理论力学复习_B资料.
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Je x'i ' Je y' j ' J z' ( z' )k '
ω
x'
o x
y y'
Lo J z' k ' J z'ω
90
Lo Jeω J z'ω
则当刚体作规则进动时， Lo 的矢端划出一圆。
15
当刚体作规则进动时，Lo 的矢端划出一圆。
dLo dt
ω
Lo
z
由莱沙尔定理:
转动惯量为 J，且以2 绕 z 轴高速旋转，z 轴与z1 轴的夹角为 .
求：陀螺的进动角速度 1 、铰链 O 的约束力在铅垂方向的分量
FN 和水平方向的分量 F 的大小。
要求：画出受力图、加速度图；给出解题基本理论和基本步骤。
解: 1. 取陀螺研究; 2. 受力分析:
3. 由动量矩定理:
C
mg
FN F
平面运动刚体惯性力
FIR
c
ac
mac F Jc MC (F )
M Ic c
FI mac
ac
MIc Jc
条件：刚体有质量对称面，且其平行于运动平面
刚体动力学
动力学普遍定理
刚体定轴转动微分方程
Jz M z (F )
动静法
定轴转动刚体惯性力
FIx m( 2 xc yc ) FIy m(xc 2 yc )
d
' mvc
dt
Ω
mvc
Fie
dLrc
dt
M (Fie )
投影到动系：
d'Lrc dt
Ω
Lrc
M (Fie )
其中 为动系的角速度。
刚体动力学
动力学普遍定理
平移刚体(等同质点)
动静法
平移刚体惯性力
c
ac
mac F
FI
c
ac
FI mac
刚体动力学
动力学普遍定理
动静法
平面运动刚体运动方程
绕铅垂轴 z 的进动角速度大小0 以及球铰链 A 水平方向的约束力
的大小 FAB .
0 =___________； FAB =__________。
陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 → 力 z
Mo
Jz'
Mo
dLo dt
ω
Lo
ω
Lo J z'ω
( )
Mo J z'ω ω
z'
Lo
y
o Lo Jeω J z'ω Mo J z'ω ω
( 90)
x
与精确解比较:
Mo
Jz'
(Jz'
J
e
)
cos0
ω
ω
16
例：如图所示，已知质量为m的定点运动陀螺做规则进动( >0为
常量)，其质心C到球铰链O的距离为L，该陀螺对质量对称轴z的
da dt
axi
ay
j
azk
ax
di dt
ay
dj dt
az
dk dt
axi ay j azk
a ax'i ' ay' j ' az'k '
：动系的角速度
da dt
ax'i
'
ay'
j '
az'k
'
ax'
di ' dt
ay'
dj ' dt
az '
dk ' dt
d 'a
ωa
dt
3
应用：绕相交轴转动的合成 αe
(Jz'
J
e
)
cos0 ω
ω
即: Mo const , 方向沿节线.
陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 → 力
精确结果
二、莱沙尔(Henri Resal)定理
在定系中:
dLo dt
Mo
定理: 刚体对固定点 o 的动量矩 Lo 的端点的速度，等于作用
于该刚体的所有外力对同一点的主矩.
13
三、陀螺近似理论
陀 螺： 满足条件 J x' J y' 的定点运动刚体。
z ω z'
一、陀螺规则进动的条件
ω
问题性质：已知运动, 求力 。
x'
o
Mo
Jz'
(Jz'
J
e
)
cos0 ω
ω
x
y y'
即: Mo const , 方向沿节线.
陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 → 力
精确结果
12
Mo
Jz'
FIz 0
M Ix J xz 2 J yz M Iy 2 J xz J yz M Iz J z
刚体动力学
刚体运动微分方程
一般运动刚体惯性力
mac F
FIR
ω
M Ic
d
'
JC dt
ω
ω
J
C
ω
MC(F)
α
C
ac
FI mac
MIC JC α ω JC ω
定性理论
第10章要求
定点运动刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点的某一
轴经过一次转动来实现。
定点运动刚体有限位移的顺序不可交换.
定点运动刚体无限小位移的顺序可交换.
定点运动刚体的角位移不能用矢量表示，但无穷小角位移
可以用矢量表示。
定点运动刚体的角速度\角加速度可以用矢量表示。
了解欧拉运动学方程.
