标准非线性薛定谔方程的解析解与数值解

标准非线性薛定谔方程的解析解与数值解
母应坤
(2006061102)
（黔南民族师范学院 物理与电子科学系，贵州 都匀 558000）
摘 要 ：本文分别介绍了非线性薛定谔方程的两种求解方法即解析法与数值法，并对其
解析解和数值解进行了简单的分析和讨论。
关键词 ：非线性薛定谔方程 ；精细积分；Riccati 方程求解法 ；Weierstrass 椭圆函数解
2(αk 2 − ω) α pq
2）
a1 = 0,b1 = 0, a0 = ±
Y = ± ω −αk2
Z
β
（20）
所以方程（13）的精确解为
υ1(x,t) = ±
(αk 2 − ω) p 12φ '[k1(x − c1t), g2 , g3 ] β q p2q +12 pφ[k1(x − c1t), g2, g3]
+
βu
u2
+
v2
=0
空间离散偏微分方程组（36）得：
（33） （34）
（1） （35） （36）
6
∂ui ∂t
=
−α
vi+1
− 2vi + vi−1 ∆x2
+ β vi (ui2
+ vi2 )
∂vi ∂t
=α
ui+1
− 2ui ∆x2
+
ui−1
−
β ui
(ui2
+
vi2 )
（37）
其中 ui (t) = u(xi ,t), vi (t) = v(xi ,t), xi = i∆x,i = 1, 2,..., m −1.
2
G2 = − q + 2r F − 24r2 F 2 p p 25 pq
时，具有如下一组 Weierstrass 椭圆函数解
F
=
5q 6r
+
5 pq2 72rφ
,G
=
−
12φ
qφ 2+
' pqφ
（5） （6）
其中，Weierstrass 椭圆函数 φ = φ (ξ ； g2; g3) 满足方程
φ '2 = 4φ 3 − g2φ − g3
研究光孤子，人们已经建立了非线性薛定谔方程的多种解析解和数值解。解析解是解的形式
可以表达为一个显式函数的表达式的解，而数值解其解的形式不能表达为显式函数，只能通
过数值计算的方式求解，得到的是一系列离散的数值，不能表达为一个明确的函数的形式。 对于大多数问题是得不到解析解的，只能得到数值解。我们所要求的一类 NLS 方程，其一
Equation ,which is the analytic method and numerical method , and has carried on the simple analysis and discussion to its analytic solution and numerical solution.
参考文献:
[1]王斌泉，刘中柱.非线性薛定谔方程 N孤子数值解的递归算法[J].计算物理，1993. [2] 李德生，张鸿庆.构造孤子方程的 Weierstrass椭圆函数解的一个新方法[J].物理学报，
2005.
[3]李德生.TimedependentGinzburg-Landau方程的 Weierstrass椭圆函数解[J].原子与分子
般标准形式如下：
i
∂ϕ ∂t
+α
∂ 2ϕ ∂x2
−
β
ϕ
2ϕ
=
0
（1）
其中 i = −1 ，α ， β 分别称频散系数和 Landau 系数。
2 NLS 方程的解析解 2.1 Weierstrass 椭圆函数法求解[2,3]
2.1.1 方法简介
利用投影 Riccati 方程
F ' = pFG
G
υ ''(ξ ) = 3a1 prF 2 − 3a1 pqF + b1rpFG
（14） （15） （16）
将（14），（15），（16）式代入（13）式，并注意到（2），（3）可得到
−Za13F 3 + (3a1 prX − 3Za0a12 − 6Za1b12r )F 2 + (−3a1 pqX p
Analytical Solution and Numerical Solution for Standard Nonlinear Schrodinger Equation
Mu Yingkun
（Department of Physics, Qiannan Normal College for Nationalities, Duyun 558000, China） Abstract ： This article introduces the two solution methods of Nonlinear Schrodinger
'
=
q
+
pG2
−
rF
（2）
其中 F=F(ξ ),G=G(ξ )，且当 F (ξ ),G(ξ )满足关系
G2 = 2r F − q pp
时，具有如下一组 Weierstrass 椭圆函数解
F
=
q 6r
+
百度文库
2 φ,G = pr
12φ ' p2q +12 pφ
当 F (ξ ),G(ξ )满足关系
（3） （4）
（29）
其 中 可 选 用 m = 2L ， 例 如 L=20 那 么 m=1048576 令 ∆t = τ m ， 则
exp( A ∆t ) ≈ I + Ta
（30）
Ta = A • ∆t + (A • ∆t )2[I + (A • ∆t ) 3 + (A • ∆t )2 12] 2
（31）
其中 Ta 是一个小量矩阵，因此我们有
+a1Y − 3Za02a1 − 6Za0b12r + 3Za1b12q )F + (Ya0 − Za03 + 3Za0b12q )
p
p
p
（17）
+(b1Y − 3Za02b1 + Zb13q )G + (b1rpX − 6Za0a1b1 − 2Zb13r )FG − 3Za12b1F 2G = 0
（7）
且 g2
=
p2q2 12
, g3
=
p3q3 216
.
而新的投影
Riccati
方程求解法就是以解（4），（6）和关
系（3），（5）代替原有的投影 Riccati 方程求解法[4,5]中对应的解和关系所给出的方法。
2.1.2 方程求解
令 u=υ(ξ )ei(kx−ωt) ,ξ = k1(x − c1t)
K
+M 0
n

