2.7 高斯过程与白噪声

2.7 高斯过程与白噪声

2.7.1 高斯过程

中心极限定理已证明：大量独立的、均匀微小的随机变量之和都近似地服从正态分布。

高斯过程定义：如果对于任意时刻),,2,1(n i t i =，随机过程的任意n 维随机变量),,2,1)((n i t X X i i ==服从高斯分布，则X(t)就是高斯过程。

高斯过程的n 维概率密度函数为：

2

)()(2

12

21211)

2(1),,,;,,,(m x C m x n n n T e

C

t t t x x x f ---

-=

π

式中m,x 为n 维向量

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n x x x x t m t m t m t X E t X E t X E m 212121)()()()]([)]([)]([

C 为协方差矩阵：

⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡

=),(),(),()

,(),(),(1

212111n n X n X n X X n X X t t C t t C t t C t t C t t C t t C C

由此可见，正态随机过程的n 维概率分布仅取决于其一、二阶矩函数。

广义平稳正态过程定义：若正态随机过程X(t)的均值和方差都是与时间无关的常数，即2)]([,

)]([X X

t X D m t X E σ==；而自相关函数只取决于时间间隔τ，

n k i t t R t t R i k i k i k X k i X ,,2,1,;,)(),( =-==--ττ，则称此正态过程为广义平稳正态

过程。

高斯过程有许多特殊性质：

性质1：宽平稳高斯过程一定是严平稳过程。

性质2：若平稳高斯过程在任意两个不同时刻j i t t ,是不相关的，那么也一定是互

相独立的。

证明：由不相关性，可得平稳高斯过程的二维概率密度函数为

2

2

22)()(2

21),;,(σπσ

m x m x j i j i j i e t t x x f -+--

=

n 维分布为

)

()()(21),,,;,,,(212)(121212

2

n m x n

i n n x f x f x f e

t t t x x x f i ==--=∏σσπ

这说明任何时刻都不相关的高斯过程一定是独立高斯过程。

综上所述，高斯过程的宽平稳性和严平稳性是等价的；不相关性和独立性也是等价的。

性质3：平稳高斯过程与确定时间信号之和仍是高斯过程。

性质4：若正态随机过程))((T t t X ∈在T 上是均方可积的，则

⎰⎰∈=∈=b a

t

a T t a d t h X t Y T t a d X t Y )

,(),()()()

,()()(λ

λλλ

λ

也是正态过程。

性质5：若正态随机过程))((T t t X ∈在T 上是均方可微的，则其导数也是正态过程。

2.7.2 噪声

信息在传输过程中，不可避免地要受到各种干扰，使信号产生误差。

信息传输处理时，信道或设备不理想造成

误差的来源

信号传输处理过程中串入了其它信号

广义地说，称这些使信号产生失真的误差源为噪声。来自外部的噪声也称为干扰。

在理论上，噪声是无法预测的。如果能够很好地掌握它的规律，就能降低它对有用信号的影响。

噪声的分类：

1） 从噪声与电子系统的关系来看：

内部噪声：系统本身的元器件及电路产生的。 外部噪声：包括电子系统之外的所有噪声。

2） 根据噪声的分布：

高斯噪声：具有高斯分布的噪声。 均匀噪声：具有均匀分布的噪声。

3） 从功率谱的角度来看：

白噪声：如果一个随机过程的功率谱为常数，无论是什么分布，都称它为白

噪声。

色噪声：功率谱中各种频率分量的大小不同。

1． 理想白噪声

一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上为非零常数，即

∞<<∞-=ωω2

)(0N

S N

的平稳过程N(t)，称为白噪声过程，简称为白噪声。

利用傅立叶反变换可求得白噪声的自相关函数为：

)(2

)(0

τδτN R N =

白噪声的相关系数：

)

0(0)0(1)0(2

)

(2)0()()()(00

22

2

≠===

--==ττδτδτσττN N m R m R C r N

N N N N N N

若平稳过程N(t)在有限频带上的功率谱密度为常数，在频带之外为零，则称N(t)为理想带限白噪声。

2． 低通白噪声

若白噪声的功率谱在ωω∆≤内不为零，而在其外为零，且分布均匀，其表

达式为

其它

,0,)(ωωωπ

ω∆≤∆=

P S N ，称这类白噪声为低通白噪声。

则其自相关函数为：

ωτ

ωττ∆∆=)

sin()(P

R N

可得低通白噪声的平均功率为：P R N =)0(

3． 带通白噪声

如果N(t)的功率谱密度集中在0ω±为中心的频带内，则称N(t)是带通限带白噪声，或称为带通白噪声，其功率谱为

其它

,022,)(00ω

ωωωωωπω∆+<<∆-∆=

P S N

它的自相关函数为：

τωωτ

ωττ0

cos 2

)

2sin()(∆∆=P R N

带通白噪声的平均功率为：P R N =)0(

4． 色噪声

按功率谱密度函数形式来区别随机过程，把除了白噪声以外的所有噪声都称为有色噪声，或简称为色噪声。