模糊数学模糊集合及其运算
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❖ 穷举法： 例如，S={小学生,中学生,大学生,研究生} 表示“学生” 集合.
❖ 特征描述法：例如A={x|x<0,且x为实数}.
2020/5/1
3
有关概念和定义：
论域：被讨论对象的全体组成的集合称为论域。 包含： AB ：对于任意xA ,必有yB. 空集：若对于任意集合A,都有A,则称是任意集合A的空集. 幂集：设U是论域，U的所有子集所组成的集合称为U的幂集， 记为P(U). 例如,U={a,b,c},则
P(U)={,{a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,b,c}} 并集：A与B的并集定义为 A B {x | x A 或 x B} 交集：A与B的交集定义为 A B {x | x A 且 x B} 差集：A与B的差集定义为 A B {x | x A 且 x B} 补集：设U是论域，A对U的补集为 AC U A {x | x U ,且, x A} 等于：集合A和B相等A=B： A B B A
实际生活中有些概念并非清晰概念, 例如鲜美的食品、美丽 的景色、魁梧的身材、漂亮的服装、高个子…等等.对于这些 概念,普通集合就无能为力.
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定义1 ：设U为论域，U在闭区间[0,1]上的任一映射A[0,1]称 为U上的隶属函数。
对于任意的xU，隶属函数值A(x)称为x对A的隶属度。A为论
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特征函数
特征函数CA(u) 表示论域U中的元素u是否属于U的子集A. 若uA, 则CA(u) =1;若 uA ,则CA(u) =0. 显然,特征函数是论域U到{0,1}的一 个映射. 例如,设U自然数组成的集合,A={1,2,3},则A的特征函数为
1, 当u 1,2,3时;
CA (u)
域U上的模糊集合。
例如，用A表示“高个子
男人”的模糊集合，并假 定身高1.80m以上的男人 为高个子,1.60m以下的男 人都不是高个子。用 x表
A(x)
0,
2 x 1.60 2,
1
2
0.2 x 1.80
0.2
2
,
x 1.60 1.60 x 1.70
1.70 x 1.80
示男人的身高,其隶属函
(A B) C (A C) (B C)
6、复原律 7、互补律 8、0—1律
Hale Waihona Puke Baidu
(A B) C (A C) (B C) (Ac )c A A AC U , A AC
AU U , A A
A U A, A
9、De.Morgan律 ( A B)c Ac Bc , ( A B)c Ac Bc
集合可以表示概念。一个概念的外延就是一个普通集合。 用普通集合表示一个概念，就是应用集合指出概念的外延。 这种能用普通集合明确表示其外延的概念是清晰概念。 一个清晰概念，要么属于某个集合，要么不属于这个集合， 二者必居其一。例如人这个概念，就是一个清晰的概念，一 个动物，要么属于人的集合，要么不属于人的集合。不会有 第三种情况。
（2）A 0 0.2 0.8 1 0.8 2 12 3456
0.2 0.8 1 0.8 2 2 3456
（3）A (0,0.2,0.8,1,0.8,0.2)
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例4 设论域为实数R，则A表示“靠近4”的数集,则AF(U), 它 的隶属函 数为：
A(
x)
ek (x4)2
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集合的运算规律
1、交换律 2、结合律 3、吸收律 4、幂等律 5、分配律
A B B A, A B B A A (B C) (A B) C , A (B C) (A B) C (A B) A A, (A B) A A
A A A, A A A
0,
当u为其它自然数时.
显然,只要给出论域U的一个子集A,就唯一地 A(u)
确定一个A的特征函数;反过来,给出U中一个特征 函数CA(u),也就唯一地确定了U的一个子集. 从这 个意义上讲,“子集就是特征函数”. 当U为实数集 合时,子集A的特征函数如图所示.
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二、隶属函数与模糊集合
u
1
A (u ) 0
2
3456
0.2 0.8 1 0.8 0.2
则A可用不同方法表示为：
（1）A {(1, 0), (2, 0.2), (3, 0.8), (4,1), (5, 0.8), (6, 0.2)} {(2, 0.2), (3, 0.8), (4,1), (5, 0.8), (6, 0.2)}
| x 4 |
0 | x 4 |
例5 设论域为实数R，则A表示“比4大得多的数”,则它 的隶属函数为：
1,
1.80 x
数可以为:
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已知 x1 1.65 m，x2 1.70 m，x2 1.75m，则有 A(x1) 0.125 ， A(x2 ) 0.50 ，A(x3) 0.875 。于是采用扎德记号表示的模糊
子集为：
A 0.125 0.50 0.875
x1
x2
x3
注：扎德记号不是分式求和，只是一种记号而已。其中 “分母”是论域U的元素，“分子”是相应元素的隶属度。
模糊集合的表示
一般情况 A {(u, A(u)) | u U}
U有限或可数 A
A(ui ) / ui
A(ui ) ui
U无限不可数
A A(u) / u
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例3 设U={1,2,3,4,5,6},A表示“靠近4”的数集,则AF(U),各数属于A的 程度A(ui)如下
第二讲 模糊集合及其运算
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1
OUTLINE
一、普通集合及其特征函数 二、隶属函数与模糊集合 三、模糊集合的运算 四、模糊集合的性质 五、模糊截集 六、分解定理 七、表现定理 八、模糊集的模糊度
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一、普通集合及其特征函数
19世纪末,康托(Cantor)首创集合论,并迅速渗透到各 个数学分支,成为基础数学. 康托对集合的定义：把一定的并且彼此可以明确识 别的东西(可以是直接的对象,也可以是思维的对象) 放在一起,称为集合. 普通集合常用的两种表示方法：
❖ 特征描述法：例如A={x|x<0,且x为实数}.