了解欧拉动力学方程.
自转\进动\章动概念.
10
第10章要求
定量方面
定点运动刚体上点的速度和加速度公式应用; 能计算定点运动刚体的动量矩; 能计算定点运动刚体的动能; 能计算陀螺力矩; 能求解与例10-1和例10-2相同题型的问题。 对高速自转的陀螺，其对定点的动量矩近似为
Lo J z'ω
11
陀螺近似理论
理论力学总结
1
理论力学要点
• 受力分析; • 运动分析; • 求导数. 理论力学提供原理，具体问题得具体分析， 记住理论的同时，重要的是掌握分析方法。 课程特点: 理论性强。
2
矢量的绝对导数与相对导数
对于标量函数:
a f (t)
da f '(t) dt
对于矢量函数:
a axi ay j azk
刚体的角速度:
ωe
ω ωe ωr
刚体的角加速度:
α dωe dωr dt dt
dωe dt
d 'ωr dt
ωe
ωr
αe
αr
刚体的角加速度:
α αe αr ωe ωr
αr ωr
4
刚体一般运动的运动微分方程
d mvc
dt
Fie
投影到定系：
maC M (Fie )
投影到动系：
Mo
Jz'
(Jz'
J
e
)
cos0 ω
ω
如果:
则:
Mo
Jz'
(Jz'
J
e
)
cos
0
ω
ω
J z'ω ω
如果： 0 90
则也有：
Mo
Jz'
(Jz'
Je)
cos0 ω ω
J z'ω
ω
14
四、陀螺近似理论的莱沙尔解释
z ω z'
相对于定系: ωa ω ω
ωa x'i ' y' j ' ( z' )k ' Lo J x'x'i ' J y'y' j ' J z'z'k '
1 J2 sin mgLsin 1
4. 由动量定理(质心运动定理):
0 FN mg mL12 sin F 17
例：质量为 m 半径为 R 的均质薄圆盘以匀角速度 绕水平轴 AB
转动，AB 轴通过光滑球铰 A 与铅垂轴 z 相连接，如图示。若 AB 轴的长度为 d=3R 且不计其质量，圆盘作规则进动，求水平轴 AB
ω
x'
o x
y y'
Lo J z' k ' J z'ω
90
Lo Jeω J z'ω
则当刚体作规则进动时， Lo 的矢端划出一圆。
15
当刚体作规则进动时，Lo 的矢端划出一圆。
dLo dt
ω
Lo
z
由莱沙尔定理:
转动惯量为 J，且以2 绕 z 轴高速旋转，z 轴与z1 轴的夹角为 .
求：陀螺的进动角速度 1 、铰链 O 的约束力在铅垂方向的分量
FN 和水平方向的分量 F 的大小。
要求：画出受力图、加速度图；给出解题基本理论和基本步骤。
解: 1. 取陀螺研究; 2. 受力分析:
3. 由动量矩定理:
C
mg
FN F
平面运动刚体惯性力
FIR
c
ac
mac F Jc MC (F )
M Ic c
FI mac
ac
MIc Jc
条件：刚体有质量对称面，且其平行于运动平面
刚体动力学
动力学普遍定理
刚体定轴转动微分方程
Jz M z (F )
动静法
定轴转动刚体惯性力
FIx m( 2 xc yc ) FIy m(xc 2 yc )
d
' mvc
dt
Ω
mvc
Fie
dLrc
dt
M (Fie )
投影到动系：
d'Lrc dt
Ω
Lrc
M (Fie )
其中 为动系的角速度。
刚体动力学
动力学普遍定理
平移刚体(等同质点)
动静法
平移刚体惯性力
c
ac
mac F
FI
c
ac
FI mac
刚体动力学
动力学普遍定理
动静法
平面运动刚体运动方程
绕铅垂轴 z 的进动角速度大小0 以及球铰链 A 水平方向的约束力
的大小 FAB .
