高中数学：柯西不等式

类型一：利用柯西不等式求最值

例1．求函数的最大值

解：∵且，函数的定义域为，且，

即时函数取最大值，最大值为

法二：∵且，∴函数的定义域为

由，得

即，解得∴时函数取最大值，最大值为.

当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解

【变式1】设且，求的最大值及最小值。

利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为-10

【变式2】已知，，求的最值.

法一：由柯西不等式

于是的最大值为，最小值为.

法二：由柯西不等式

于是的最大值为，最小值为.

【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．

根据柯西不等式

，故

。

当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，

变式4：设a

(1，0， 2)，b

(x ，y ，z)，若x 2

y 2

z 2

16，则a b

的最大值为 。

【解】∵ a

(1，0， 2)，b

(x ，y ，z) ∴ a ．b

x 2z

由柯西不等式[12 0 ( 2)2](x 2 y 2

z 2) (x 0 2z)2 5 16 (x 2z)2

45

x

45

45

a ．

b 45，故a ．b

的最大值为45:

变式5：设x ，y ，z R ，若x 2 y 2 z 2 4，则x 2y 2z 之最小值为 时，(x ，y ，z)

解(x 2y 2z)2 (x 2 y 2 z 2)[12 ( 2) 2 22] 4．9 36 ∴

x

2y

2z 最小值为

6，公式法求 (x ，y ，z) 此时

322)2(26221222-=+-+-==-=z y x ∴ 32-=x ，34=y ，3

4-=z 变式6：设x, y, z ∈R ，若332=+-z y x ，则2

2

2

)1(z y x +-+之最小值为________，又此

时=y ________。

解析：14

36

])1([)332(]1)3(2][)1([2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

≥

+-+++-≥+-++-+z y x z y x z y x ∴最小值

7

18

1, 233,2(2)3(31)3231x y z t x y z t t t -===-+=∴--++=- ∴73=t ∴7

2

-=y

变式7：设a ，b ，c 均为正数且a b c 9，则c

b a 16

94++之最小值为

解： 2)432(

c c

b b a a ⋅+⋅+⋅ ≤ (

c b a 1694++)(a b c) (c b a 1694++)．9 (2 3 4)2 81 c b a 1694++9

81

9

变式8：设a, b, c 均为正数，且232=++c b a ，则c

b a 3

21++之最小值为________

解：: 22222

22)321(])3

()2()1][()3()2()[(++≥++++c

b a

c b a ∴18)3

21(

≥++c

b a ，最小值为18 变式9：设x ，y ，z R 且

14)3(5)2(16)1(2

22=-+++-z y x ，求x y z 之最大、小值: 【解】∵

14

)3(5)2(16)1(2

22=-+++-z y x 由柯西不等式知 [42（5)2 22]⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+-+++-2

22)

23()52()4

1(

z y x

．．．2)52(5)41(4++⎢⎣

⎡+-y x 2

)23(⎥⎦⎤-z 25 1

(x y z 2)2 5 |x

y z 2| 5 x y z 2 5 ∴ 3 x y z 7

故x y z 之最大值为7，最小值为 3

类型二：利用柯西不等式证明不等式

基本方法：（1）巧拆常数 （例1） （2）重新安排某些项的次序（例2）

（3）改变结构 （例3） （4）添项（例4）

例1．设、、为正数且各不相等，求证：

又、、各不相等，故等号不能成立∴。

例2．、为非负数，+=1，，求证：

∴

即

例3．若>>，求证：

解：

，

，∴

，∴所证结论改为证

∴

例4．，求证：

左端变形，

∴只需证此式即可。

【变式1】设a,b,c为正数，求证：．

，即。

同理，．将上面三个同向不等式相加得，

．

【变式2】设a,b,c为正数，求证：

于是即

【变式3】已知正数满足证明。

解：

又因为

在此不等式两边同乘以2，再加上

得：

，故。

类型三：柯西不等式在几何上的应用

6．△ABC 的三边长为a 、b 、c ，其外接圆半径为R ，求证：

证明：由三角形中的正弦定理得

，所以

，

同理，

于是左边= 。

【变式】ΔABC 之三边长为4，5，6，P 为三角形内部一点，P 到三边的距离分別为x ，y ，z ，求

的最小值。

且

4x+5y+6z=

由柯西不等式(4x+5y+6z)2≥(x 2+y 2+z 2)(42+52+62)

≥(x 2+y 2+z 2)×77x 2+y 2+z 2≥。

柯西不等式

()2

2211n n b a b a b a +++ (

)()2

222212

2222

1n

n

b b b

a a a ++++++≤ ()n i R

b a i

i 2,1,=∈

等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）