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有关概念和定义：
论域：被讨论对象的全体组成的集合称为论域。 包含： AB ：对于任意xA ,必有yB. 空集：若对于任意集合A,都有A,则称是任意集合A的空集. 幂集：设U是论域，U的所有子集所组成的集合称为U的幂集， 记为P(U). 例如,U={a,b,c},则
P(U)={,{a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,b,c}} 并集：A与B的并集定义为 A B {x | x A 或 x B} 交集：A与B的交集定义为 A B {x | x A 且 x B} 差集：A与B的差集定义为 A B {x | x A 且 x B} 补集：设U是论域，A对U的补集为 AC U A {x | x U ,且, x A} 等于：集合A和B相等A=B： A B B A
实际生活中有些概念并非清晰概念, 例如鲜美的食品、美丽 的景色、魁梧的身材、漂亮的服装、高个子…等等.对于这些 概念,普通集合就无能为力.
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定义1 ：设U为论域，U在闭区间[0,1]上的任一映射A[0,1]称 为U上的隶属函数。
对于任意的xU，隶属函数值A(x)称为x对A的隶属度。A为论
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特征函数
特征函数CA(u) 表示论域U中的元素u是否属于U的子集A. 若uA, 则CA(u) =1;若 uA ,则CA(u) =0. 显然,特征函数是论域U到{0,1}的一 个映射. 例如,设U自然数组成的集合,A={1,2,3},则A的特征函数为
1, 当u 1,2,3时;
CA (u)
域U上的模糊集合。
例如，用A表示“高个子
男人”的模糊集合，并假 定身高1.80m以上的男人 为高个子,1.60m以下的男 人都不是高个子。用 x表
A(x)
0,
2 x 1.60 2,
1
2
0.2 x 1.80
0.2
2
,
x 1.60 1.60 x 1.70
1.70 x 1.80
示男人的身高,其隶属函
(A B) C (A C) (B C)
6、复原律 7、互补律 8、0—1律
Hale Waihona Puke Baidu
(A B) C (A C) (B C) (Ac )c A A AC U , A AC
AU U , A A
A U A, A
9、De.Morgan律 ( A B)c Ac Bc , ( A B)c Ac Bc
集合可以表示概念。一个概念的外延就是一个普通集合。 用普通集合表示一个概念，就是应用集合指出概念的外延。 这种能用普通集合明确表示其外延的概念是清晰概念。 一个清晰概念，要么属于某个集合，要么不属于这个集合， 二者必居其一。例如人这个概念，就是一个清晰的概念，一 个动物，要么属于人的集合，要么不属于人的集合。不会有 第三种情况。
（2）A 0 0.2 0.8 1 0.8 2 12 3456
0.2 0.8 1 0.8 2 2 3456
（3）A (0,0.2,0.8,1,0.8,0.2)
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例4 设论域为实数R，则A表示“靠近4”的数集,则AF(U), 它 的隶属函 数为：
A(
x)
ek (x4)2
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集合的运算规律
1、交换律 2、结合律 3、吸收律 4、幂等律 5、分配律
A B B A, A B B A A (B C) (A B) C , A (B C) (A B) C (A B) A A, (A B) A A
A A A, A A A
0,
当u为其它自然数时.
显然,只要给出论域U的一个子集A,就唯一地 A(u)
确定一个A的特征函数;反过来,给出U中一个特征 函数CA(u),也就唯一地确定了U的一个子集. 从这 个意义上讲,“子集就是特征函数”. 当U为实数集 合时,子集A的特征函数如图所示.
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二、隶属函数与模糊集合
u
1
A (u ) 0
2
3456
0.2 0.8 1 0.8 0.2
则A可用不同方法表示为：
（1）A {(1, 0), (2, 0.2), (3, 0.8), (4,1), (5, 0.8), (6, 0.2)} {(2, 0.2), (3, 0.8), (4,1), (5, 0.8), (6, 0.2)}
| x 4 |
0 | x 4 |
例5 设论域为实数R，则A表示“比4大得多的数”,则它 的隶属函数为：
1,
1.80 x
数可以为:
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8
已知 x1 1.65 m，x2 1.70 m，x2 1.75m，则有 A(x1) 0.125 ， A(x2 ) 0.50 ，A(x3) 0.875 。于是采用扎德记号表示的模糊
子集为：
A 0.125 0.50 0.875
x1
x2
x3
注：扎德记号不是分式求和，只是一种记号而已。其中 “分母”是论域U的元素，“分子”是相应元素的隶属度。
模糊集合的表示
一般情况 A {(u, A(u)) | u U}
U有限或可数 A
A(ui ) / ui
A(ui ) ui
U无限不可数
A A(u) / u
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例3 设U={1,2,3,4,5,6},A表示“靠近4”的数集,则AF(U),各数属于A的 程度A(ui)如下
第二讲 模糊集合及其运算
2020/5/1
1
OUTLINE
一、普通集合及其特征函数 二、隶属函数与模糊集合 三、模糊集合的运算 四、模糊集合的性质 五、模糊截集 六、分解定理 七、表现定理 八、模糊集的模糊度
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一、普通集合及其特征函数
19世纪末,康托(Cantor)首创集合论,并迅速渗透到各 个数学分支,成为基础数学. 康托对集合的定义：把一定的并且彼此可以明确识 别的东西(可以是直接的对象,也可以是思维的对象) 放在一起,称为集合. 普通集合常用的两种表示方法：