变换域数字水 印算法。目前变换域鲁棒数字水印的研究已经成为了数字 水印研究的主流，如维普资讯收录的国内核心刊物 2008- 2009 年发表的数字水印论文高达 300 余篇，CNKI 收 录的 2009 年数字水印相关硕士论文近 200 篇，其中绝大部 分采用了变换域算法。
将原始图像进行奇异值分解，然后将水印信息嵌入较 大的奇异值中。 2.5 多尺度几何分析变换域水印算法
小波主要适合表示一维奇异性的对象，为了更好地处理 高维奇异性，多尺度几何分析应运而生。它的产生符合人类 视觉对图像有效表示的要求，即局部性、方向性和多尺度性。 目前，已有的多尺度几何分析方法有 Candes 等人提出的脊波 变换、单尺度脊波变换、Curvelet 变换，E. Le Pennec 等人提出 的 Bandelet 变换，以及 M.N.Do 等人提出的 Contourlet 变换， David Donoho 提出的 Wedgelet、Beamlet 变换等。以下介绍已 应用于数字水印领域的几种多尺度几何分析变换。 2.5.1 脊波变换（Ridgelet transform）
我校开展数学建模活动始于 2003 年，几年来在校领导 的支持和关心下，数学教研室一直很重视这项活动的开展。 2007 年我们成立了“武汉生物工程学院数学建模指导小组”， 由系主任亲自担任组长。我们深知教师是教学工作的主导， 一个基本功扎实、富有开拓精神、年富力强的教师团队是教 学改革的基本保障，所以鼓励教学名师和优秀青年教师加
Transforms[R]．Applied and Computational Mathematic California Institute of Technology,2005:1~43． [3] 张西宁.抗几何攻击的数字水印算法研究[D].西安:西北大学, 2009. [4] 段贵多,李建平，黄添喜.图像的多尺度几何分析概述[J].计算机 应用研究,2007,24(10)：9~14. [5] 王晨毅,王建军.第二代 Curvelet 变换域的信息隐藏方法[J].信息 与电子工程，2008，6（2）：105~110.
夸张地说，数学建模的教学及数学建模竞赛活动是这些年 模基地和数学建模网站，扩大数学建模的影响面，为教师和
来规模最大也最成功的一项数学教学改革实践，是对素质 学生提供一个学习互动的平台，吸引更多学生参加每年春
教育的重要贡献。
季全校性的高等数学竞赛，选拔苗子参加暑期的数学建模
4 加强数学建模建设是促进数学教学改革的手段
正”捕捉二维信号中几何结构的信号表示工具。Contourlet 变 还会不断地发展。
பைடு நூலகம்
换通过采用不可分离的滤波器组对图像进行多尺度、多方
向展开。
3 总结及展望
以上所介绍的各种变换域数字水印算法以离散小波算 法最为有名，它的出现被视为数字水印技术的里程碑。对于 离散小波算法的研究也是最充分的，但在多年的研究以后 离散小波算法也暴露出了它的局限性，较新的研究已经逐 步转向多尺度几何分析变换域水印算法。在几种多尺度几 何分析变换域水印算法中，脊波变换和轮廓波变换方面的 研究相对多一些，而曲波变换方面的研究相对较少。随着第 二代 Curvelet 变换以及两种快速离散算法的提出，相信以后 这方面的研究会逐步增多。
2 0 1 0. 1 1 （ 下 旬 刊）
理工
变换域数字水印算法研究现状及展望
黄昌军
（延安大学西安创新学院 陕西·西安 ７１０１００）
中图分类号：TP309.7
文献标识码：A
文章编号：1672- 7894（2010）33- 067- 02
摘 要 相对于空域算法，变换域数字水印算法有很 多突出的优点，对变换域鲁棒数字水印算法的研究已经成 为了当前数字水印研究的主流。本文对现有的变换域数字 水印算法进行了总结回顾，指出多尺度几何分析变换域水 印算法有望成为未来的研究热点，其中曲波变换域方面的 研究最令人期待。
小波分析是一种时频局部化分析方法，被称为“数学显 微镜”。基于小波变换的数字水印可以抵抗低通滤波和压缩 攻击等常见的攻击手段。小波变换域内的图像处理可以充 分利用人眼的视觉系统特性。
第二代小波继承了第一代小波的优点，但不会引入量 化误差，可无失真地重构图像。另外还可以整数变换，更利 于硬件实现，占用内存少，运算速度更快。 2.4 奇异值分解(S VD)域水印算法
该算法是数字水印的典型代表，多采用分块的方式嵌 入水印。该方法计算量较小且与国际数据压缩标准 JPEG、 MPEG 等兼容，便于在压缩域中实现。
2.2 离散傅里叶变换(DFT)域水印算法 Ruanaidh 等人最先将水印嵌入在 DFT 域中并指出相位
调制可能更适合于鲁棒水印。首先，改变 DFT 后的图像相位 比改变振幅对人的心理视觉影响更大，如果在相位中嵌入 高冗余度的水印，受攻击的图像质量会急剧下降。 2.3 离散小波变换(DWT) 和第二代小波变换域水印算法
脊波变换是 1999 年提出的一种新的稀疏表示方法，可 以有效地处理图像中直线状和超平面状的奇异性。脊波变 换等价于 Radon 变换域的小波分析，可以通过有限 Radon 变换（FRAT）和一维小波变换来数字实现。 2.5.2 曲波变换（Curvelet Transform）
曲波变换是在单尺度脊波变换的基础上发展起来的， 是对曲线奇异的物体的一种非自适应稀疏表示。Curvelet 基 函数可被看做是小波基函数的局部分组到线性结构，因此 它能更有效地捕捉图像的曲线奇异。第一代 Curvelet 变换离 散化困难并且算法冗余度过高。2005 年，Candes 又提出了第 二代 Curvelet 变换以及两种快速离散算法，它完全脱离了 Ridgelet 变换而直接在频域定义，算法更容易理解和实现。 2.5.3 轮廓波变换（Contourlet Transform）
2008(8):233~234.
入指导小组。他们担负着数学建模选修课中的诸如数学建
编辑 黄严磊
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
（上接第 67 页）
理图像具有更优良的稀疏表示，已发展成为一种能够“真 变换域上隐藏水印信号，因此变换域数字水印算法的研究