第3章集合典型习题

第一章 集合
1. 集合A={1,{2},3,4},B={a,b,{c}},判定下列各题的正确与错误：
（1）{1}∈A ； （2）{c}∈B ； （3） {1，{2}，4}⊆A ；（4）{a ，b ，c}⊆B ；
（5）{2}⊆A ； （6）{c}⊆B ； （7）φA ⊂； （8）φ⊆{{2}}⊆A ；
（9）{φ}⊆B ； （10）φ∈{{2}，3}.
解：（1）不正确。

因为{1}是集合，集合与集合之间一般不能有属于关系。

（2）正确。

虽然{c}是集合，但是它又是B 中的元素。

（3）正确。

虽然{1，{2}，4}是A 的真子集，但是同时满足子集定义，故可以这样表示。

（4）不正确。

因为c ∉B 。

（5）不正确。

虽然{2}是一个集合，但是它只是A 中的一个元素，不能有包含关系。

（6）不正确。

理由同（5）。

（7）正确，符合定义。

（8）正确，都符合定义。

（9）不正确，因为B 中本没有元素φ。

（10）不正确。

φ不是{{2}，3}是中的元素，不能有属于关系，若写成φ⊆{{2}，3}则可以。

2．确定下列集合的幂集：
（1） A={a ，{b}}； （2）B={1，{2，3}}；
（2） C={φ，a ，{b}}； （4）D=}{)(φφρ=。

解 （1）因为A 的所有子集为φ，{a}，{{b}}，{a ，{b}}，所以}}}.{,{}},{{},{,{)(b a b a A φρ=
（2）因为B 的所有子集为φ，{1}，{{2，3}}和{1，{2，3}}。

所以}}}3,2{,1{}},3,2{{},1{,{)(φρ=B
（3） 因为C 的所有子集为φ，{φ}，{a},{{b}},{φ,a},{φ,{b}},{a,{b}},{φ,a,{b}},
所以}}}.{,,{}},{,{}},{,{},,{}},{{},{},{,{)(b a b a b a B a C φφφφφρ=
（4） 因为D 的子集为φ，{φ}，所以}}.{,{)(φφρ=D
说明 欲求一个给定集合的幂集合，首先把这个给定集合的所有子集列出，并检验所列子集的个数是否等于2n
个,n 为给定集合的元数,当然,熟练者可以省略这一步骤. 2. 判定以下论断哪些是恒成立的?哪些是恒不成立的?哪些是有时成立的?
(1) 若a ∈A,则a ∈A ∪B;
(2) 若a ∈A,,则a ∈A ∩B;
(3) 若a ∈A ∪B,则a ∈A;
(4) 若a ∈A ∩B,则a ∈B;
(5) 若a ∉A,则a ∈A ∪B;
(6) 若a ∉A,则a ∈A ∩B;
(7) 若B A ⊆,则A ∩B=A;
(8) 若B A ⊆,则A ∩B=B.
解 (1)恒成立.因为A ⊆ A ∪B,若a ∈A,则a ∈A ∪B.
(2)有时成立.若a ∈A,但∉∉a B a 则, A ∩B;若a ∈A,且a ∈B,则a ∈A ∩B.
(3)有时成立.若a ∈A ∪B,可能有三种情形: a ∈A 但,,,B a A a B a A a B a ∈∈∉∉∉且或者但或者对于第一、三种情形，有a ∈A ，但是第二种情形，.A a ∉。

