二元函数的可微性_邢培旭
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３．定理：如果函数 ｚ＝ （ｘ，ｙ ）的偏 导数 ｘ（ｘ ， ｙ ）， ｙ（ｘ ， ｙ ）在点（ｘ ， ｙ ） 连续，则函数在该点可微。（证明略）
１ ． 如果二元函数 ｚ ＝ （ｘ ， ｙ ）在点 （ｘ，ｙ）的全增量Δ ｚ＝ （ｘ＋ Δ ｘ，ｙ＋ Δ ｙ）－
（ｘ ， ｙ ）可表示为： Δ ｚ＝Ａ Δ ｘ＋Ｂ Δ ｙ＋ｏ（ρ） 其中 Ａ，Ｂ 不依赖于Δ ｘ，Δ ｙ 而仅与 ｘ，
ｙ 有关，
，则称函数 ｚ＝ （ｘ，
ｙ）在点（ｘ，ｙ）可微，其中 ｏ（ ρ） 是ρ的 高阶无穷小量。
我们知道，函数 ｚ＝ （ｘ，ｙ）在点（ｘ， ｙ）可微，则它在点（ｘ，ｙ）连续，在点（ｘ，ｙ） 两个偏导函数显然也是存在的， 事实上
。但可微是连续、偏导存在 的充分而不必要条件，我们来看两个例子：
极限值不存在，（ｘ ， ｙ ）在点（ ０ ， ０ ） 不连
摘 要
２． 例１． （ｘ，ｙ）＝｜ｘ｜＋｜ｙ｜在点（０，０）连
二元函数的可微性是高等数学教学中的一个 续，但两个偏导数不存在，当然在点（０，０）不可
难点。文章讨论了二元函数可微与连续， 偏 微 。 由 偏 导 数 定 义 ，
导数的关系， 在课堂教学中取得了良好的效 果。
显然不存
关键词 可微；连续；偏导数
１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｉｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ ｌｉｇｈｔ ｉｎｄｕｓｔｒｙ， Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５０００２； ２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｂａｓｉｃ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ｔｏｕｒｉｓｍ ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５０００９
续，当然不பைடு நூலகம்微。 当 （ｘ，ｙ）在（０，０）连续，且存在两
个偏导数，问： （ｘ，ｙ）在（０，０）是否可 微，答案是否定的。我们来看一个例 子：
例 ３：
在点（０，０）连续，且
存在两个偏导数，但不可微。
，
，类似的， （ｘ ，
ｙ）（０，０）＝０ 考查
， 不妨假定 ｋ
参考文献 ［１］．同济大学数学系．高等数学（第四版）．北 京：高等教育出版社． ［２］．陈传璋，金福临等．数学分析（第二 版）． 北京：高等教育出版社． 作者简介 邢培旭，硕士，助教，从事生物数学方向学习与 研究；
基础及前沿研究 中国科技信息 ２００７ 年第 ２４ 期 ＣＨＩＮＡ ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ Ｄｅｃ．２００７
二元函数的可微性
邢培旭 １ 韩瑞娜２ １．郑州轻工业学院数学与信息科学系 ４５０００２ ２．郑州旅游职业学院理科基础部 ４５０００９
Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｄｕａｌ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｘｉｎｇ Ｐｅｉｘｕ１ Ｈａｎ Ｒｕｉｎａ２
－３４６－
在。类似的， （０，０）也不存在。 ｙ
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｄｕａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｉｎ Ｈｉｇｈｅｒ
例２．
在点（０，
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｔｅａｃｈｉｎｇ． Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｕａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ’ ０） 存在两个偏导数，但不连续， 当然在点 ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｉｌｉｔｙ，ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ａｎｄ ｐａｒｔｉａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ （０，０）不可微。 ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ． Ｇｏｏｄ ｒｅｓｕｌｔｓ ｗｅｒｅ ａｃｈｉｅｖｅｄ ｉｎ ｃｌａｓｓｒｏｏｍ
ｔｅａｃｈｉｎｇ．
事实上，
，类
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｌｅ， ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ， ｐａｒｔｉａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ
似的， ｙ（０，０）＝０．但
，
＞ ０ ，从上式可以看出 （ｘ，ｙ）在（０，０） 处不可微。