7
应当指出，式（38）只是形式上表现为线性齐次方程，它实际上是非确定的常量，也
是非线性的，我们可以做如下处理：令时间步长为τ ，在很小的时间间隔[tk−1,tk],tk =k•τ内，
方程（38）中的 A(t,Y)变化很小，可看作是常数矩阵，这样在一个时间步长内可以对方程进 行精细积分。由上可见，对方程（38）逐步施行精细积分，操作方便简单，很容易得出结果。
Key words ：nonlinear schrodinger equation ；precise integration；Riccati equation
Method；Weierstrass elliptic functions.the solutions
1
1 非线性薛定谔方程
非线性薛定谔方程，在物理学中常见，简称 NLS 方程，又称立方薛定谔方程， 它是 描写非线性波的调制（即非线性波包）方程，同时也是研究光孤子[1]特性的基本方程。为了
（21）
υ2 (x,t) = ±
(ω −αk 2 ) β
（22）
所以原方程（1）的解为
u1 = υ1(x,t) = ±
(α k 2 − ω) p βq
p2
12φ '[k1(x − c1t), g2 , q +12 pφ[k1(x − c1t),
g3] g2,
g3
]
ei
(
kx
−ωt
)
（23）
u2 = ±
− 3Za02b1
+
Zb13q p
=
0
b1rpX
− 6Za0a1b1
−
2Zb13r p
=
0
−3Za12b1 = 0
（18）
采用吴消元法[6]解此方程组有以下情况
1）
a0 = 0, a1 = 0, b1 = ±
−Yp = ± Zq
−(ω −αk 2 ) p βq
（19）
4
此时
k1 = ±
3.1 精细积分法求解[ 8]
3.1.1 齐次方程的精细积分
从常微分方程组的理论知，求解齐次方程
•
x = Ax
x(0) = x0
如果 A 是常矩阵，其通解可写成
x = exp(At)x0
取时间步长为τ ，那么在一系列等长的时刻
t0 = 0,t1 = τ ,L, tk = kτ ,L
方程（25）有数值解
(ω
−α β
k
2
)
ei
(kx−ωt )
（24）
3 NLS 方程的数值解
众所周知，大多数非线性薛定谔方程没有解析解，因此多采用数值方法求解。钟万勰[7] 提出的精细积分法可以有效地避免用计算机进行数值计算时引入的舍入误差，该方法已被用 于非线性动力学研究中，这里我们就沿用精细积分法求解非线性薛定谔方程的数值解。
（11）
将上述三式代入（1）得
α k12υ ''+ (ω −α k 2 )υ + i(2α kk1 − k1c1)υ '− βυ 3
令 2α kk1 = k1c1，α k12 = X ,ω − ak 2 = Y , β = Z
则原方程化为
Xυ ''+ Yυ − Zυ3 = 0
（12） （13）
3
令 υ(ξ ) = a0 + a1F (ξ ) + b1G(ξ ) 则 υ '(ξ ) = a1 pFG + b1rF
T = exp(Aτ ) = [I + Ta ]2L = [I + Ta ]2L−1 × [I + Ta ]2L−1
可以通过如下循环语句来计算
for (iter = 0; iter < L; iter + + )
（32）
那么
Ta = 2× Ta + Ta × Ta ; T = I + Ta
这样先计算小量矩阵 Ta ，就避免了计算 T 时舍入误差的积累。
xk+1 = exp(Aτ )xk = Txk , k = 0,1, 2,L, T = exp(Aτ )
（25） （26） （27） （28）
5
这样问题就归结到了指数矩阵 T = exp(Aτ ) 的计算问题，精细积分的基本思想是
利用指数函数的加法定理： exp(Aτ ) = [exp(A m)]m
则（37）式可化解为：
∂u ∂t
=
(K
+
M
n
)v
,
∂v ∂t
=
−(K
+
M n )u
其中
−2 1 0 L 0
K
=
−
α ∆X
2