（4）恒成立。

因为a ∈A ∩B ，必有a ∈A ，且a ∈B 。

（5） 有时成立。

虽然.A a ∉，但是，有a ∈B 或B a ∉两种可能，若B a ∉，则∉a A
∪B ；若a ∈B ，有a ∈A ∪B 。

（6） 恒不成立。

因为.A a ∉，即使a ∈B ，也有∉a A ∩B ，若B a ∉，更有∉a A
∩B 。

（7） 恒成立。

当B A ⊆，A 是B 的子集，当然满足A ∩B=A 。

（8） 有时成立。

既然B A ⊆，就有两种可能：A=B 或者A ⊂B 。

若A=B ，则A ∩B=B
成立；若A ⊂B ，则A ∩B=B 就不成立。

4．设全集合E={a ，b ，c ，d ，e}，A={a ，d}，B={a ，b ，e}，C={b ，d}，求下列集合：
（1） A ∩～B ； （2）（A ∩B ）∪～C ；
（3）～A ∪（B －C ）；（4）).()(B A ρρ⋂
解 （1）A ∩～B={a ，d}∩{c ，d}={d}.
(2) （A ∩B ）∪～C={a}∪{a,c,e}={a,c,e}.
(3) ～A ∪（B －C ）={b,c,e}∪{a,e}={a,b,c,e}.
(4) )(A ρ={φ,{a},{d},{a,d}}.
)(B ρ={φ,{a},{b},{e},{a,b},{a,e},{b,e},{a,b,e}}
故 ).()(B A ρρ⋂={φ,{a}}.
5. 设A 和B 是全集E 的子集,利用运算律证明:
(1) (A ∩B) ∪(A ∩～B)=A;
(2) B ∪～((～A ∪B) ∩A)=E.
证 (1) (A ∩B) ∪(A ∩～B)=A ∩(B ∪～B)=A ∩E=A
(3) B ∪～((～A ∪B) ∩A)
=B ∪～((～A ∩A) ∪(B ∩A) (分配律)
=B ∪～(φ∪(B ∩A)) (互补律)
=B∪～(B∩A) (同一律)
=B∪(～B∪～A) (德·摩根律)
=(B∪～B)∪～A (结合律)
=E∪～A (互补律)
=E.
说明利用运算律证明集合恒等式时,后面的运算律名称不一定要求写,只是刚开始做这种类型题时标一下,目的在于熟悉理解运算律内容,稍加熟练后便可以不写.
6. 设A,B,C 是三个任意集合,求证:
(1)(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)=(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A);
(2)(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)= (A∩B)∪(～A∩B∩C)∪(A∩～B∩C).
证(1) (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)
=(( A∪B)∩(C∪B))∩(A∪C)
=((A∩C)∪B)∩(A∪C)
=((A∩C)∩(A∪C)∪(B∩(A∪C))
=(( A∩C∩A)∪(A∩C∩C)∪(B∩A)∪(B∩C)
=(A∩C)∪(B∩A)∪(B∩C)
=(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A)
(3)(A∩B)∪(～A∩B∩C)∪(A∩～B∩C)
=(A∩B)∪(((～A∩B) ∪(A∩～B)) ∩C)
=(A∩B)∪(((～A∪A)∩(～A∪～B)∩(B∪A)∩(B∪～B))∩C)
=(A∩B)∪((～(A∩B)∩(A∪B)∩C)
=((A∩B)∪(～(A∩B))∩((A∩B)∩(A∪B))∩((A∩B)∪C)
=((( A∩B)∪A)∪B)∩((A∪C)∩(B∪C))
=(A∪B)∩(B∪C)∩(A∪C).
7.利用A－B=A∩～B与吸收律及其它运算律,证明
(((A∪B∪C)∩(A∪B))－((A∪(B－C))∩A)=～A∩B
证(((A∪B∪C)∩(A∪B))－((A∪(B－C))∩A)
=((A∪B)∩((A∪B)∪C))－((A∪(B－C))∩A)
=(A∪B)－((A∪B)∩(A∪～C)∩A)
=(A∪B)－(A∩(A∪B)∩(A∪～C)
=(A∪B)－(A∩(A∪～C))
=(A∪B)－A
=(A∪B)∩～A
=(A∩～A)∪(B∩～A)
=φ∪(～A∩B)
=～A∩B.
说明本题证明过程中的第二步、第四步、第五步应用了吸收律，才使运算简便，否则将很繁杂。

8．设A，B，C为三个任意集合，试证明
（1）若A×A=B×B，则A=B；
（2）若A×B=A×C，且A≠φ,则B=C.
A⊆. 证(1)设任意a∈A,则(a,a)∈A×A,因为A×A=B×B,有(a,a)∈B×B,故a∈B,因此B
对任意b ∈B,有(b,b)∈B ×B,则(b,b)∈A ×A,于是b ∈A,因此B ⊆A,所以A=B.
(2) 若B=φ,则A ×B=φ,因为A ×B==A ×C,于是A ×C=φ,而A=φ,只有C=φ,故B=C.
若B ≠φ,设任意b ∈B,因为A ≠φ,再设a ∈A,则(a,b) ∈A ×B,又因为A ×B==A ×C,则(a,b)∈A ×C,于是b ∈C,所以B ⊆C.
同理可证C ⊆B,故B=C.
说明 在每一节后面的证明题,若不能应用本节给出的定理,一般要考虑用定义证明.
8. 在具有x 和y 轴的笛卡尔坐标系中,若有X={x ︱x ∈R,且-3≤x ≤2},Y={y ︱y ∈R,且-2≤y
≤0},试求出笛卡尔积X ×Y,Y ×X,画出其图像.
解 X ×Y={(x,y)︱-3≤x ≤2, -2≤y ≤0,x,y ∈R}
Y ×X={(y,x)︱-2≤y ≤0, -3≤x ≤2, x,y ∈R}
X ×Y 与Y ×X 的图像如图1-1所示的阴影部分.
说明 对于笛卡尔积Y ×X 的图像,从(y,x)∈Y ×X,点(y,x)要求第一元素为该点的横坐标,第二元素为该点的纵坐标,所以将图1-1中右图表示两轴的字母换成y,x.
图 1—1。