0 =___________； FAB =__________。
陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 → 力 z
Mo
Jz'
Mo
dLo dt
ω
Lo
ω
Lo J z'ω
( )
Mo J z'ω ω
z'
Lo
y
o Lo Jeω J z'ω Mo J z'ω ω
( 90)
x
与精确解比较:
Mo
Jz'
(Jz'
J
e
)
cos0
ω
ω
16
例：如图所示，已知质量为m的定点运动陀螺做规则进动( >0为
常量)，其质心C到球铰链O的距离为L，该陀螺对质量对称轴z的
da dt
axi
ay
j
azk
ax
di dt
ay
dj dt
az
dk dt
axi ay j azk
a ax'i ' ay' j ' az'k '
：动系的角速度
da dt
ax'i
'
ay'
j '
az'k
'
ax'
di ' dt
ay'
dj ' dt
az '
dk ' dt
d 'a
ωa
dt
3
应用：绕相交轴转动的合成 αe
(Jz'
J
e
)
cos0 ω
ω
即: Mo const , 方向沿节线.
陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 → 力
精确结果
二、莱沙尔(Henri Resal)定理
在定系中:
dLo dt
Mo
定理: 刚体对固定点 o 的动量矩 Lo 的端点的速度，等于作用
于该刚体的所有外力对同一点的主矩.
13
三、陀螺近似理论
陀 螺： 满足条件 J x' J y' 的定点运动刚体。
z ω z'
一、陀螺规则进动的条件
ω
问题性质：已知运动, 求力 。
x'
o
Mo
Jz'
(Jz'
J
e
)
cos0 ω
ω
x
y y'
即: Mo const , 方向沿节线.
陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 → 力
精确结果
12
Mo
Jz'
FIz 0
M Ix J xz 2 J yz M Iy 2 J xz J yz M Iz J z
刚体动力学
刚体运动微分方程
一般运动刚体惯性力
mac F
FIR
ω
M Ic
d
'
JC dt
ω
ω
J
C
ω
MC(F)
α
C
ac
FI mac
MIC JC α ω JC ω
定性理论
第10章要求
定点运动刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点的某一
轴经过一次转动来实现。
定点运动刚体有限位移的顺序不可交换.
定点运动刚体无限小位移的顺序可交换.
定点运动刚体的角位移不能用矢量表示，但无穷小角位移
可以用矢量表示。
定点运动刚体的角速度\角加速度可以用矢量表示。
了解欧拉运动学方程.
了解欧拉动力学方程.
自转\进动\章动概念.
10
第10章要求
定量方面
定点运动刚体上点的速度和加速度公式应用; 能计算定点运动刚体的动量矩; 能计算定点运动刚体的动能; 能计算陀螺力矩; 能求解与例10-1和例10-2相同题型的问题。 对高速自转的陀螺，其对定点的动量矩近似为
Lo J z'ω
11
陀螺近似理论
理论力学总结
1
理论力学要点
• 受力分析; • 运动分析; • 求导数. 理论力学提供原理，具体问题得具体分析， 记住理论的同时，重要的是掌握分析方法。 课程特点: 理论性强。
2
矢量的绝对导数与相对导数
对于标量函数:
a f (t)
da f '(t) dt
对于矢量函数:
a axi ay j azk
刚体的角速度:
ωe
ω ωe ωr
刚体的角加速度:
α dωe dωr dt dt
dωe dt
d 'ωr dt
ωe
ωr
αe
αr
刚体的角加速度:
α αe αr ωe ωr
αr ωr
4
刚体一般运动的运动微分方程
d mvc
dt
Fie
投影到定系：
maC M (Fie )
投影到动系：
Mo
Jz'
(Jz'
J
e
)
cos0 ω
ω
如果:
则:
Mo
Jz'
(Jz'
J
e
)
cos
0
ω
ω
J z'ω ω
如果： 0 90
则也有：
Mo
Jz'
(Jz'
Je)
cos0 ω ω
J z'ω
ω
14
四、陀螺近似理论的莱沙尔解释
z ω z'
相对于定系: ωa ω ω
ωa x'i ' y' j ' ( z' )k ' Lo J x'x'i ' J y'y' j ' J z'z'k '
1 J2 sin mgLsin 1
4. 由动量定理(质心运动定理):
0 FN mg mL12 sin F 17
例：质量为 m 半径为 R 的均质薄圆盘以匀角速度 绕水平轴 AB
转动，AB 轴通过光滑球铰 A 与铅垂轴 z 相连接，如图示。若 AB 轴的长度为 d=3R 且不计其质量，圆盘作规则进动，求水平轴 AB