1 0
M
−2 1 O 1 OO O O −2

M
0
1

0 L 0 1 −2
Mn
=
β

a
(u12 + 0
M
v12 )
0 a(u22 + v22 )
O
L O O
0


M

0


0
L
0
a
(u
m
2 −1
+
v2 m −1

于是，方程组（37）能写成：
dY dt = A(t,Y )Y
（38）
其中 Y = [u1(t),L,ui (t),L,um−1(t), v1(t),Lvi (t),Lvm−1(t)]
A(t,Y
)
=

−(K
0 +
M
)
n
p
p
由此得到关于 a0 ， a1 ， b1 的超定方程组
−Za13 = 0 3a1 prX − 3Za0a12
−
6Za1b12r p
=
0
−3a1 pqX
+
a1Y
−
3Za02a1
−
6Za0b12r p
+
3Za1b12q p
=
0
Ya0
−
Za03
+
3Za0b12q
=
0

p
b1Y
物理学,2006.
[4]张桂成，李志斌,段一士.非线性波方程的精确孤立波解[J].中国科学（A辑）2002，30（12）. [5] FU Zhun-tao,LIU Shi-da,LIU Shi-kuo. New kinds of sohutions to Gardner equation[M].Colitons and Fractals ,2004 . [6] Wu W T. Polynomial Equation-Solbing and Its Application,Algorithums and Compution[M]. Berlin:Springer,1994. [7]钟万勰.结构动力方程的精细时程积分法[J].大连理工大学学报,1994. [8]杨国全，张素英.用精细积分法求解非线性薛定谔方程[J].山西大学学报,2009.
3.1.2 非线性薛定谔方程的精细积分法
非线性薛定谔方程为 ：
i
∂ϕ ∂t
+α
∂ 2ϕ ∂x2
−
β
ϕ
2
ϕ
=
0
设该方程的解为：
ϕ (x, t) = u(x, t) + iv(x, t)
把（35）代入（1）我们便可得到下面两个方程
∂u ∂t
+
α
∂2v ∂x2
−
β
v
u2
+
v2
=0
∂u −α ∂t
∂2u ∂x2
∂u ∂t
υ = ei(kx−ωt )
'(−c1k1) +υei(kx−ωt) (−iω)
（8） （9）
∂u ∂x
υ = ei(kx−ωt )
' k1
+υei(kx−ωt) (ik )
（10）
∂2u ∂x2
=
υ
''
k e 2 i(kx−ωt 1
)
+ 2ikk1υ 'ei(kx−ωt)
− k υe 2 i(kx−ωt)