弹性力学第九章 柱形杆的扭转和弯曲教学文稿

yz
2T πa 3b
x
2 xz
yz2
2T πab
x2 y2 a4 b4
最大切应力
max
2T πab2
,
横截面翘曲
w
(x,
y)
T
a2 b2 πGa 3b3
xy
min
2T πa 2b
§９-５ 带半圆槽的圆截面杆的扭转
半径为a的圆截面杆，具有半径为b的半圆键槽，求扭转 应力。
半径为b的半圆键槽方程为 (r 2 b2) 0
§9.1 扭转问题的位移解法----圣维南扭转 函数
柱体扭转
横截面翘曲
自由扭转——横截面翘曲变形不受限制
约束扭转——横截面翘曲变形受到限制 弹性力学讨论自由扭转
柱体自由扭转位移解法
自由扭转的位移
1. 2.翘曲假设
u yz v xz w (x, y)
位移解法基本方程
设单位长度相对
扭转角为 z
max
2T
ab2
最小剪应力发生在长半轴的两端
min
2T
a 2b
O
x
y
3. 求位移分量
将
(a2 b2 )T
a3b3G
代入式(9-1a)，得
u
(a2 b2 )T
a3b3G
yz
v
(a2 b2 )T
a3b3G
xz
翘曲位移为
w
(a2 b2 )T
a3b3G
xy
扭转应力
xz
2T πab3
y,
(d)
因为 得
x
2dxdy
a3b
4
,
y
2dxdy
ab3
4
,
(a2 b2 )T a3b3G
dxdy ab
(e)
2.求应力分量
将式(c),（e）代入式（9-7），
得
zx
2T
ab3
y,
zy
2T
a3b
x
截面上任一点的合剪应力为
1
2 zx
2 zy
2T
ab
x2 a2
y2 b2
2
最大剪应力发生在短半轴的两端
m1 2
直角坐标系下的应力函数为 :
1 2
(x2
y2
b2 )1
2ax x2 y2
zx G 1
2ab2 x x2 y2
2
y
zy
G x a
ab2 (x2 y2 )
x2 y2 2
最大剪应力在A点，A（b，0)，得
zx A 0
zy
A
max
2Ga1
z dx
O dy
y
x T
a
b
dx
dy
d
c
微单元在Oz轴方向的平衡：
各边的拉力及其在Oz轴上的投影：
边 拉力
投影
ad Tdy bc Tdy ab Tdx dc Tdx
Tdy z x
Tdy
z x
2z x2
dx
Tdx z y
Tdx
z y
2z y 2
dy
压力在Oz轴上的投影为 qdxdy
T
a
b dx
dy
2 2 2 0
x2 y2
(9 2) Laplace方程 调和函数
柱体扭转边界条件
侧面边界条件
d yl xm
dn
(9 4)
y
端面边界条件
T GD (9 5)
x
柱体的自由扭转的位移解法，归结为在边界 条件（9-4）下求解方程（9-2）。
§9.2 扭转问题的应力解法----普朗特应力函数
应力环量
研究图中某一条等高线所围成的薄膜的平衡， 设这一部分薄膜的面积为A ，则
s
FT
Z ds v
qA
sds 2GA
s
Z v
G
v
s
§9.4 椭圆截面杆件扭转
椭圆截面杆件
1.求应力函数
椭圆截面边界方程为：
x2 a2
y2 b2
1
0
(a)
用逆解法，设应力函数为
B
x2 a2
y2 b2
1
(b)
b 2a
B（2b，0）点的剪应力
zx B 0
zy
B
Ga1
b2 4a 2
(x, y) ——普朗特（Prandtl）扭转应力函
数
2 C
xz
G
y
,
yz
G
x
由：
( y) ,-2
侧面
边界条件
端面
k
单连域取为0
T 2G dxdy
S
§9.3 扭转问题的薄膜比拟法
德国力学家普朗特（Prandtl） 基本思想：
作用均匀压力的薄膜与柱体扭转有着相似的 微分方程和边界条件。 通过研究薄膜所张成的曲面的等高线，分析 柱体扭转时横截面的应力分布 。
薄膜比拟
设有一均匀薄膜，张在一个水平边界上（边界形状和扭转 柱体截面形状相同或成比例）。
在微小均匀压力作用下， 薄膜产生垂度z（x,y），
薄膜不承受弯矩、扭矩、 剪力和面内压力，只能 承受均匀拉力T,
在薄膜中取微单元abcd， 其投影为矩形，边长为dx， dy；其上作用有侧向压力q 和张力T。
q
x
半径为a的大圆方程（除原点O）
1 2a cos 0 r
整个边界方程可表示为
OA
Bx
(r
2
b2 )1
2a
cos r
0
r
r 2 x2 y2 , r cos x y
设
m( x 2
y2
b2 )1
2ax x2 y2
由
m(r 2
b2 )1
2a cos r
2 2 1 1 2 2
r 2 r r r 2 2
第九章 柱形杆的扭转 和弯曲
本章主要讨论任意截面柱形杆的自由扭转。 材料力学中研究了圆截面杆的扭转，采用了平面
假设。 对非圆截面杆的扭转，一般横截面不再保持平面，
即截面产生翘曲。
目录
§9.1 扭转问题的位移解法(圣维南扭转函数） §9.2 扭转问题的应力解法(普朗特应力函数） §9.3 扭转问题的薄膜比拟法 §9.4 椭圆截面杆件的扭转 §9.5 带半圆形槽的圆轴的扭转 §9.6 厚壁圆筒的扭转 §9.7 矩形截面杆的扭转 §9.8 薄壁杆的扭转
B为待定常数，将式（b）代入式（9-8）得
2B 2B a2 b2 2
则
B
a2b2 (a2 b2 )
a2b2 (a2 b2
)
x a
2 2
y2 b2
1
(c)
将式(c)代入式（9-12）得
T 2G dxdy
2a2b2G
a2 b2
1 a2
x
2dxdy
1 b2
y2dxdy dxdy
Z 0 G 0
s
s
n
G
s
0,
s
G
n
薄膜的等高线，对应于扭转 杆横截面上这样的曲线，其 上各点的应力与曲线向切。 这种曲线称为切应力线。
通过比拟，可以定性地勾画出截面上应力 分布的大致情况。要知道哪一点的切应力 最大，就看看薄膜上哪一点的斜率最大。 也就是说，薄膜上斜率最大点，就是对应 的横截面上最大切应力的作用点。
d
c
薄膜平衡方程：
T
2z x2
2z y 2
q
0
即
2z q
T
或
2
T q
z
1
0
在边界上，薄膜垂度为零
zs 0
扭转应力函数： 2 2
或
2 1 0
2
边界条件
s 0
在薄膜曲面上，形象地表示出横截面上应力的分布情 况。想象用一系列和 Oxy平行的平面与薄膜曲线相截， 可得到一系列的曲线。显然，这些曲线是薄膜的等高 线图。