弹性力学第九章 柱形杆的扭转和弯曲教学文稿

m1 2
直角坐标系下的应力函数为 :
1 2
(x2
y2
b2 )1
2ax x2 y2
zx G 1
2ab2 x x2 y2
2
y
zy
G x a
ab2 (x2 y2 )
x2 y2 2
最大剪应力在A点，A（b，0)，得
zx A 0
zy
A
max
2Ga1
B为待定常数，将式（b）代入式（9-8）得
2B 2B a2 b2 2
则
B
a2b2 (a2 b2 )
a2b2 (a2 b2
)
x a
2 2
y2 b2
1
(c)
将式(c)代入式（9-12）得
T 2G dxdy
2a2b2G
a2 b2
1 a2
x
2dxdy
1 b2
y2dxdy dxdy
d
c
薄膜平衡方程：
T
2z x2
2z y 2
q
0
即
2z q
T
或
2
T q
z
1
0
在边界上，薄膜垂度为零
zs 0
扭转应力函数： 2 2
或
2 1 0
2
边界条件
s 0
在薄膜曲面上，形象地表示出横截面上应力的分布情 况。想象用一系列和 Oxy平行的平面与薄膜曲线相截， 可得到一系列的曲线。显然，这些曲线是薄膜的等高 线图。
§9.1 扭转问题的位移解法----圣维南扭转 函数
柱体扭转
横截面翘曲
自由扭转——横截面翘曲变形不受限制
约束扭转——横截面翘曲变形受到限制 弹性力学讨论自由扭转
柱体自由扭转位移解法
自由扭转的位移
1. 2.翘曲假设
u yz v xz w (x, y)
位移解法基本方程
设单位长度相对
扭转角为 z
(d)
因为 得
x
2dxdy
a3b
4
,
y
2dxdy
ab3
4
,
(a2 b2 )T a3b3G
dxdy ab
(e)
2.求应力分量
将式(c),（e）代入式（9-7），
得
zx
2T
ab3
y,
zy
2T
a3b
x
截面上任一点的合剪应力为
1
2 zx
2 zy
2T
ab
x2 a2
y2 b2
2
最大剪应力发生在短半轴的两端
b 2a
B（2b，0）点的剪应力
zx B 0
zy
B
Ga1
b2 4a 2
2 2 2 0
x2 y2
(9 2) Laplace方程 调和函数
柱体扭转边界条件
侧面边界条件
d yl xm
dn
(9 4)
y
端面边界条件
T GD (9 5)
x
柱体的自由扭转的位移解法，归结为在边界 条件（9-4）下求解方程（9-2）。
§9.2 扭转问题的应力解法----普朗特应力函数
max
2T
ab2
最小剪应力发生在长半轴的两端
min
2T
a 2b
O
x
y
3. 求位移分量
将
(a2 b2 )T
a3b3G
代入式(9-1a)，得
u
(a2 b2 )T
a3b3G
yz
v
(a2 b2 )T
a3b3G
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翘曲位移为
w
(a2 b2 )T
a3b3G
xy
扭转应力
xz
2T πab3
y,
第九章 柱形杆的扭转 和弯曲
本章主要讨论任意截面柱形杆的自由扭转。 材料力学中研究了圆截面杆的扭转，采用了平面
假设。 对非圆截面杆的扭转，一般横截面不再保持平面，
即截面产生翘曲。
目录
§9.1 扭转问题的位移解法(圣维南扭转函数） §9.2 扭转问题的应力解法(普朗特应力函数） §9.3 扭转问题的薄膜比拟法 §9.4 椭圆截面杆件的扭转 §9.5 带半圆形槽的圆轴的扭转 §9.6 厚壁圆筒的扭转 §9.7 矩形截面杆的扭转 §9.8 薄壁杆的扭转
z dx
O dy
y
x T
a
b
dx
dy
d
c
微单元在Oz轴方向的平衡：
各边的拉力及其在Oz轴上的投影：
边 拉力
投影
ad Tdy bc Tdy ab Tdx dc Tdx
Tdy z x
Tdy
z x
2z x2
dx
Tdx z y
Tdx
z y
2z y 2
dy
压力在Oz轴上的投影为 qdxdy
T
a
b dx
dy
yz
2T πa 3b
x
2 xz
yz2
2T πab
x2 y2 a4 b4
最大切应力
max
2T πab2
,
横截面翘曲
w
(x,
y)
T
a2 b2 πGa 3b3
xy
min
2T πa 2b
§９-５ 带半圆槽的圆截面杆的扭转
半径为a的圆截面杆，具有半径为b的半圆键槽，求扭转 应力。
半径为b的半圆键槽方程为 (r 2 b2) 0
Z 0 G 0
s
s
n
G
s
0,
s
G
n
薄膜的等高线，对应于扭转 杆横截面上这样的曲线，其 上各点的应力与曲线向切。 这种曲线称为切应力线。
通过比拟，可以定性地勾画出截面上应力 分布的大致情况。要知道哪一点的切应力 最大，就看看薄膜上哪一点的斜率最大。 也就是说，薄膜上斜率最大点，就是对应 的横截面上最大切应力的作用点。
应力环量
研究图中某一条等高线所围成的薄膜的平衡， 设这一部分薄膜的面积为A ，则
s
FT
Z ds v
qA
sds 2GA
s
Z v
G
v
s
§9.4 椭圆截面杆件扭转
椭圆截面杆件
1.求应力函数
椭圆截面边界方程为：
x2 a2
y2 b2
1
0
(a)
用逆解法，设应力函数为
B
x2 a2
y2 b2
1
(b)
薄膜比拟
设有一均匀薄膜，张在一个水平边界上（边界形状和扭转 柱体截面形状相同或成比例）。
在微小均匀压力作用下， 薄膜产生垂度z（x,y），
薄膜不承受弯矩、扭矩、 剪力和面内压力，只能 承受均匀拉力T,
在薄膜中取微单元abcd， 其投影为矩形，边长为dx， dy；其上作用有侧向压力q 和张力T。
q
x
(x, y) ——普朗特（Prandtl）扭转应力函
数
2 C
xz
G
y
,
yz
G
x
由：
( y) , ( x)
y x
x y
可得： C=-2
侧面
边界条件
端面
k
单连域取为0
T 2G dxdy
S
§9.3 扭转问题的薄膜比拟法
德国力学家普朗特（Prandtl） 基本思想：
作用均匀压力的薄膜与柱体扭转有着相似的 微分方程和边界条件。 通过研究薄膜所张成的曲面的等高线，分析 柱体扭转时横截面的应力分布 。
半径为a的大圆方程（除原点O）
1 2a cos 0 r
整个边界方程可表示为
OA
Bx
(r
2
b2 )1
2a
cos r
0
r
r 2 x2 y2 , r cos x y
设
m( x 2
y2
b2 )1
2ax x2 y2
由
m(r 2
b2 )1
2a cos r
2 2 1 1 2 2
r 2 r r r 2 2