尽管可微是一个比较强的条件，还 有一个比可微更强的条件“一阶偏导连 续”， （ｘ ， ｙ ）的两个一阶偏导数是连 续的，指
１ ． 如果二元函数 ｚ ＝ （ｘ ， ｙ ）在点 （ｘ，ｙ）的全增量Δ ｚ＝ （ｘ＋ Δ ｘ，ｙ＋ Δ ｙ）－
（ｘ ， ｙ ）可表示为： Δ ｚ＝Ａ Δ ｘ＋Ｂ Δ ｙ＋ｏ（ρ） 其中 Ａ，Ｂ 不依赖于Δ ｘ，Δ ｙ 而仅与 ｘ，
ｙ 有关，
，则称函数 ｚ＝ （ｘ，
ｙ）在点（ｘ，ｙ）可微，其中 ｏ（ ρ） 是ρ的 高阶无穷小量。
我们知道，函数 ｚ＝ （ｘ，ｙ）在点（ｘ， ｙ）可微，则它在点（ｘ，ｙ）连续，在点（ｘ，ｙ） 两个偏导函数显然也是存在的， 事实上
。但可微是连续、偏导存在 的充分而不必要条件，我们来看两个例子：
极限值不存在，（ｘ ， ｙ ）在点（ ０ ， ０ ） 不连
摘 要
２． 例１． （ｘ，ｙ）＝｜ｘ｜＋｜ｙ｜在点（０，０）连
二元函数的可微性是高等数学教学中的一个 续，但两个偏导数不存在，当然在点（０，０）不可
难点。文章讨论了二元函数可微与连续， 偏 微 。 由 偏 导 数 定 义 ，
导数的关系， 在课堂教学中取得了良好的效 果。
显然不存
关键词 可微；连续；偏导数
１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｉｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ ｌｉｇｈｔ ｉｎｄｕｓｔｒｙ， Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５０００２； ２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｂａｓｉｃ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ｔｏｕｒｉｓｍ ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５０００９
续，当然不பைடு நூலகம்微。 当 （ｘ，ｙ）在（０，０）连续，且存在两
个偏导数，问： （ｘ，ｙ）在（０，０）是否可 微，答案是否定的。我们来看一个例 子：
例 ３：
在点（０，０）连续，且
存在两个偏导数，但不可微。
，
，类似的， （ｘ ，
ｙ）（０，０）＝０ 考查
， 不妨假定 ｋ
参考文献 ［１］．同济大学数学系．高等数学（第四版）．北 京：高等教育出版社． ［２］．陈传璋，金福临等．数学分析（第二 版）． 北京：高等教育出版社． 作者简介 邢培旭，硕士，助教，从事生物数学方向学习与 研究；
基础及前沿研究 中国科技信息 ２００７ 年第 ２４ 期 ＣＨＩＮＡ ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ Ｄｅｃ．２００７
二元函数的可微性
邢培旭 １ 韩瑞娜２ １．郑州轻工业学院数学与信息科学系 ４５０００２ ２．郑州旅游职业学院理科基础部 ４５０００９
Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｄｕａｌ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｘｉｎｇ Ｐｅｉｘｕ１ Ｈａｎ Ｒｕｉｎａ２
－３４６－
在。类似的， （０，０）也不存在。 ｙ
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｄｕａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｉｎ Ｈｉｇｈｅｒ
例２．
在点（０，
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｔｅａｃｈｉｎｇ． Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｕａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ’ ０） 存在两个偏导数，但不连续， 当然在点 ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｉｌｉｔｙ，ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ａｎｄ ｐａｒｔｉａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ （０，０）不可微。 ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ． Ｇｏｏｄ ｒｅｓｕｌｔｓ ｗｅｒｅ ａｃｈｉｅｖｅｄ ｉｎ ｃｌａｓｓｒｏｏｍ
ｔｅａｃｈｉｎｇ．
事实上，
，类
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｌｅ， ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ， ｐａｒｔｉａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ
似的， ｙ（０，０）＝０．但
，
＞ ０ ，从上式可以看出 （ｘ，ｙ）在（０，０） 处不可微。
尽管可微是一个比较强的条件，还 有一个比可微更强的条件“一阶偏导连 续”， （ｘ ， ｙ ）的两个一阶偏导数是连 续的，指